shred (1129769), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения – функция ψ – будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).

Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).

К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем сле­дующих рассуждений. Из опытов по дифракции микро­частиц вытекает, что параллельный пучок частиц обла­дает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской вол­ны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид:

Это выражение часто пишут в комплексном виде:

(13)

подразумевая, что надо принимать во внимание веще­ственную часть этого выражения.

Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой ω=Е/ħ и длиной волны λ = 2πħ/р. Заменяя ω и λ в выражении (13) соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:

(14)

Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (14), воспользуемся соотноше­нием между Е и p:

E= p²/2m. (15)

Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раз дважды по x, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р² через функ­цию Ψ и ее производные:

Как видим прослеживается полная аналогия с (7*). Подставляя полученные выражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:

Если направление волны не совпадает с осью х (или у, или z), фаза колебаний будет зависеть от всех коор­динат: х, у и z. В этом случае диф­ференциальное уравнение имеет вид:

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера (8) (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационар­ных состояний:

(16)

Это уравнение совпадает с уравнением (12) для случая U = 0.

Таким образом, мы получили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует об­общить уравнение (16) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е сла­гается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.

В случае свободной частицы полная энергия Е сов­падает с кинетической Т, так что величину Е в уравне­нии (16) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для та­кой частицы под величиной Е: полную или только кине­тическую энергию. Если принять, что Е – полная энер­гия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψ не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. По­этому следует признать, что при наличии сил, действую­щих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е –U. Про­изведя такую замену, мы придем к уравнению (12).

Приведенные нами рассуждения не могут рассматри­ваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель — пояснить, каким образом можно было прийти к установ­лению вида волнового уравнения для микрочастицы. До­казательством же правильности уравнения Шрёдингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.

1. Основные свойства уравнения Шрёдингера

Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волно­вая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле

U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность послед­них, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ∞, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0. Непрерывность ψ требует, чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производные же от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.

Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаменталь­ное значение во всем математическом аппарате квантовой меха­ники.

Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотро­пией пространства и принципом относительности Галилея. В клас­сической механике эти требования приводят к квадратичной за­висимости энергии частицы от ее импульса: Е = р²/2т, где по­стоянная т называется массой частицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса – одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение Е = р²/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:

(17)

Подставив сюда оператор импульса , получим гамильтониан свободно движущейся

частицы в виде:

где Δ= д²/дх² + д²/ду² + д²/дz² — оператор Лапласа.

В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие с внешним полем описывается аддитивным членом в функции Гамильтона – потенциальной энергией взаимодействия U. являю­щейся функцией координат. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие в квантовой механике – гамильтониан для частицы, находящейся во внешнем поле:

(18)

где U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Если поле U (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем прост­ранстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро - как l/r^s с s < 2.

Пусть U_min есть минимальное значение функции U(х, у, г). Поскольку гамильтониан частицы есть сумма двух членов – операторов кинетической и потенциальной U энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Ē = + Ū. Но все собственные значения оператора (совпадаю­щего с гамильтонианом свободной частицы) положительны; по­этому и среднее значение > 0. Имея также в виду очевидное не­равенство Ū > U_min, найдем, что и Ē > U_mln . Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии:

E_n>U_min. (19)

Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезаю­щем на бесконечности; функцию U(х, у, z), как обычно принято, определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т. е. все состояния с Е < 0 в исчезающем на бесконечности поле являются связанными. Дей-ствительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра, соответствующих инфинитному движению, частица находится на бесконечности. Но на достаточно больших расстояниях наличием поля можно пренебречь, и движение частицы может рас­сматриваться как свободное; при свободном, же движении энер­гия может быть только положительной.

Напротив, положительные собственные значения образуют непрерывный спектр и соответствуют инфинитному движению; при Е > 0 уравнение Шрёдингера, вообще говоря, не имеет (в рассматриваемом поле) решений, для которых бы интеграл сходился.

Обратим внимание на то, что в квантовой механике при фи­нитном движении частица может находиться и в тех областях пространства, в которых Е < V; вероятность |ψ|² нахождения частицы хотя и стремится быстро к нулю в глубь такой области, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля. В этом отношении имеется принципиальное отличие от классической ме­ханики, в которой частица вообще не может проникнуть в область, где U > Е. В классической механике невозможность проникно­вения в эту область связана с тем, что при Е < U кинетическая энергия была бы отрицательной, т. е. скорость – мнимой. В кван­товой механике собственные значения кинетической энергии тоже положительны; тем не менее, мы не приходим здесь к противо­речию, так как если процессом измерения частица локализуется в некоторой определенной точке пространства, то в результате этого же процесса состояние частицы нарушается таким образом, что она вообще перестает обладать какой-либо определенной ки­нетической энергией.

Если во всем пространстве U (х, у, z) > 0 (причем на бесконеч­ности U → 0), то в силу неравенства (19) имеем Е_п > 0. По­скольку, с другой стороны, при Е > 0 спектр должен быть непре­рывным, то мы заключаем, что в рассматриваемом случае дискрет­ный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только инфинитное движение частицы.

Предположим, что U в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат)

обращается в – ∞ по закону

U≈ –α/r^s (a > 0). (20)

Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса r₀) вокруг начала координат и равную нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка r₀ ; поэтому неопределенность в значении импульса ~ħ/r₀. Среднее значение кинетической энергии в этом состоянии порядка величины ħ²/ , а среднее значение потен­циальной энергии ~ – α / . Предположим сначала, что s > 2.

Тогда сумма

при достаточно малых r₀ принимает сколь угодно большие по абсо­лютной величине отрицательные значения. Но если средняя энер­гия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательные собственные значения энергии, сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энергии с большим |Е| соответствует движение частицы в очень малой области пространства вокруг начала координат. «Нормаль­ное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в са­мом начале координат, т. е. произой-дет «падение» частицы в точку r = 0.

Если же s < 2, то энергия не может принимать сколь угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений. Ди­скретный спектр начинается с некоторого конечного отрицательного значения. Падения частицы на центр в этом случае не про­исходит. Обратим внимание на то, что в классической механике падение частицы на центр в принципе возможно во всяком поле притяжения (т. е. при любом положительном s). Далее, исследуем характер энергетического спектра в зависи­мости от поведения поля на больших расстояниях. Предположим, что при r→ ∞ потенциальная энергия, будучи отрицательной, стремится к нулю по степенному закону (20) (в этой формуле теперь r велико). Рассмотрим волновой пакет, «заполняющий» шаровой слой большого радиуса r₀ и толщины Δr << r₀. Тогда снова порядок величины кинетической энергии будет ħ²/т (Δr)², а потенциальной: – α/ . Будем увеличивать r₀ , увеличивая одно­временно и Δr (так, чтобы Δr росло пропорционально r₀ ). Если s < 2, то при достаточно больших r₀ сумма

ħ²/т (Δr)² – a/ станет отрицательной. Отсюда следует, что существуют стационар­ные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может с заметной вероятностью находиться на больших расстояниях от начала координат. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолютной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что в области пространства, где U > Е, волновые функции быстро затухают). Таким образом, в рассма­триваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное мно­жество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е = 0.

Характеристики

Список файлов лекций