Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(Здесь и далее: Е – энергия объекта (кинетическая), -импульс, - волновой вектор, ħ – постоянная Планка, делённая на 2π, ħ = 1,05459∙10^-34 Дж∙с, ω – частота (волн де Бройля)).

Однако собственную энергию частицы m₀c² учитывать не будем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую ча­стоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения

E = р²/2m, и закон дисперсии записывается в виде

ω=(ħ/2m)∙k² (4)

Это приводит к выражению для фазовой скорости волн де Бройля:

υ_ф = ω/k = ħk/2m = υ/2 (5) (здесь k=2π/λ, - волновое число)

Однако это не может отразиться на физических выводах тео­рии, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины - плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость (групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) - при новом выборе частоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступные измерению на опыте.

3. Получение уравнения Шрёдингера

Основная задача вол­новой механики состоит в нахождении волновых функ­ций и связанных с ними физических следствий в самых разно­образных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это - основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нереляти­вистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медлен­ных по сравнению со скоростью света в вакууме.

Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид си­ловых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоян­ная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Сило­вые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособ­лены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, что­бы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерфе­ренцией и дифракцией волн вещества.

При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что од­ним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна.

Дифференцирование (1) по x, y, z даст:

Сложением полученных вторых производных найдем:

Учитывая соотношения (3) найдём, что k²=p²/ħ², таким образом, имеем:

(6)

Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.

Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:

Учитывая (3), находим что , таким образом можно записать:

(7)

Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию, а из (6) – квадрат импульса p²:

(7*)

Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил, E= p²/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению

(8)

Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей.

Обобщим теперь полученное уравнение (8) на случай движений в си­ловых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуют­ся потенциальной функцией или потенциальной энергией U( ). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют

и величины и U( )Ψ. Поэтому прибавление в правой ча­сти уравнения (8) слагаемого U( )Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение

(9)

будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.

Путь, которым мы пришли к уравнению Шрёдингера, ко­нечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шрёдингера является только опыт – опытная проверка всех выво­димых из него следствий. Такую проверку уравнение Шрёдингера выдержало.

В уравнении (9) в неявной форме уже заложена двой­ственная – корпускулярно-волновая –природа вещества. Со­гласно интерпретации волновой функции Ψ частица не локали­зована. Она, как принято говорить, с определенной вероят­ностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при на­писании уравнения (9) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех воз­можных положений ее и их вероятностей. На самом деле в уравнении (9) это не предполагается. Потенциальная функция U( ) рассматривается в нем так же, как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точеч­ной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = -е²/r, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.

Уравнение Шрёдингера – первого порядка по времени. Отсюда следует, что заданием волновой функции Ψ во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция Ψ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо вы­ражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией.

Уравнение Шрёдингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям.

Во-первых, если Ψ₁ и Ψ₂ — какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α₁ и α₂ есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ₁ и Ψ₂ описывают какие-либо два со­стояния системы, то и линейная комбинация α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α₁ и α_2, а только их отношением α_1/α_{2 .} Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же веществен­ную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ нормировать (если интеграл , взятый по всему пространству, сходится).

Особое значение в квантовой механике имеют стационар­ные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдае­мые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые мо­гут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.

Как следует из уравнения (9), вид волновой функ­ции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со време­нем) силового поля U не зависит явно от времени. В по­следнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

(10)

(Е — полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).

Учтём, что дифференциал (11)

Подстановка функции (10) в урав­нение (9) с учётом (11) дает:

Сокращая все члены этого уравнения на общий множи­тель e^-i(E/ħ)t и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:

(12)

Характеристики

Список файлов лекций