М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Пространство Σ порождается (получается с помощью пересечения и счётного объединения) из всевозможных открытых и замкнутых интервалов на Λ ⊂ R.Также при решении спектральной задачи мы получаем набор проекторов на собственные подпространства, соответствующие каждому из собственных чисел λ. Точнее (особенно при наличии непрерывного спектра)говорить не о наборе проекторов, а о проекторнозначной мере P̂ (см. раздел 5.3.1), которая сопоставляет каждому «хорошему» подмножеству L ∈ Σпроектор на объединение собственных пространств для всех λ ∈ L.Вероятностная мера P (уже без шляпки!) получается усреднением P̂по квантовому состоянию (ψ или ρ):P (L) = ψ|P̂ (L)|ψилиP (L) = tr(P̂ (L) ρ̂).Среднее (совпадающее с квантовым средним) определяется как интеграл от собственного числа по этой вероятностной мере:ψ|Â|ψ = λ P (dλ) = λ ψ|P̂ (dλ)|ψ,ΛÂρ = tr(Â ρ̂) =Λλ P (dλ) =Λλ tr(P̂ (dλ) ρ̂).ΛПринципиально важно, что вероятностные пространства, возникающие в квантовой механике, зависят от измеряемой величины.

Как следуетиз нарушения неравенства Белла, определить вероятностное пространствобез использования измеряемой величины в рамках локальной теории невозможно.7.2. Соотношения неопределённостей7.2.1. Соотношения неопределённостей и (анти)коммутаторыДля пары величин, описывающихся некоммутирующими эрмитовымиоператорами Â и B̂, невозможно задать общий базис собственных функций,т. е. базис состояний, в каждом из которых обе величины однозначно определены. Это накладывает принципиальные ограничения на одновременнуюизмеримость Â и B̂.198ГЛАВА 7Соотношение неопределённостей позволяет охарактеризовать эти ограничения количественно через среднеквадратичные отклонения.Исследуем величину следующего вида:X = (δA)2 (δB)2 = (Â − Â)2 (B̂ − B̂)2 .Пусть |ψ — некоторое произвольное нормированное на единицу состояние.Определим для данного |ψ смещённые операторы:Â0 = Â − ψ|Â|ψ,B̂0 = B̂ − ψ|B̂|ψ.Для коммутаторов ([·, ·]) и антикоммутаторов ([·, ·]+ ) мы можем написатьследующие очевидные соотношения:[Â, B̂] = iĈ = 0,Ĉ = Ĉ † ,[Â0 , B̂0 ] = Â0 B̂0 − B̂0 Â0 = [Â, B̂] = iĈ,[Â0 , B̂0 ]+ = Â0 B̂0 + B̂0 Â0 = D̂0 ,[Â, B̂]+ = ÂB̂ + B̂ Â = D̂,ψ|D̂0 |ψ = ψ|D̂|ψ − 2ψ|Â|ψψ|B̂|ψ.Теперь X расписывается как произведение скалярных квадратов, для которого существует оценка снизу через скалярное произведение:3X = ψ|Â20 |ψψ|B̂02 |ψ = Â0 ψ|Â0 ψB̂0 ψ|B̂0 ψ |Â0 ψ|B̂0 ψ|2 = |ψ|Â0 B̂0 |ψ|2 .Произведение операторов расписывается через коммутатор и антикоммутатор:Â0 B̂0 = 1 ([Â0 , B̂0 ] + [Â0 B̂0 ]+ ) = 1 (D̂0 + iĈ),2211ψ|Â0 B̂0 |ψ = ψ| 2 (D̂0 + iĈ)|ψ =ψ|D̂0 |ψ + iψ|Ĉ|ψ .2Поскольку операторы Ĉ и D̂0 эрмитовы, средние от них вещественны:2X |ψ|Â0 B̂0 |ψ|2 = 1 ψ|D̂0 |ψ + iψ|Ĉ|ψ =4= 1 ψ|D̂0 |ψ2 + ψ|Ĉ|ψ2 .43 Мы применяем неравенство Коши – Буняковского, согласно которому |ψ|φ| ψ · φ,причём неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда ψ и φ коллинеарны.7.2.

С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ199СоотношениеX 1 ψ|D̂0 |ψ2 + ψ|Ĉ|ψ2 ,42т. е. (δA) (δB)2 1 [Â0 , B̂0 ]+ 2 + 1 i[Â, B̂]2 ,44(7.1)мы будем называть обобщённым соотношением неопределённостей.Обычно используют более слабое соотношение неопределённостейX 1 ψ|Ĉ|ψ2 ,4т. е.(δA)2 (δB)2 1 i[Â, B̂]2 .4(7.2)Для пары из оператора координаты и соответствующей компоненты импульса [x̂, p̂] = ih̄, и мы получаем(δx)2 (δp)2 14h̄2 .Обобщённое соотношение неопределённостей (7.1) обычно переписывается через коэффициент корреляции1 [A , B ] 00 +2r==(δA)2 (δB)2 1 [A, B] − AB+2.(δA)2 (δB)2 Перенеся антикоммутатор в левую часть неравенства и выразив его через r, выводим обобщённое соотношение неопределённостей в виде, первоначально полученном Робертсоном и Шрёдингером в 1930 году:i[Â, B̂](δA)2 (δB)2 1.4 1 − r22(7.3)7.2.2.

Так что же мы посчитали? (ф)Так что же мы посчитали? Каков физический смысл полученных соотношений неопределённостей?Во-первых, мы более аккуратно, с учётом всех числовых констант,уточнили и обобщили выводы раздела 2.7.3 «Преобразование Фурье и соотношения неопределённостей». То есть связали между собой среднеквадратичную ширину волновых пакетов по переменным Â и B̂.

Тем самым мыполучили ограничение на то, какие вообще бывают состояния, без рассмотрения какого-либо измерения.200ГЛАВА 7Во-вторых, мы ответили на вопрос об экспериментальных неопределённостях, но эти неопределённости соответствуют иному случаю, чемслучай микроскопа Гайзенберга.Рассматривая микроскоп Гайзенберга, мы исследовали случай последовательного измерения координаты и импульса для одной и той же системыи оценивали разброс результатов. То есть мы рассматривали ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которыхвыполняется последовательно измерение координаты и импульса.Здесь мы оцениваем квантовомеханический разброс (среднеквадратичные отклонения) наблюдаемых Â и B̂ для одного и того же состояния.

Этосоответствует тому, что мы рассматриваем ансамбль одинаковых системв одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняетсяизмерение  или B̂ (например, измерение координаты или импульса). Тоесть над каждой системой выполняется измерение только одной из двухнекоммутирующих величин, и одно измерение «не мешает» (не изменяет состояние) для другого, поскольку другое измерение производится наддругой (или заново приготовленной) системой.7.2.3. Когерентные состоянияНаводящие соображения*Исследуем, при каких условиях обобщённое соотношение неопределённостей (7.1) и обычное соотношение неопределённостей (7.2) могутобращаться в равенства.Для того, чтобы обобщённое соотношение неопределённостей (7.1)стало равенством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие2Â0 ψ|Â0 ψB̂0 ψ|B̂0 ψ = Â0 ψ|B̂0 ψ ,что равносильно тому, что векторы Â0 |ψ и B̂0 |ψ были пропорциональныдруг другу.Таким образом, необходимое и достаточное условие обращения обобщённого соотношения неопределённостей в равенство:(αÂ0 + β B̂0 )|ψ = 0⇔(α + β B̂)|ψ = Z|ψZ ∈ C.(7.4)Состояния (7.4) мы будем называть обобщёнными когерентными состояниями для пары операторов Â, B̂.7.2.

С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ201Для того, чтобы обычное соотношение неопределённостей обратилосьв равенство, в дополнение к (7.4) следует потребовать обнуления среднегоот антикоммутатора:ψ|[Â0 , B̂0 ]+ |ψ = 0,(αÂ0 + β B̂0 )|ψ = 0 ⇒ (αÂ0 + β B̂0 )2 |ψ = 0 ⇒ψ|α2 Â20 + β 2 B̂02 + αβ[Â0 , B̂0 ]+ |ψ = 0.Получаем, что следующие выражения должны быть равны нулю:α2 Â20 + β 2 B̂02 = −αβ[Â0 , B̂0 ]+ = 0.Â20 и B̂02 неотрицательны, если они отличны от нуля, то2α2 = − B̂0 .β2Â20 Таким образом, отношение коэффициентов оказывается чисто мнимым:01 2α = iγ = ±i12 B̂0 ,0βÂ20 γ0 ∈ R.Подставив в уравнение (7.4), получаем (дальше мы не будем использоватьуравнение на γ0 , нам лишь надо было угадать вид уравнения на ψ)01 21 B̂ (iγ0 Â0 + B̂0 )|ψ = 0, γ0 = ±2 0 .(7.5)Â20 Уравнение когерентных состоянийРассмотрим произвольное состояние вида|χ = (iγ Â0 + B̂0 )|ψ,γ ∈ R.0 χ|χ = ψ|(−iγ Â0 +B̂0 )(iγ Â0 +B̂0 )|ψ = ψ|γ 2 Â20 −iγ[Â0 , B̂0 ]+B̂02 |ψ.202ГЛАВА 7Таким образом, для любого вещественного γγ 2 Â20 + γĈ + B̂02 0.Квадратный трёхчлен в левой части неравенства имеет следующие корни:(−Ĉ ± Ĉ2 − 4Â20 Â2B γ1,2 =.2Â20 Из того, что неравенство выполняется для всех вещественных γ, следует,что эти корни либо комплексные, либо совпадающие, условием чего является неположительность подкоренного выражения, т.

е. соотношение неопределённостей:Ĉ2 − 4Â20 Â2B 0.Таким образом, мы ещё раз вывели соотношение неопределённостей.Если (iγ Â0 + B̂0 )|ψ = 0, то это автоматически означает, что γ = γ1 == γ2 ,4 т. е. соотношение неопределённостей обращается в равенство:(iγ Â0 + B̂0 )|ψ = 0⇔(iγ Â + B̂)|ψ = Z|ψ, Z ∈ C, γ ∈ R. (7.6)Состояния (7.6) мы будем называть когерентными состояниями для парыоператоров Â, B̂. Такие состояния оказываются собственными состояниями неэрмитовых операторов вида iγ Â + B̂.Вопрос о существовании когерентных состояний для той или иной пары операторов мы оставляем открытым.

Для пары операторов координатаимпульс мы ещё вернёмся к нему, в процессе изучения гармоническогоосциллятора.7.2.4. Соотношения неопределённости время-энергия. . . время — это то, что измеряется часами.Г. Бонди, «Гипотезы и мифы в физической теории»С точки зрения преобразования Фурье, пара переменных время-частота должна вести себя так же, как пара переменных координата-волновоечисло. Или если умножить частоту и волновое число на постоянную Планка, то пара время-энергия должна быть аналогична паре координата-импульс.4 Мыизбавились от отдельного условия на γ0 .7.2. С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ203Эту же аналогию можно ожидать исходя из специальной теории относительности, в которой время — дополнительная координата, энергия —компонента 4-мерного импульса по времени, частота — компонента 4-мерного волнового вектора по времени.Однако рассматриваемая нами (гамильтонова) формулировка квантовой механики предполагает выделение времени из числа пространственновременных координат.

В рассматриваемом формализме время, в отличиеот пространственных координат, — не наблюдаемая (эрмитов оператор),а некоторый числовой параметр. Пространственные координаты проквантовались (стали операторами), а время осталось классическим (числовымпараметром).Описание времени как числового параметра не позволяет описать процесс его измерения. «Время — это то, что измеряется часами» (см. эпиграфк данному разделу).

То есть измерение времени — это измерение состояниячасов, а соответствующая наблюдаемая («физическое время»), например, —координата стрелки часов.Оператор «физического времени» τ̂ должен удовлетворять условию5dτ̂ = 1dt⇔[τ̂ , Ĥ] = ih̄.(7.7)Соотношение (7.7) можно заменить более слабым соотношением, представляющим его ограничение на интересующее нас подпространство состояний:dτ̂ = 1 ⇔ [τ̂ , Ĥ] = ih̄.(7.8)dt5 Данное замечание предназначено исключительно тем читателям, которые знакомы с ковариантными и контравариантными векторами применительно к специальной теории относительности.

Характеристики

Список файлов книги