М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 41
Текст из файла (страница 41)
рис. 7.6), не ясно.10 Пусть в начальный момент времени волновая функция свободной частицы в импульсном представлении имеет вид ψ0 (p) = √√1πp0частицы Ĥ =2p̂2m2− p22pe0. Используя гамильтониан свободнойp̂2 tполучаем оператор эволюции Ût = e−i 2mh̄ и в момент времени t вол-214ГЛАВА 7Впервые квантовый эффект Зенона был предсказан в 1958 году советским физиком Леонидом Александровичем Халфиным11 . Имя Зенона эффекту дали Байдьянат Мизра и Джордж Сударшан в 1978 году. Эффект длявероятности переходов между атомными уровнями был экспериментальноподтверждён в 1989 году12 .Рассмотрим квантовый эффект Зенона на простейшем примере. Пустьэволюция квантовой системы описывается как вращение вектора состоянияв заданной плоскости с постоянной угловой скоростью ω = δEh̄ .
Это соответствует тому, что система находится в суперпозиции двух стационарныхсостояний с различной на δE энергией, причём амплитуды обоих стационарных состояний одинаковы по модулю. (Плоскость вращения будет, разумеется, комплексной, но подбором фазовых множителей и нулевого уровняэнергии её можно сделать обычной вещественной евклидовой плоскостью.)Пусть плоскость вращения натянута на ортонормированные состояния Ψ и Φ, тогда, если в нулевой момент времени волновая функция равнялась Ψ, в момент времени δt имеемψ(δt) = Ψ cos(ω δt) + Φ sin(ω δt).Если теперь провести измерение, отвечающее на вопрос «Находится лисистема в состоянии Ψ?», то вероятность ответа «да» и скачка в состояние Ψ составит cos2 (ω δt), а вероятность ответа «нет» и скачка в состояние Φ составит sin2 (ω δt). Для ω δt 1 имеем2(ω δt)22≈ 1 − (ω δt)2 ,pда = cos (ω δt) ≈ 1 −2pнет = sin2 (ω δt) ≈ (ω δt)2 .2новую функцию ψ(p, t) = Ût ψ0 (p) =− p2√√1e 2p0πp0p20t1+i mh̄.
Амплитуда обнаружениячастицы в момент времени t в начальном состоянии ψ0 задаётся скалярным произведени−1/2p20t. Соответствующая вероятность P0 (t) = |ψ0 |ψ(t)|2 =ем ψ0 |ψ(t) = 1 + i 2mh̄−1/2p4 t 2t 2 p4≈ 1 − 8m2 h̄0 2 . Если на протяжении времени T сделать N измерений= 1 + 4m02 h̄2с интервалом t = T /N , то суммарная вероятность ухода частицы из состояния ψ0 составит2p4Pух. (T, N ) ≈ N (1 − P0 (T /N )) = TN 8m20h̄2 . Мы видим, что Pух. (T, N ) → 0 при N → ∞,т.
е. частые измерения, определяющие осталась ли частица в прежнем состоянии, «останавливают» движение частицы.11 Халфин Л. А. // ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — С. 277; ЖЭТФ. — 1958. — Т. 33. — С. 1371;Квантовая теория распада физических систем: Автореф.
дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — ФИАНСССР, 1960.12 Science. November 1989. — Vol. 246. — P. 888.7.4. К ВАНТОВЫЙЭФФЕКТЗ ЕНОНА215Важно, что pнет оказывается квадратично по времени. Из этого следует, чтоесли мы на конечном времени t проделаем n измерений, интервал междукоторыми δt = nt , то суммарная вероятность получения ответа «нет» ведётсебя как 2(ωt)2n → ∞.Pнет ≈ n · pнет ≈ n · ω nt= n → 0,Таким образом, чем чаще мы подвергаем систему измерению «Не ушлали система из исходного состояния Ψ?», тем ближе к единице вероятностьтого, что система осталась в исходном состоянии. Достаточно частыми измерениями мы можем удержать систему в исходном состоянии сколь угодно долго со сколь угодно малой вероятностью случайного скачка в другоесостояние13 , что и даёт нам эффект Зенона.Эффект Зенона может осуществляться путём измерения без взаимодействия, если вместо наличия системы в состоянии Ψ проверять наличиесистемы в состоянии Φ.
Система в состоянии Φ, с вероятностью близкойк 1, не будет обнаружена, но это несостоявшееся обнаружение всё равноповлияет на состояние системы.Рассмотрим оптическую реализацию эффекта Зенона. Некоторые среды, состоящие из несимметричных молекул, вращают плоскость поляризации проходящего через них света, т. е. если по такой среде распространяется линейно поляризованный свет, то направление поляризации поворачивается на угол, пропорциональный пройденному пути14 . Таким образом, для линейно поляризованного фотона, распространяющегося по среде,плоскость поляризации поворачивается как на рис. 7.7 (только теперь осикоординат можно обозначить просто как x и y).Помещённый в среду поляризатор производит измерение поляризации каждого фотона и пропускает только те фотоны, которые поляризованы вдоль оси поляризатора.
Для прошедших через поляризатор фотоновизмерение можно считать прошедшим без взаимодействия (с фотоном «ничего не случилось»).Оптический эффект Зенона состоит в том, что если мы ставим одинаково ориентированные поляризаторы внутри среды всё чаще и чаще, то фотон, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, пройдёт через скольугодно толстую среду, не изменив направления поляризации15 .13 Для всякого времени t > 0 и вероятности p > 0 найдётся такое число измерений n, что0за время t система останется в состоянии Ψ с вероятностью большей, чем 1 − p0 .14 Этот эффект можно трактовать как разную скорость распространения волн с круговойполяризацией по и против часовой стрелки.15 Здесь, разумеется, мы пренебрегаем возможным поглощением и отражением на поляризаторов фотонов с «правильной» поляризацией.
Также мы пренебрегаем толщиной поляризаторов.216ГЛАВА 7FY cos(wdt) + F sin(wdt)wdtYY cos(wdt)Рис. 7.7. Поворот состояния в плоскости (Ψ, Φ) за малое время δτ на угол ω δτи проекция на ось Ψ при «удачном» измерении.Следует заметить, что с помощью эффекта Зенона можно не только«замораживать» эволюцию системы, но и вести эту эволюцию произвольным образом (если суметь придумать подходящие процедуры измерений).Мы можем слегка модифицировать эксперимент и измерять «находится лисистема в состоянии Φ(t)?» Тогда каждый раз измерение будет проецировать состояние системы на новое направление Φ(t) (состояние Φ(t) нормировано на единицу и дифференцируемо по времени).
Если измерения происходят достаточно часто, а Φ(t) меняется со временем не слишком быстро,то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, после очередного измерения система будет оказываться как раз в состоянии Φ(t). Таким образом,мы можем задать руками состояние как функцию от времени и «железнойрукой» заставить систему следовать именно этому пути (с точностью дофазовых множителей). Такую разновидность эффекта Зенона принято называть эффектом Антизенона.Оптический эффект Антизенона может быть продемонстрирован ещёпроще, чем эффект Зенона, без помощи вращающей поляризацию среды.Линейно поляризованный свет в пустоте (или в воздухе) сохраняет направление поляризации. Однако, если мы поставим на его пути стопку поляризаторов, в которой ось каждого последующего повёрнута на малыйугол δϕ, то для идеальных поляризаторов, с вероятностью сколь угодноблизкой к единице, фотон пройдёт без поглощения всю стопку, послушноповорачивая направление поляризации вдоль осей поляризаторов.7.4.2.
Теорема ХалфинаРассмотрение квантового эффекта Зенона в общем случае полностьюаналогично рассмотренному выше двумерному случаю, т. к. квантовая эво-7.4. К ВАНТОВЫЙЭФФЕКТЗ ЕНОНА217люция в течение малого времени происходит в двумерном подпространĤстве, натянутом на векторы |ψ и |dψ = ih̄dt |ψ.Пусть в начальный момент времени система находится в нормированном состоянии |ψ0 (ψ0 |ψ0 = 1), спустя время dt система переходит в состояние|ψ = |ψ0 + |dψ = |ψ0 + Ĥ dt |ψ0 .ih̄В силу эрмитовости гамильтониана Ĥ, состояние |ψ является нормированным с точностью до второго порядка по dt:ψ|ψ = ψ0 |(1 −Ĥih̄dt)(1 +Ĥih̄2dt)|ψ0 = 1 + dt2 Ĥ 2 .h̄Пусть в момент времени dt происходит измерение, призванное определить,ушла ли система из исходного состояния |ψ0 . Вероятность того, что система ушла из состояния |ψ0 , равна вероятности того, что система будетобнаружена в состоянии |dψ, полученном из |dψ проекцией на подпространство, ортогональное к |ψ0 :|dψ⊥ = (1̂ − |ψ0 ψ0 |)|dψ = dt (Ĥ − Ĥ)|ψ0 .ih̄Состояние |dψ⊥ нормировано не на единицу, а на вероятность, это следует из того, что оно получается проекцией на подпространство, ортогональное |ψ0 , нормированного (в линейном по dt порядке) на 1 состояния |ψ.Таким образом, вероятность p− того, что система ушла из состояния |ψ0 задаётся как2p− (dt) = dψ⊥ |dψ⊥ = ψ|dψ⊥ = dt2 (Ĥ 2 − Ĥ2 ).h̄t0, то вероятность того, что система уйдёт из сосЕсли задать dt = Nтояния |ψ0 за время t0 , если за это время было сделано N измеренийс интервалом dt, можно сделать сколь угодно малой:2t2P− (t0 ) = N · dt2 (Ĥ 2 − Ĥ2 ) = 0 2 (Ĥ 2 − Ĥ2 ) → 0,h̄N h̄N → ∞.Таким образом, мы доказали наличие квантового эффекта Зенона дляизмерений, проверяющих уход системы из одномерного подпространствапри выполнении достаточного условия конечности (δE)2 = Ĥ 2 − Ĥ2 .218ГЛАВА 77.5.
Квантовая (не)локальностьКвантовая механика в некотором смысле нелокальна, поскольку онадопускает мгновенное воздействие на состояние системы на расстоянии.Однако это воздействие устроено так, что обнаружить его можно не раньше, чем удастся переговорить с его организатором. Таким образом, квантовая механика в некотором смысле локальна. И эта локальность позволяетсостыковать квантовую механику со специальной теорией относительности, в которой постулируется максимальная скорость распространения взаимодействия.7.5.1. Запутанные состояния (ф*)Пусть (сложная) квантовая система состоит из двух подсистем.
Тогдаволновая функция системы ψ может быть записана как функция от двухнаборов аргументов: наблюдаемые первой подсистемы x1 и наблюдаемыевторой подсистемы x2ψ(x1 , x2 ),ψ ∈ H1 ⊗ H2 .Для смешанного состояния аналогично записывается матрица плотности:ρ(x1 , x2 ; x1 , x2 ),ρ̂ ∈ H1 ⊗ H2 ⊗ H1∗ ⊗ H2∗ .Запутанными состояниями сложной квантовой системы называютсясостояния, которые не могут быть представлены как произведение состояний подсистем.
То есть для чистого состоянияψ(x1 , x2 ) = ψ1 (x1 ) · ψ2 (x2 ),а для смешанного состоянияρ(x1 , x2 ; x1 , x2 ) = ρ1 (x1 ; x1 ) · ρ2 (x2 ; x2 ).В русской литературе существует разнобой в терминах, обозначающихзапутанные состояния. Такие состояния могут называть: запутанные состояния, перепутанные состояния, зацепленные состояния. В английскомязыке используется один термин entangled states.Также незапутанное состояние может называться факторизуемым состоянием (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
