М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Векторы и ковекторы в данном случае следует понимать по отношению к линейным преобразованиям координат.∂Если «сократить» уравнение Шрёдингера Ĥψ = ih̄ ∂tψ на волновую функцию, то мыполучим для гамильтониана выражение, аналогичное выражению для импульса с противо∂∂] = −ih̄ даётположным знаком: Ĥ = ih̄ ∂t . Формальное вычисление коммутатора [t, ih̄ ∂tпротивоположный (по сравнению с коммутатором координата-импульс) знак.
Как это совместить с [τ̂ , Ĥ] = +ih̄? Дело в том, что канонические коммутационные соотношения пишутсядля обобщённых координат и импульсов. Обобщённые импульсы в теоретической механикеpα = ∂∂Lследует считать компонентами ковариантного вектора. Однако 4-вектор энергииq̇ αимпульса с компонентами pi = (E, px , py , pz ) — это контравариантный вектор.
Таким образом, соответствие коммутатора время-энергия коммутатору координата-импульс должно иметьместо только после того, как у всех компонентов импульса (включая энергию) будут с помощью метрики Минковского опущены индексы: pi = (E, −px , −py , −pz ) = ih̄∇i .
Действительно, компоненты оператора набла образуют ковариантный вектор.204ГЛАВА 7Соотношение неопределённостей для пары операторов τ̂ -Ĥ записывается стандартным образом (7.2):2(δτ )2 (δE)2 h̄ .4(7.9)Как и другие соотношения неопределённости, соотношение времяэнергия может интерпретироваться по-разному.Так что же мы посчитали? (ф)Введя оператор «физического времени», мы, тем самым, предположили, что рассматриваемая квантовая система содержит в своём составе часы.Можно было бы обсудить допустимость включения микро- и макрочасов в состав квантовой системы с точки зрения различных интерпретацийквантовой механики (такое обсуждение было бы практически тождественно обсуждению возможности включения в квантовую систему наблюдателя), однако такие рассуждения лишь уводят в сторону от главного вопроса:«Неопределённость какой именно энергии мы обсуждаем?»Если часы входят в квантовую систему в качестве отдельной подсистемы, слабо взаимодействующей с остальными степенями свободы, то мыможет выделить из суммарного гамильтониана Ĥ гамильтониан часов Ĥч ,гамильтониан оставшейся части Ĥ0 и их взаимодействие V̂ :Ĥ = Ĥч + Ĥ0 + V̂ ,[τ̂ , Ĥч ] = ih̄,[τ̂ , Ĥ0 ] = 0,[τ̂ , V̂ ] = 0.Таким образом, неопределённость энергии системы оказывается на самомделе неопределённостью энергии часов.Таким образом, соотношение неопределённостей время-энергия (7.9)применимо не просто к системе, включающей часы, а к системе, котораясама является часами.Если система не является часами (ф)Если квантовая система не является часами, то вместо «часовой стрелки» можно использовать любые зависящие от времени процессы.
На малыхвременах любая несохраняющаяся наблюдаемая может выступать в роли«физического времени». Для не зависящей явно от времени наблюдаемой Âимеем"#22dÂd = 1 [Â, Ĥ],1h̄222. (7.10)(δA) (δE) i[Â, Ĥ] =44dtih̄dt7.2. С ООТНОШЕНИЯ205НЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙЕсли теперь учесть скорость хода «часов» d , то получаемdt2(δt)2 (δE)2 h̄ .4 (7.11)(δA)2 "#d 2dtПолученное соотношение может быть интерпретировано как связь характерного времени эволюции системы с неопределённостью её энергии.Время жизни и ширина уровня (ф)Важный случай применения соотношения неопределённостей времяэнергия (7.9) — связь времени жизни и ширины энергетического уровнядля квазистационарного состояния.Квазистационарное состояние на малых временах ведёт себя как стационарное состояние, но его амплитуда экспоненциально уменьшается современем (см. 13.5.6 «Квазистационарные состояния в квазиклассике»).Примеры квазистационарных состояний: ядро радиоактивного атома (современем распадается), атом в возбуждённом состоянии (со временем излучает фотон и переходит в состояние с меньшей энергией) и т.
п.Закон радиоактивного распада имеет видt−τn̂ = n0 e,(7.12)где n̂ — оператор числа нераспавшихся квазистационарных систем, а τ0 —время жизни. Начальное число нераспавшихся систем n0 = 1.Среднее время жизни квазистационарного состояния и средний квадрат времени жизни вычисляются исходя из (7.12):t0 = τ10∞t−τte0dt = τ0 ,0t20 = τ100∞t−τt2 e00Таким образом,δt20 =t20 dt = 2τ02 .− t0 =2τ02⇒2δE h̄ 2 =4τ0Минимальную неопределённость энергиитовать как ширину уровня энергии2h̄2τ0δE0 = h̄ .2τ0h̄2τ02.в этом случае следует трак(7.13)206ГЛАВА 7Действительно, колебание с экспоненциально затухающей амплитудой неможет иметь строго определённую частоту.Квазистационарное состояние — это очень интересный пример, т.
к.в нём система является часами: время может измеряться по тому, какаядоля ансамбля систем в квазистационарных состояниях распалась.Простейшие (и грубейшие) часы такого типа определяют распалась лиединственная система, или ещё нет. Конечно, такие «часы» дают нам лишьдва возможных «положения стрелки». Естественно откалибровать эти часыследующим образом:n̂ = 1, τ = 0;n̂ = 0,τ = τ0 .Тогда среднее время, показываемое часами, —t−ττ̂ = τ0 (1 − edτ̂ −0).t= e τ0 , т. е. часы удовлетворяют условию (7.8) толькоМы видим, чтоdtв точке 0, с характерным временем ухода τ0 .Мы можем построить более точные часы из n0 систем в квазистационарых состояниях.
Поскольку спектр оператора числа систем n̂ всё равнобудет ограничен (собственные числа от 0 до n0 с шагом 1), такие часы попрежнему смогут измерять только ограниченные интервалы времени, нодлина шкалы будет расти как ln n0 .Длительность измерения и точность определения энергии (ф)Наиболее употребимая интерпретация соотношения неопределённостейвремя-энергия — связь длительности измерения энергии и его точности.Приведённые выше рассуждения рассматривали идеальное мгновенное квантовомеханическое измерение. Моделирование реального процессаквантового наблюдения будет также обсуждаться ниже в разделе 8.2 «Моделирование измерительного прибора*».(фф*) Пусть измеряемая квантовая система («микросистема») описывается гамильтонианом Ĥ0 , а измерение состоит во взаимодействии системы с часами, описывающимися гамильтонианом Ĥч .
До начала измеренияобе подсистемы (микросистема и часы) имеют определённую энергию и невзаимодействуют. В некоторый момент времени t0 часы включают взаимодействие V̂0 с микросистемой. Соответствующая добавка к гамильтониануV̂ = V̂0 δ(τ̂ − t0 ).7.3. И ЗМЕРЕНИЕБЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ *207Неопределённость времени взаимодействия составляет δt. После окончания измерения неопределённость энергии часов — δE.Поскольку начальные энергии часов и микросистемы имели определенные значения, неопределённость энергии микросистемы также составляет δE.
В качестве длительности взаимодействия часов и микросистемыследует взять δt.Если начальные неопределённости энергий микросистемы и часов отличны от нуля, то конечная неопределённость энергии возрастёт. Также засчёт неидеальности часов может возрасти неопределённость длительностивзаимодействия.Таким образом, мы показали, что соотношение неопределённостейвремя-энергия (7.9) может интерпретироваться как связь длительностии точности для измерения энергии, при условии, что измерительный прибор (мы включили его в часы) вместе с микросистемой может быть описанквантовой механикой.В данном разделе мы описывали незамкнутую квантовую систему,путём расширения её до замкнутой.
При этом следует отметить, что описание незамкнутых квантовых систем — сложная проблема, которую многие физики вообще выводят за пределы стандартной квантовой механики(см. 9.3.2 «“Новая копенгагенская” интерпретация (ф)»).7.3. Измерение без взаимодействия*Познание начинается с удивления.Аристотель WИзмерение в квантовой механике происходит не только тогда, когдадатчик щёлкнул, обнаружив частицу, но и тогда, когда датчик не щёлкнул(отрицательный результат измерения). Частица при этом беспрепятственно пролетела мимо датчика, но измерение всё равно произошло и волновая функция частицы изменилась. Это уже отмечалось в разделе 3.1.4 (см.рис. 3.4).Таким образом, мы получаем, что измерение может менять состояние(состояние — другое имя волновой функции) частицы даже если частица,не взаимодействовала с прибором. Здесь важно, что хотя частица не провзаимодействовала с прибором, она потенциально могла это сделать.То есть не произошедшие, но потенциально возможные события оказываютвлияние на развитие системы6 .6 Если когда-нибудь будет создана такая наука, как квантовая история, то расхожая фраза«История не имеет сослагательного наклонения» должна оказаться грубо неверной, потому208ГЛАВА 7К числу таких явлений относится дифракция в оптике, если учитывать, что электромагнитная волна переносится дискретными фотонами.
Придифракции на каком-либо препятствии дифракционная картина образуетсятеми фотонами, которые пролетели мимо препятствия и никак с ним невзаимодействовали. То, что при этом вместо обычной тени образуется дифракционная картина (в частности, внесение препятствия усиливает яркостьнекоторых областей, например пятна Пуассона), означает, что фотоны, непоглощённые препятствием, ведут себя иначе, чем в его отсутствие.Многие эксперименты, демонстрирующие эффекты измерения без взаимодействия, можно ставить со светом. При этом отличие от обычных опытов на дифракцию и интерференцию будет состоять в следующем:• вместо обычных источников света используются источники, испускающие отдельные фотоны;• интерпретация не в терминах амплитуд полей и потоков энергии,а в терминах амплитуд вероятности и потоков частиц.Следует отметить, что все обычные источники света достаточно слабы, чтобы можно было пренебречь нелинейными эффектами, т.
е. чтобы фотонывзаимодействовали с установкой по одному. Поэтому обычные эксперименты по волновой оптике при взгляде с квантовой точки зрения могут выглядеть весьма загадочно и поучительно. Однако ослабление источника светаможет быть полезно, чтобы наглядно прояснить одночастичную природуоптических эффектов7 .что в квантовой теории не произошедшие события («в сослагательном наклонении») обнуляют в волновой функции кусок, отвечающий за возможность такого события.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
