М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ183Чтобы исследовать зависимость решений, используем вронскиан (6.12)(см. 6.2.3 «Вронскиан (л*)»). Для частиц, движущихся с одинаковой энергией в одинаковых потенциалах, вронскиан от координаты не зависит (6.13)!Подставляя в вронскиан асимптотики на ±∞ четырёх связанных с одномерной задачей рассеяния решений уравнения Шрёдингера ψ(x), ψ ∗ (x),ψo (x), ψo∗ (x), мы получим ряд тождеств на параметры этих асимптотик r, d, ro , do , k, k .• i W [ψ, ψ ∗ ] = k |d|2 = k(1 − |r|2 ) — с точностью до множителя этот2 x→+∞x→−∞вронскиан совпадает с током вероятности j для решения ψ(x).
Мы ещёраз доказали сохранение вероятности в одномерной задаче рассеяния.• i W [ψo , ψo∗ ] = −k (1 − |ro |2 ) = −k|do |2 — с точностью до множителя2 x→+∞x→−∞этот вронскиан совпадает с током вероятности j для решения ψo (x).k d = kdo — отсюда получаем (поскольку k и k• i W [ψ, ψo ] = 2x→+∞x→−∞вещественны), чтоD = k |d|2 = k |do |2 = Do .kkКоэффициенты прохождения (а значит и коэффициенты отражения) через барьер в обе стороны одинаковы!• i W [ψ, ψo∗ ] = k dro∗ = −kd∗o r .2 x→+∞x→−∞6.3.6. Волновые пакетыДо сих пор мы рассматривали рассеяние на потенциале бесконечнодлинных монохроматических волн. Это предельный случай, который принципиально не может быть реализован на практике, т. к. плоская волна, каки любое состояние непрерывного спектра, не может быть нормирована наединицу.Реальное рассеяние — рассеяние волновых пакетов, которые уже неявляются монохроматическими, но зато имеют конечную норму.
Рассеяниедостаточно длинных волновых пакетов (длинных по координате и узких по184ГЛАВА 6импульсу) должно в пределе соответствовать тому, что мы уже получилидля монохроматических волн (состояний с определённой энергией).Следует ожидать, что падающий волновой пакет, провзаимодействовав с потенциалом, расщепится на два волновых пакета: прошедший и отражённый, причём интегралы от |ψ(x)|2 по интервалам, содержащим, соответствующие пакеты будут соответствовать коэффициентам прохожденияи отражения для данного потенциала.Свободный волновой пакетРассмотрим волновой пакет, распространяющийся в потенциале U (x) == const.
Полученный результат потом можно будет сравнить с асимптотическим поведением отражённой и прошедшей волн в областях x → ±∞,где потенциал выходит на константу.Мы уже рассматривали движение и расплывание волнового пакета ранее (5.2.6 «Эволюция волнового пакета для свободной частицы»).Любую волновую функцию можно разложить по монохроматическимволнам, используя преобразование Фурье:ψ(x) = √1(6.21)eikx f (k − k0 ) dk.2πВолновой пакет, который нас интересует, должен описываться функциейf (k − k0 ), которая быстро стремится к нулю, когда k удаляется от k0 , тогдаволна будет близкой к монохроматической.Вынеся из под интеграла множитель eik0 x , мы записываем ψ(x) в виде произведения монохроматической волны на медленно зависящую от координаты амплитуду f˜(x), связанную с функцией f (k ) преобразованиемФурье:ψ(x) = eik0 x √1(6.22)eik x f (k ) dk = f˜(x) eik0 x .2πf˜(x)Характерное изменение волнового числа δk, на котором спадает функция f ,должно быть достаточно малым по сравнению с k0 .Волновая функция ψ(x) осциллирует с волновым числом, близким1к k0 , при этом длина волнового пакета δx ∼ δkоценивается из соотношения неопределённостей.Волна с волновым числом k осциллирует во времени с циклическойчастотой ω(k):ei(kx−ω(k) t) .6.3.
ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ185В частности, для свободной нерелятивистской частицыω(k) =2E(k)= h̄k .2mh̄Для исходного волнового пакета получаем(6.23)ei(kx−ω(k) t) f (k − k0 ) dk =ψ(x, t) = √12π= ei(k0 x−ω(k0 ) t) √1ei(k x−[ω(k0 +k )−ω(k0 )] t) f (k ) dk .2πПредположим, что функция f (k ) достаточно быстро спадает с ростомаргумента, чтобы разность частот можно было выразить через производную:dω k = v(k0 ) k .ω(k0 + k ) − ω(k0 ) ≈dk k0 ω0dω dk k0— функция с размерностью скорости, которуюЗдесь v0 = v(k0 ) =далее мы идентифицируем как групповую скорость (для свободной частицыpv(k) = h̄km = m)eik (x−v0 t) f (k ) dk =ψ(x, t) ≈ ei(k0 x−ω0 t) √12π(6.24)f˜(x−v0 t)= f˜(x − v0 t) ei(k0 x−ω0 t) .Таким образом, волновой пакет движется, не меняя формы10 , с групповой скоростью v0 = v(k0 ).Рассеяние волнового пакета*Точно также как выше (6.21), мы построили волновой пакет из монохроматических волн, построим с помощью той же функции f (k − k0 )суперпозицию волновых функций, описывающих рассеяние почти моно10 Чтобы учесть расплывание волнового пакета, разность частот ω(k + k ) − ω(k ) надо00разложить до второй производной по k , чтобы учесть дисперсию (зависимость от волновогочисла) групповой скорости.186ГЛАВА 6хроматических волн:ψ(x) = √1ψk (x) f (k − k0 ) dk,2πψk (x) +2m(E(k)h̄2ikxψk (x) → e− U (x))ψk (x) = 0,+ r(k) e−ikx ,ψk (x) → d(k) eik (k)x ,2 2(6.25)x → −∞,x → +∞,k (k) = h̄1 2m(E(k) − U+ ) =E(k) = h̄ k ,2m|f (k)|2 dk = |f˜(x)|2 dx = 1.'k2 −2mU+h̄2,Если теперь учесть зависимость от времени, дающую для состоянияс энергией E(k) множитель e−iω(k) t , ω(k) =ψ(x, t) = √12πE(k), мы получимh̄ψk (x) e−iω(k) t f (k − k0 ) dk.(6.26)Исследуем асимптотическое поведение ψ(x, t) при x → ±∞.Запишем амплитуды отражения и прохождения в следующем виде:r(k) = |r(k)| eiα(k) ≈ |r(k)| ei(α0 +α1 (k−k0 )) ≈ r0 eiα1 (k−k0 ) ,d(k) = |d(k)| eiβ(k) ≈ |d(k)| ei(β0 +β1 (k−k0 )) ≈ d0 eiβ1 (k−k0 ) .Мы пренебрегли изменением абсолютной величины амплитуд, но учли изменение их фазы до первого порядка по k − k0 .11Проделывая для двух слагаемых асимптотики x → −∞ преобразования, аналогичные преобразованиям, приведшим к бегущему волновомупакету (6.24), получаемx → ∞,ψ(x, t) → √12π(6.27)(eikx + r(k) e−ikx ) e−iω(k) t f (k − k0 ) dk =11 Если учесть зависимость |r| и |d| от k, то это приведёт лишь к искажению формы волнового пакета и необходимости усреднения R(k) и D(k) с весом |f (k − k0 )|2 .6.3.
ОДНОМЕРНАЯ= √12πЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ187ei(kx−ω(k) t) f (k − k0 ) dk +1+√r0 ei(−kx−ω(k) t+α1 (k−k0 )) f (k − k0 ) dk =2π= f˜(x − v0 t) ei(k0 x−ω0 t) + r0 f˜(α1 − x − v0 t) ei(−k0 x−ω0 t) . падающий пакетотражённый пакетМы видим, что при достаточно больших отрицательных значениях x, когдапотенциал уже можно считать константой, падающий волновой пакет, чьяформа описывается функцией f˜(x − v0 t), движется направо по закону x == v0 t. Через рассматриваемую область этот пакет проходит при большихотрицательных временах.Вероятность обнаружить частицу в падающем пакете равна 1:0|ψ(x, t → −∞)|2 dx =|ψ(x, t)|2 dx =|f˜(x)|2 dx = 1.−∞Отражённый пакет имеет форму, описывающуюся функцией f˜(−x −− v0 t + α1 ), он движется через ту же область больших отрицательных x позаконуα x = α1 − v0 t = −v0 t − v 1 .0Вероятность обнаружить частицу в отражённом пакете равна |r0 |2 , т.
е.коэффициенту (вероятности) отражения:0|ψ(x, t → +∞)| dx =2−∞|r0 f˜(−x)|2 dx == |r0 |2|f (k − k0 )|2 dk = |r02 | = R0 .Функцию k (k) мы также разложим до первого порядка по k − k0 :k (k) = k (k0 ) + dk (k − k0 ) = k1 + Ck2 , dk k=k0 k1k2Ck= k = 0.C = dk dk k=k0k1k k=k0188ГЛАВА 6Проделывая для x → +∞ аналогичные преобразования, получаемx → +∞,ψ(x, t) → √12π≈ei(k1 x−ω0 t)1√2π(6.28)d(k) eik (k) x e−iω(k) t f (k − k0 ) dk ≈d0 ei(C(k−k0 ) x−[ω(k)−ω0 ] t+β1 (k−k0 )) f (k − k0 ) dk ≈≈ ei(k1 x−ω0 t) √1d0 eik2 (C x−v(k0 ) t+β1 ) f (k2 ) dk2 =2π= d0 f˜(Cx − v(k0 ) t + β1 ) ei(k1 x−ω0 t) =прошедшая волнаk0˜(x − v1 t) + β1 ei(k1 x−ω0 t) ,= d0 fk1dω v(k0 )dk dωv1 ==.=Cdk k =k1dk dk (6.29)k =k1Таким образом,прошедшийпакет имеет форму, описывающуюся k0˜функцией f k1 (x − v1 t) + β1 , которая сжата по координате, по сравнению с функцией f˜, в kk01 раз, он движется через область больших положительных x по законуβ1 k1β1k1= v1 t − v .x = v1 t − β1= v1 t −0k0v1 k0Вероятность обнаружить частицу в прошедшем пакете равна |d|2т.
е. коэффициенту (вероятности) прохождения:+∞|ψ(x, t → +∞)|2 dx =k1k0 ,2d0 f˜ k0 x dx = |d0 |2 k1 = D0 .k1k00Таким образом, мы проверили, что определённые ранее коэффициенты отражения и прохождения действительно определяют вероятности отражения и прохождения частицы для почти монохроматического волновогопакета.6.3.
ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ189Если продолжить законы движения волновых пакетов на малые времена, то окажется, что через точку x = 0 они проходят в ненулевые моментывремени, αv01 и βv01 .Если α1 (v0 − v1 ) + 2v1 β1 = 0, тогда три прямые, изображающие движение трёх волновых пакетов, пересекаются в одной точке и мы можемобратить эти задержки в нуль сдвигом начала координат по x, но в общемслучае эти задержки не могут быть обнулены.Таким образом, рассмотрев рассеяние волновых пакетов, мы не только проверили постановку одномерной задачи рассеяния, но и уточнили её.Теперь помимо амплитуд и коэффициентов отражения и прохождения мыможем определять времена (или длины) задержки волновых пакетов прирассеянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
