В.А. Соколов, А.В. Толоконников - Теоретическая программа-минимум к зачету (1129111), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Второй наблюдатель винерциальной системе отсчета, движущейся относительно лабораторной вположительном направлении оси X со скоростью V~ , следит за движениемтой же частицы. Покажите, что в случае, если угол α удовлетворяетусловию:Vpcos α = ¡¢ при V ≪ v,v 1 − 1 − V 2 /c2направление движения частицы для наблюдателей в обоих системахотсчета будет одинаковым. Как этот факт согласуется с принципомотносительности?14.
Преобразования Лоренца для четырехмерных векторов; примерычетырехмерных векторов, используемых в электродинамике; ихинварианты.Произвольный контравариантный четырехмерный вектор с компонентамиa (x) = {a0 (x), a1 (x), a2 (x), a3 (x)} при преобразованиях координат x → x′преобразуется по закону:k∂x′k m ¡ ′ ¢a (x ) = m a x(x ) .∂x′k′Закон преобразования компонент ковариантного{a0 (x), a1 (x), a2 (x), a3 (x)} выглядит иначе:¡ ′ ¢∂xmx(x ) .aa k (x ) =m∂x′k′′вектораak (x)=20Электродинамика полей и зарядов в вакуумеВ обоих выражениях по повторяющемуся верхнему и нижнему индексамподразумевается суммирование по всем возможным значениям индексаm = 0, 1, 2, 3.Компоненту a0 (x) принято называть временной компонентойчетырехмерного вектора, а a1 (x), a2 (x), a3 (x) называют пространственнымикомпонентами.Для определенности примем следующее правило сопоставлениякомпонент пространственной части четырехмерного вектора и проекцийвектора на оси декартовой системы координат:a1 (x) = ax ,a2 (x) = ay ,a3 (x) = az .Следует отметить, что компоненты ковариантного вектора могут бытьполучены из компонент контравариантного вектора с помощью операцииопускания индекса an = gnm am .
Аналогично, поднимая индекс, можновыразить компоненты контравариантного вектора через компонентыковариантного an = g nm am .В декартовых координатах инерциальной системы отсчета компонентыметрического тензора gnm и обратного к нему тензора g nm имеют наиболеепростой вид1 0 0 0 0 −1 0 0 gnm = g nm = 0 0 −1 0 = diag{+1, −1, −1, −1}.0 0 0 −1В этом случае процедура опускания или поднятия индексов сводиться кумножению временной компоненты вектора на +1, а пространственныхкомпонент на −1, поэтому:a0 = a0 ,ax = a1 (x) = −a1 (x),ay = a2 (x) = −a2 (x),az = a3 (x) = −a3 (x).Для сокращения записи последние соотношения часто представляют в виде:ak = {a0 , ~a},ak = {a0 , −~a}, где ~a = {ax , ay , az },тем самым подчеркивая, что при опускании или поднятии индекса знакизменяется только у пространственной части четырехвектора.Преобразования Лоренца связывают четырехмерные координаты точкиkx , измеренные в лабораторной системе отсчета, и координаты этой жеЭлектродинамика полей и зарядов в вакууме21точки, измеренные в системе отсчета, движущейся инерциально относительнолабораторной.
В индексной записи преобразования Лоренца имеют вид:x 0 − β x1,x = p1 − β2x1 − β x0x = p,1 − β2a0 − β a1a = p,1 − β2a1 − β a0a = p,1 − β2′0′1x′2 = x2 ,x′3 = x3 ,где предполагается, что движение штрихованной системы отсчета происходитв положительном направлении оси x со скоростью V , а также использованыобозначения x0 = ct, x′ 0 = ct′ и β = V /c.Для записи обратных преобразований достаточно заменить штрихованныекоординаты в левой части равенств на не штрихованные, а в правой частивыполнить обратную замену – не штрихованных координат на штрихованные.Кроме этого, необходимо изменить знак у β на противоположный.Используя связь координат лабораторной и штрихованной систем отсчета,нетрудно получить закон преобразования произвольного контравариантногочетырехмерного вектора при преобразованиях Лоренца:′0′1a′2 = a2 ,a′3 = a3 .Инвариант, построенный из компонент четрырехвектора, не долженсодержать свободных индексов, поэтому единственная возможностьпостроить такую величину – это свернуть свободные индексы у ковариантногои контравариантного векторов:I = ak ak = ak ak = a′k a′ k = a′ k a′k = inv.В декартовых координатах инерциальной системы отсчета выражение дляинварианта четырехвектора принимает более простую формуak = {a0 , ~a},Приведеминварианты.¡ ¢2ak = {a0 , −~a}, поэтому I = ak ak = a0 − ~a2 .примерынесколькихчетрырехмерныхвекторов1.
Четырехвектор координаты в пространстве Минковскогоnok0x = x = ct, ~r ,xk xk = (ct)2 − ~r2 .иих22Электродинамика полей и зарядов в вакууме2. Четырехвектор плотности токаnok0~j = j = ρc, j ,3. Четырехвектор потенциалаnok0~A = A = ϕ, A ,jk j k = (ρ c)2 − ~j 2 .~ 2.Ak Ak = ϕ2 − A4. Четырехвектор скоростиo~v1dxk n 0,uk uk = 1,, ~u = p= u =pu =22ds1−βc 1−βpгде ds = c 1 − β 2 dt – интервал, β = v/c, и ~v – скорость частицы.k5. Четырехвектор импульсаkkp = mc u =n0p = E/c,op~ ,E2pk p = 2 − p~ 2 = m2 c2 .ck6. Волновой четырехвекторnk =nω2 ~ 2kn k = 2 − k = 0,cω ~ok = , k ,c0nгде ω и ~k – частота и волновой вектор электромагнитной волны.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Укажите тензорный закон преобразования (скаляр, вектор, тензор) длякаждой из следующих величин:Ak j k ,∂,∂xn∂Ak,∂xnm 2 c 2 uk ,m2 c2 uk − (un pn )pk ,ω2gmn − km kn .c2• Четырехмерным вектором ускорения называют wk = duk /ds, где uk –четырехмерный вектор скорости частицы, а ds – интервал.
Докажитеортогональность четырехмерного вектора скорости и ускорения uk wk = 0.Электродинамика полей и зарядов в вакууме23• Верно ли, что закон дисперсии для электромагнитной волны в вакуумеω 2 /c2 −~k 2 = 0 выполняется в любой инерциальной системе отсчета. Ответобоснуйте прямым вычислением.• Покажите, что четырехмерный вектор плотности тока для точечнойчастицы с зарядом q, движущейся со скоростью ~v , может бытьпредставлен в виде:dsj k (x) = cρ(x) 0 uk ,dxгде¡ uk – четырехмерныйвектор скорости частицы, ds – интервал, а ρ(x) =¢qδ ~r − ~r0 (t) – плотность заряда для точечной частицы, движущейся позакону ~r0 (t).• Наблюдатель, движущейся с четырехмерной скоростью U k (относительнолабораторной системы отсчета), исследует параметры частицы с массойm и четырехмерным импульсом P k (относительно лабораторной системыотсчета).
Доказать, что энергия частицы, измеренная движущимсянаблюдателем E = cPk U k .15. Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля.Тензор электромагнитного поля и его инварианты.Тензор электромагнитного поля:Fik = −Fki =∂Ak ∂Ai− k∂xi∂xВ декартовых координатах инерциальной системы отсчета компонентытензора электромагнитного поля имеют вид:0ExEyEz −Ex 0 −Hz Hy .Fik = −Ey Hz0 −Hx −Ez −Hy Hx0Запишем закон преобразования напряженностей электромагнитногополя при преобразованиях Лоренца.
Обозначим символом || компонентынапряженностей поля, направленные вдоль вектора относительнойскорости систем отсчета V~ , а символом ⊥ обозначим компоненты поля24Электродинамика полей и зарядов в вакуумеперпендикулярные этой скорости. В терминах этих обозначений законпреобразования компонент поля примет вид:~~ ⊥ + 1 [V~ , H]E′~ =p c,E⊥1 − β2~′ = E~ || ,E||~′ =H~ || ,H||~ ⊥ − 1 [V~ , E]~H′c~⊥ =pH,1 − β2где β = V /c.Инварианты тензора электромагнитного поля:¡ 2¢~ −H~2 ,J2 = Fik F ki = 2 E¡ 2¢~ −H~ 2 2 + 4(E,~ H)~ 2.J4 = Fik F kn Fnm F mi = 2 EЧасто для сокращения записи выбирают в качестве инвариантов тензораэлектромагнитного поля следующие независимые величины:~2 − H~ 2,I2 = E~ H)~ 2.I4 = (E,КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• В инерциальной системе отсчета в декартовых координатах запишитевыражения Fik , Fi··k , F·ki· , F ik .• Докажите инвариантность¡ выраженияJ2 = Fik F ki при преобразованиях¢координат xk → x′k = x′k x .• Найдите закон преобразования компонент тензора электромагнитногополя при:a) преобразованиях пространственной четности (зеркальное отражение)~r → ~r′ = −~r, t = t′ .b) при отражении времени ~r′ = ~r, t → t′ = −t.c) на основании предыдущихзакон¡ вычислений¢¡ ′ установите¢′~~~~преобразования выражения E, H → E , H при отражениипространственной четности ~r → ~r′ = −~r.Электродинамика полей и зарядов в вакууме25d) на основании предыдущих вычислений установите законпреобразования вектора электрического d~ → d~′ и магнитногоm~ → m~ ′ дипольного момента при отражении пространственнойчетности ~r → ~r′ = −~r.• Преобразования Лоренца могут быть записаны в ковариантном видеnmследующим соотношением x′m = Λmn x , где Λn – тензор, зависящийот скорости движения штрихованной системы отсчета относительнолабораторной.
Используя ковариантную запись уравнений Максвелла:∂Fik ∂Fmi ∂Fkm++= 0,∂xm∂xk∂xi∂F mn4π m=−j ,∂xncдокажите инвариантность этих уравнений относительно преобразованийЛоренца.• Конформным преобразованием координат (scaling) называют xk → x′k =λxk , где λ – постоянный коэффициент масштаба. Используя ковариантнуюзапись уравнений Максвелла, покажите их инвариантность относительноконформного преобразования координат.•** Конформным метрическим преобразованием называют gik → gik′ =σ(x)gik , где σ(x) – масштабная функция, зависящая от координатчетырехмерного пространства-времени. Установите закон преобразованиятензора электромагнитного поля, четырехмерного вектора плотности токаи производных ∂/∂xn при конформном метрическом преобразовании.Используя полученные результаты, докажите инвариантность уравненийМаксвелла относительно этого преобразования.•В лабораторной системе отсчета для напряженностей электрическогои магнитного поля плоской электромагнитной волны выполняется~ = [~k/k, E],~ где ~k – волновой вектор.
Сохранится ли этосоотношение Hсоотношение в произвольной инерциальной системе отсчета, движущейсясо скоростью V~ относительно лабораторной.• Трехмерный, абсолютно антисимметричный аксиальный тензор ЛевиЧивиты имеет вид:αµνe=n0,±1,если хотя бы два индекса одинаковы;если все индексы разные;26Электродинамика полей и зарядов в вакуумепричем e123 = +1, а остальные компоненты тензора получаютсяпутем перестановки индексов. Проверьте справедливость следующихсоотношений:onα123E = E = Ex , E = Ey , E = Ez = F α0 ,no 1123H = H = Hx , H = Hy , H = Hz = eαµν Fµν ,2где α, µ, ν принимают значения 1 .
. . 3.α•* Дуальным тензором электромагнитного поля называют ⋆F ik =eikmn Fmn , где eikmn – четырехмерный, абсолютно антисимметричныйтензор Леви-Чивиты, для которого e0123 = 1, а остальные компонентыполучают перестановкой индексов. Покажите, что уравнения Максвелламогут быть записаны в виде:∂ ⋆ F mn= 0,∂xn∂F mn4π= − j m.n∂xcКак изменилась бы форма этих уравнений в случае существованиямагнитных зарядов?16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
