В.А. Соколов, А.В. Толоконников - Теоретическая программа-минимум к зачету (1129111), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Запишите выражениедля напряженности магнитного поля диполя в сферической системе~ = Hr~er + Hθ~eθ .координат H• Покажите, что для тонкого, плоского контура (без самопересечений) стоком J магнитный момент может быть вычислен с помощью выражения~ /c, где S – площадь контура, N~ – вектор нормали к поверхностиm~ = JS Nконтура.~ и9. Свойства плоских электромагнитных волн. Связь векторов поля H~ волнового вектора ~k и частоты ω.E,Решение для плоских монохроматических электромагнитных волн ввакууме имеет вид:~ r, t) = E~ 0 exp{−i[ωt − (~k, ~r)]},E(~~ r, t) = H~ 0 exp{−i[ωt − (~k, ~r)]},H(~~ 0, H~ 0 – в общем случае комплексные векторы амплитуды волны, ω и ~k –где Eчастота волны и волновой вектор.12Электродинамика полей и зарядов в вакуумеИз уравнений Максвелла (в вакууме, в отсутствие источников ρ ≡ 0,~j ≡ 0) следует, что напряженности электрического и магнитного полей в волнесвязаны между собой соотношениями:~ = ω H,~[~k, E]c~~ = − ω E,[~k, H]c~ = 0,(~k, E)~ = 0,(~k, H)из которых можно установить важные свойства плоской электромагнитнойволны в вакууме:1.

Закон дисперсии плоской электромагнитной волны в вакууме:2~k 2 = ω .c2~ H,~ ~k – образуют правую тройку векторов и связаны между2. Векторы E,собой следующими соотношениями:~ = −[~n, H],~E~ = [~n, E].~Hгде ~n – единичный вектор, направленный вдоль волнового вектора ~k:~kc~n = = ~k.kω3.

Модули напряженностей электрического и магнитного полей волны,распространяющейся в вакууме, в каждой выделенной точкепространства и в любой момент времени равны друг другу:¯¯¯ ¯¯¯~¯ ¯~¯E(~r, t)¯ = ¯H(~r, t)¯.4. Фронт волны – поверхность равной фазы ϕ = const = [ωt −(~k, ~r )] в каждый выбранный момент времени t описывается плоскостью,перпендикулярной к волновому вектору ~k. Фронт волны перемещается внаправлении волнового вектора со скоростью vf = c.Электродинамика полей и зарядов в вакууме13КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Получите выражение закона дисперсии для плоской электромагнитнойволны в вакууме.• Плоская электромагнитная волна с частотой ω распространяется ввакууме в положительном направлении оси Z.

Запишите выражения для~ r, t) и магнитного H(~~ r, t) поля волны, внапряженности электрического E(~случае круговой поляризации.• Верно ли, что для плоской электромагнитной волны векторный потенциал~ всегда перпендикулярен волновому вектору ~k?A10. Потенциалы, напряженности полей, интенсивность и угловоераспределение электрического дипольного излучения.Излучение – часть электромагнитного поля, создаваемого локальнойсистемой системой зарядов и токов, способная переносить энергию отисточника на пространственную бесконечность.Потенциалы излучения в электрическом дипольном приближенииопределяются первыми производными электрического дипольного моментасистемы по запаздывающему времени τ = t − r/c, где ~r – радиусвектор, направленный от системы к точке наблюдения, t – момент времени,фиксируемый по часам удаленного наблюдателя¡ ˙ ¢~ )~n, d(τϕ(~r, t) =,cr~˙ )d(τ~A(~r, t) =.crДля сокращения записи принято использовать следующие обозначения ~n =~r/r – единичный вектор, направленный в сторону наблюдателя, d~ – векторэлектрического дипольного момента системыZ~~ ) = ρ(~r ′ , τ ) ~r ′ dV ′ ,~˙ ) = ∂ d .d(τd(τ∂τVНапряженности электрического и магнитного полей (в волновой зоне L ≪λ ≪ r) имеют вид:~¨ ), ~n][d(τ~ r, t) =,H(~c2 r£ ¨¤~ ), ~n]~n,[d(τ~ r, t) = −[~n, H]~ =−E(~.c2 r14Электродинамика полей и зарядов в вакуумеУгловое распределение интенсивности излучения – энергия, излучаемаясистемой в единицу времени в элемент телесного угла dΩ = sin θ dθ dϕ взаданном направлении:h эрг i [d(τ~¨ ), ~n]2dI=.=dΩсек стр4πc3Полная интенсивность излучения – энергия излучаемая системой вединицу времени по всем направлениям:h эрг i 2d~¨ 2 (τ )I=.=cек3c3КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Укажите причины, по которым разложение в мультипольной ряд в задачеоб излучении начинается с электрического дипольного приближения, а нес монопольного приближения, несмотря на то, что потенциал монополяубывает ∼ 1/r.• Сформулируйте условия отсутствия излучения в электрическомдипольном приближении для системы, состоящей из частиц с одинаковымотношением заряда к массе q/m.Электродинамика полей и зарядов в вакууме15~ получите напряженность электрического• Используя выражения для ϕ и A,и магнитного поля для электрического дипольного излучения в волновойзоне.11.

Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении.Изменение кинетической энергии системы заряженных частиц происходиткак за счет совершения работы A внешними силами F~ext , так и за счет потериэнергии на излучение. Такую потерю энергии можно эффективно представитькак торможение некоторой диссипативной силой – силой радиационноготрения F~rad , возникающей как результат "отдачи"от излучения:dAdEkin=− I = (F~ext , ~v ) + (F~rad , ~v ).dtdtДля периодического движения нерелятивистской частицы силарадиационного трения может быть получена из условия, что работа этойсилы за период движения частицы T равна потери энергии на излучение заэтот же промежуток времени [0, T ]:ZT0(F~rad , ~v ) = −ZT2I(t)dt = −02q3c3ZT~¨ 2 dt,d(t)0В этом случае, сила радиационного трения описывается формулойЛоренца (Lorentz 1892):...2~r2q.F~rad =3c3КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• На примере движения заряженного гармонического осцилляторасформулируйте правило понижения порядка производной в формулеЛоренца для силы радиационного трения.• Заряд q равномерно вращается с угловой скоростью ω по окружностирадиуса R.

Вычислите момент силы радиационного трения, действующейна заряд.16Электродинамика полей и зарядов в вакууме• Покажите, что для частицы с зарядом q и массой m, движущейся поддействием внешней силы F~ (t), формула Лоренца для силы радиационноготрения приводит к нарушению принципа причинности. Значение ускоренияв момент времени t определяется влиянием внешней силы, вычисленнойв моменты времени, бесконечно удаленные в будущее:Z∞ ~ ′³ t − t′ ´F (t )dt′ ,exp~a(t) =mγγ2q 2γ=,3mc3tпри условии ~a(t) → 0 для t → ∞.12. Преобразования Лоренца для координат-времени в 3-мерномвиде.Преобразования Лоренцаx′ + V t′x=p,1 − β2x−Vt,x′ = p1 − β2z = z′,V x′t + 2t=p c ,1 − β2где β = V /c.z ′ = z,Vxt− 2t′ = p c ,1 − β2где β = V /c.′y = y′,y ′ = y,Изменение интервала времени и "сокращение"длины отрезкаpτ0τ=p,l = l0 1 − β 2 .1 − β2Электродинамика полей и зарядов в вакууме17КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Прямым вычислением покажите инвариантность интервала относительнопреобразований Лоренца:ds2 = (c dt)2 − d~r 2 = (c dt′ )2 − d~r′2= ds′ 2 .• Координатами светового конуса (light cone) называют x+ = x + ct иx− = x − ct.

Запишите преобразования Лоренца и квадрат интервалаds2 в терминах этих координат.• Верно ли, что два не одновременных события, происходящие в разныхточках пространства, ни в одной инерциальной системе отсчета не будутпроисходить одновременно и в одной и той же точке?13. Релятивистский закон сложения скоростей.Релятивистский закон сложения скоростей позволяет связать компонентывектора скорости, измеренной наблюдателями, находящимися в разныхинерциальных системах отсчета.Наблюдатель в лабораторной системе отсчета определяет компонентыскорости некоторой движущейся точки с использованием координат и часов,покоящихся в его системе отсчетаvx =dx,dtvy =dy,dtvz =dz.dtВторой наблюдатель в системе отсчета, движущейся относительнолабораторной со скоростью V вдоль положительного направления осиx, проводит аналогичное измерение для скорости точки, но с использованиемсвоей системы координат и часов, покоящихся относительно него:vx′dx′= ′,dtvy′dy ′= ′,dtvz′dz ′= ′.dtРелятивистский закон сложения скоростей позволяет связать результатыизмерений обоих наблюдателей между собой:pp′′v1 − β2vz′ 1 − β 2vx + Vy,vy =,vz =, где β = V /c.vx =vx′ Vvx′ Vvx′ V1+ 21+ 21+ 2ccc18Электродинамика полей и зарядов в вакуумеДля получения обратного преобразования, достаточно в правой частивсех выражений заменить компоненты вектора скорости со штрихом накомпоненты без штриха, и наоборот, у проекций скорости в левой частиравенств, нужно поставить штрих.

Также, следует изменить знак скоростидвижения системы отсчета на противоположный V → −V .КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Зеркало движется параллельно своей плоскости. Доказать, что уголпадения фотона равен углу отражения.• Скорость частицы в лабораторной системе отсчета равна ~v . Скоростьэтой же частицы, измеренная наблюдателем в системе отсчета,движущейся инерциально относительно лабораторной (co скоростью V~ вположительном направлении оси X), равна ~v ′ . Используя релятивистскийзакон сложения скоростей, покажите, что квадраты скорости частицы,измеренные лабораторным и подвижным наблюдателями, связаны междусобой соотношением:³´³´2 22 21 − V /c1 − v /c´³c2 .v ′2 − c2 = −1 − V vx /c2• На основании предыдущего вычисления обоснуйте утверждение: в любойинерциальной системе отсчета скорость досветовой частицы не превыситскорости света, а скорость гипотетической, сверхсветовой частицы всегдаостанется больше скорости света.Электродинамика полей и зарядов в вакууме19• Проверьте соответствие общего выражения релятивистского законасложения скоростей³´iph2′ ~′ ~2~~V , [~v , V ] 1 − β + V V + (~v , V )V~v =, β=cV 2 + β 2 (~v ′ , V~ )частному случаю, когда скорость относительного движения системыотсчета ориентирована в положительном направлении оси X.• Наблюдатель в лабораторной системе отсчета следит за частицей,движущейся относительно него со скоростью ~v , образующей уголα с положительным направлением оси X.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)