В.А. Соколов, А.В. Толоконников - Теоретическая программа-минимум к зачету (1129111)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКафедра квантовой теориии физики высоких энергий.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА-МИНИМУМ К ЗАЧЕТУпо курсу "ЭЛЕКТРОДИНАМИКА"для студентов 3-его курсафизического факультета МГУ, 2014-2015 учебный годАвторы-составители:В. А.
СОКОЛОВА. В. ТОЛОКОННИКОВМОСКВА- 2014ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА-МИНИМУМ К ЗАЧЕТУ"Часть 1. Электродинамика полей и зарядов в вакууме.Специальная теория относительности."1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Сила Лоренца.2. Уравнения Максвелла в интегральной форме.3. Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии вэлектродинамике (в дифференциальной форме).4.
Связь полей и потенциалов. Калибровка Лоренца и уравнения дляпотенциалов в этой калибровке.5. Лапласиан от скалярной функции в декартовых прямоугольных,цилиндрических и сферических координатах.6. Решение уравнений для потенциалов в виде запаздывающихпотенциалов.7. Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженность поляэлектрического диполя в электростатике. Энергия диполя во внешнемполе.8. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженностьполя магнитного диполя в статике.~ и E,~9.
Свойства плоских электромагнитных волн. Связь векторов поля Hволнового вектора ~k и частоты ω.10. Потенциалы, напряженности полей, интенсивность и угловоераспределение электрического дипольного излучения.11. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении.12. Преобразования Лоренца для координат-времени в 3-мерном виде.13. Релятивистский закон сложения скоростей.14. Преобразования Лоренца для четырехмерных векторов; примерычетырехмерных векторов, используемых в электродинамике; ихинварианты.15.
Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля.Тензор электромагнитного поля и его инварианты.16. Связь энергии, импульса, массы и скорости релятивистской частицы.17. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле.18. Выражения для плотности энергии, плотности импульса и потокаэнергии электромагнитного поля.19. Функция Лагранжа релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле. Уравнения движения в форме Лагранжа.ПРИМЕЧАНИЯ:1. Минимальным требованием для зачета является знание всех соответствующих формул без вывода.2. Знание перечисленных вопросов является необходимым, но не достаточнымдля зачета.
Достаточным является умение применить данные формулы крешению задач.Электродинамика полей и зарядов в вакууме31. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Сила Лоренца~4π ~1 ∂E~rot H =,j(~r, t) +cc ∂t~ = 4πρ(~r, t),div E~1 ∂H~,rot E = −c ∂t~ = 0,div H~ = H(~~ r, t),H~ = E(~~ r, t).EСила Лоренца£¤~ r, t) + q ~v (t), H(~~ r, t) ,F~ = q E(~cгде ~r – радиус-вектор частицы в текущий момент времени, ~v (t) = ~r˙ – скоростьчастицы.Плотность силы Лоренца³ F~ ´¤£~ r, t) ,~ r, t) + 1 ~j, H(~= ρE(~∆V →0 ∆Vcf~(~r, t) = limгде ρ(~r, t) и ~j(~r, t) – плотность заряда и плотность тока в точке с радиусвектором ~r в момент времени t.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Объясните несоответствие числа уравнений и числа неизвестных в системеуравнений Максвелла.•* Докажите единственность решений системы уравнений Максвелла ввакууме при заданных источниках.• Используя цилиндрические координаты, запишите компоненты силыЛоренца, действующей на заряд, движущийся в однородном магнитном~ направленном по оси z.поле H,•* Укажите, как бы изменилось выражение для силы Лоренца,действующей со стороны электромагнитного поля на гипотетическуючастицу, имеющую электрический заряд q и магнитный заряд g.4Электродинамика полей и зарядов в вакууме2.
Уравнения Максвелла в интегральной формеI~ = 4π I + 1~ dl)(H,cc∂ ~ ~(E, dS),∂tSLIZ~ = 4π Q,~ dS)(E,SI~ = −1~ dl)(E,c∂ ~ ~(H, dS),∂tSLIZ~ = 0,~ dS)(H,Sгде Q – полный заряд, заключенный внутри объема V , а I – ток, протекающийчерез поверхность S.ZZ~I = (~j, dS),Q = ρ dV,SVНапряженности электрического и магнитного поля в общем случае зависят откоординат точки наблюдения и от времени:~ = H(~~ r, t),H~ = E(~~ r, t).EКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Как изменятся интегральные уравнения Максвелла в случае, если формаконтура L и поверхности S будет изменяться с течением времени.• Верно ли, что для электростатического поля с заданным распределениемзарядов уравнения Максвелла в интегральной форме позволяют~ с точностью до произвольногоопределить напряженность поля E~вектора, перпендикулярного к dS?• Проверьте согласованность уравнений Максвелла в интегральной форме сзаконом сохранения заряда.Электродинамика полей и зарядов в вакууме53.
Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии вэлектродинамике (в дифференциальной форме)∂ρ(~r, t)+ div ~j(~r, t) = 0,∂t´³∂W~~+ div ~σ + j, E(~r, t) = 0,∂th эгр i E~2 + H~2=– плотность энергии электромагнитного поля,W=см38πh эгр ic £~ ~ ¤~σ =E, H – плотность потока энергии электромагнитного поля.=см2 c4πКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Проверьте выполнение закона сохранения заряда для точечного заряда q,движущегося по заданному закону ~r = ~r0 (t) со скоростью ~v0 = d~r0 /dt.• Укажите физический смысл каждого из слагаемых в законе сохраненияэнергии в дифференциальной форме.• Проверьте выполнение закона сохранения энергии в дифференциальнойформе для плоской электромагнитной волны в вакууме.6Электродинамика полей и зарядов в вакууме4.
Связь полей и потенциалов. Калибровка Лоренца и уравнения дляпотенциалов в этой калибровке.~ r, t) = rot A(~~ r, t),H(~~ r, t)1 ∂ A(~~~.E(~r, t) = −∇ϕ(~r, t) −c ∂tКалибровочные преобразования~′ = A~ + ∇f~ (~r, t),Aϕ′ = ϕ −1 ∂f (~r, t).c ∂tКалибровка Лоренца1 ∂ϕ~ = 0.+ div Ac ∂tУравнения для потенциалов в калибровке Лоренца~ = − 4π~j(~r, t),ϕ(~r, t) = −4πρ(~r, t),Acгде для сокращения записи использовано обозначение для операторад’Aламбера (Jean d’Alambert):=△−1 ∂2.c2 ∂t2КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Используя векторное обозначение, запишите выражение скалярногопотенциала ϕ(~r) для однородного электростатического поля с~ 0 .
Запишите выражение векторного потенциаланапряженностью E~ r) для однородного магнитного поля с напряженностью H~ 0.A(~• Допускает ли калибровка Лоренца выполнение дополнительныхкалибровочных преобразований? Если да, то какому уравнению должнаудовлетворять калибровочная функция таких преобразований?• Прямым вычислением проверьте, что напряженности электрического имагнитного полей не изменяются при калибровочных преобразованиях.Также, проверьте согласованность уравнений для потенциалов вкалибровке Лоренца с законом сохранения заряда.Электродинамика полей и зарядов в вакууме75. Лапласиан от скалярной функции в декартовых прямоугольных,цилиндрических и сферических координатах.∆ψ(~r) = div grad ψ(~r)Декартовы прямоугольные координаты∆ψ(x, y, z) =∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ+ 2 + 2.∂x2∂y∂zЦилиндрические координатыx = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z,1 ∂ ³ ∂ψ ´ 1 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψr+ 2 2 + 2.∆ψ(r, ϕ, z) =r ∂r ∂rr ∂ϕ∂zСферические координатыx = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ,∂³∂ 2ψ1 ∂ ³ 2 ∂ψ ´1∂ψ ´1∆ψ(r, θ, ϕ) = 2r+ 2sin θ+ 2 2.r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫª©• Вычислите в сферической системе координат ∆ cos θ/r2 во всех точкахза исключением начала координат.• Вычислите в цилиндрической системе координатnB cos(2ϕ) o∆ A ln(r) +r2во всех точках за исключением начала координат.
A, B – постоянные.³´• Вычислите ∆ ω~ , ~r , где ω~ – произвольный постоянный вектор, а ~r–радиус-вектор.8Электродинамика полей и зарядов в вакууме6. Решение уравнений для потенциалов в виде запаздывающихпотенциалов.³′ ´Z ρ ~r ′ , t − |~r − ~r |cϕ(~r, t) = −4πρ(~r, t),ϕ(~r, t) =dV ′ ,′|~r − ~r |V~ = − 4π~j(~r, t),Ac³′ ´Z ~j ~r ′ , t − |~r − ~r |c~ r, t) = 1dV ′ .A(~′c|~r − ~r |VКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Найдите потенциал электростатического поля, создаваемого бесконечнойтонкой нитью, расположенной вдоль оси Z и равномерно заряженной подлине с линейной плотностью заряда κ.• Используя решение для запаздывающих потенциалов, покажите, чтовекторный потенциал магнитостатического поля удовлетворяет уравнению~ r) = 0.divA(~• *Покажите что для частицы с зарядом q, движущейся равномерно ипрямолинейно по закону x(t) = V t, y(t) = 0, z(t) = 0, потенциалыэлектромагнитного поля можно представить в виде:~q~ r, t) = V ϕ(~r, t).,A(~ϕ(~r, t) = q¡¢¢¡¢2 ¡cx − V t + 1 − V 2 /c2 y 2 + z 2Электродинамика полей и зарядов в вакууме97.
Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженностьполя электрического диполя в электростатике. Энергия диполя вовнешнем поле.Электрический дипольный момент электростатической системы с плотностьюзаряда ρ(~r ′ ) в общем случае определяется выражениемZd~ = ρ(~r ′ ) ~r ′ dV ′ .VДля системы, состоящей из N точечных частиц, электрический дипольныйNP~qk~rk , где ~rk ′ – радиус-вектормомент можно вычислить проще: d =k=1заряда qk . Потенциал и напряженность электрического поля диполя вэлектростатике:~ ~r )(d,,ϕ(~r ) =r3~ ~r )~r3(d,d~~~E(~r ) = −∇ϕ(~r ) =− 3.r5r~ ext :Энергия взаимодействия диполя d~ с внешнем электрическом поле E¡¢~E~ ext (~r) ,E = − d,где ~r – радиус-вектор точки, в которой находится диполь.Сила, действующая на диполь d~ со стороны внешнего электрического поля~ ext :E¡¢~∇~ = d,~ E~ ext (~r).F~ = −∇EМомент силы, действующий на диполь d~ со стороны внешнего~ ext :электростатического поля E£¤~E~ = d,~ ext (~r ) .MКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ• Докажите, что электрический дипольный момент электрическинейтральной системы не зависит от выбора положения начала системыкоординат.10Электродинамика полей и зарядов в вакуумеYd~~EXРис.
1. Силовые линии напряженности электрического полядиполя~ || в точке на• Вычислите напряженность электрического поля диполя Eоси диполя на расстоянии R от диполя. Вычислите напряженность~ ⊥ в точке, расположенной перпендикулярноэлектрического поля диполя E¯ ¯ ¯ ¯~ ⊥ ¯.~ || ¯/¯Eоси диполя на расстоянии R от него. Найдите отношение ¯E• Электрические диполи d~1 и d~2 ориентированы взаимно перпендикулярнои лежат в одной плоскости с радиус-вектором ~r, проведенным от первогодиполя ко второму. Найдите силу, действующую на диполь d~2 со стороныдиполя d~1 .8. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал инапряженность поля магнитного диполя в статике.Магнитный дипольный момент магнитостатической системы с плотностьютока ~j определяется выражениемZ£ ′¤1m~ =~r , ~j(~r ′ ) dV ′ .2cVЭлектродинамика полей и зарядов в вакууме11Векторный потенциал и напряженность поля магнитного диполя в статике:£¤m,~~r~ ~r )~r m~~ r ) = rot A(~~ r ) = 3(m,~ r)=,H(~−.A(~r3r5r3~ ext :Энергия взаимодействия диполя m~ с внешнем магнитным полем H¡¢~ ext (~r) ,E = m,~ Hгде ~r – радиус-вектор точки, соответствующей положению диполя.~ ext :Момент силы, действующий на диполь m~ во внешнем магнитном поле H£¤~ = m,~ ext (~r ) .M~ HКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ~ r),• Используя выражение для векторного потенциала магнитного A(~~ r).получите напряженность поля магнитного диполя H(~• Магнитный диполь m~ ориентирован вдоль оси Z.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
