А.Я. Хелемский - Программа экзамена по функциональному анализу (1128677), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В ℓ∞ к последовательности (1, 0, 0, 0, . . . ) в подпространстве {(0, a2 , a3 , a3 , . . . ) ∈ ℓ∞ } любойвектор с |ai | 6 1, i = 2, 3, 4, . . . , является ближайшим.14. Норма диагонального оператора в ℓ2 .Ответ. Норма оператора T = diag(λ1 , λ2 , . . . ) равна kT k = sup |λi |2 .i15. Норма оператора неопределенного интегрирования в C[0, 1] и L1 [0, 1]. = 1.Ответ. TR = TR C[0,1]L1 [0,1]16. Слабая топологическая эквивалентность и топологическая эквивалентность операторов — это разные вещи.17.
Общий вид ограниченных функционалов в c0 , ℓ1 и ℓ2 .18. Пример, когда продолжений функционала, сохраняющих норму, много, и пример, когда такое продолжениевсего одно.19. Если E0 — замкнутое подпространство в нормированном пространстве E, и x ∈ E r E0 , то существуетf ∈ E ∗ , такой, что f = 0 на E0 и f (x) 6= 0.620. Не существует ни одного ненулевого непрерывного линейного функционала на пространстве измеримыхфункций на [0,1] с метрикойZ1|f (t) − g(t)|dt.d(f, g) :=1 + |f (t) − g(t)|021. Пространства C[a, b], L2 [a, b] и L∞ [a, b] — банаховы, а пространство непрерывных функций на отрезке синтегральной нормой — не банахово.22. Нормированное пространство со счетным алгебраическим базисом никогда не банахово.23. Для нормированных пространств E и F пространство B(E, F ) банахово ⇐⇒ F банахово.24.
Принцип продолжения по непрерывности для равномерно непрерывных отображений метрических пространств.25. В замкнутых подпространствах почти гильбертовых пространств может и не быть вектора, ближайшегок данному.26. В замкнутых подпространствах банаховых пространств может и не быть вектора, ближайшего к данному.27. Пример изометрического изоморфизма между L2 (X, µ)∗ и L2 (X, µ).28. В теореме Банаха об обратном операторе нельзя отбросить требование полноты ни первого, ни второго иззаданных пространств.Указание. Рассмотреть тождественный оператор T : (ℓ1 , k·k1 ) → (ℓ1 , k·k∞ ).
Он ограничен, а обратный кнему — нет. Чтобы обосновать необходимость полноты первого пространства, использовать симметричность теоремы.29. Если линейное пространство сделано банаховым относительно двух норм, и первая мажорирует вторую,то и вторая мажорирует первую.′Указание. Рассмотреть тождественный оператор из (E, k·k) в (E, k·k ), доказать его ограниченность иприменить теорему Банаха об обратном операторе.30. В теореме Банаха – Штейнгауза требование полноты первого из заданных пространств нельзя отбросить.Указание. Рассмотреть семейство операторов fn : (c00 , k·k∞ ) → C, fn (a1 , a2 , .
. . , an , . . . ) = nan .31. Норма сопряженного оператора равна норме исходного.32. Оператор, сопряженный к изометрическому, коизометрический.33. Сопряженные операторы к диагональному оператору и операторам сдвига в пространствах, сопряженныхк c0 , ℓ 1 и ℓ 2 .34. Свойство универсальности пополнения относительно произвольных ограниченных операторов.35. Эквивалентность двух определений компактного подмножества.36. Эквивалентные определения компактности в терминах центрированных множеств.37. Компактность — топологическое свойство.38. В теореме Александрова нельзя отбросить ни требование компактности первого, ни требование хаусдорфовости второго из заданных пространств.39. Эквивалентность двух определений сверхограниченного множества.40. Замыкание сверхограниченного множества само сверхограниченно.Указание.
ε-сеть множества есть 2ε-сеть его замыкания в силу неравенства треугольника.41. Алгебраическая сумма и растяжение сверхограниченных множеств сверхограниченны.42. Единичный шар во всех предлагавшихся примерах бесконечномерных нормированных пространств несверхограничен.43. Единичный шар в C1 [a, b] как подмножество в C[a, b] сверхограничен, но не компактен.44.
Подмножество в единичном шаре C[a, b], состоящее из таких f , что |f (s) − f (t)| 6 |s − t|, s, t ∈ [a, b],компактно.45. Критерий компактности подмножества в ℓ2 .46. Критерий компактности диагонального оператора в ℓ2 .47. Оператор умножения на функцию в L2 (X, µ), не равную нулю почти всюду, не компактен.48. Оператор неопределенного интегрирования компактен.49. Оператор дифференцирования из C1 [a, b] в C[a, b] не компактен.7VI семестр1.2.3.4.5.6.7.8.Оператор, слабо топологически эквивалентный компактному, сам компактен.Интегральный оператор является оператором Шмидта.Оператор, слабо топологически эквивалентный фредгольмову, сам фредгольмов.Компактный оператор между банаховыми пространствами с бесконечномерной областью значений никогдане фредгольмов.Когда диагональный оператор в ℓ2 фредгольмов?Когда оператор умножения на непрерывную функцию в L2 [a, b] фредгольмов?Указать фредгольмов оператор заданного индекса.Задано интегральное уравнение второго рода (1) в L2 [a, b] и соответствующее однородное уравнение (2).Тогда:• существует набор x1 , .
. . , xm линейно независимых решений уравнения (2), такой, что всякое решениеэтого уравнения есть линейная комбинация указанных решений;• существует набор z1 , . . . , zn линейно независимых функций в L2 [a, b], такой, что правые части уравнения (1), для которых это уравнение разрешимо – это в точности те y, для которыхZby(t)zk (t) dt = 0,k = 1, . . . , n.a• m = n.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.Размерность ядра и коразмерность образа фредгольмова оператора не устойчивы при малых возмущениях.Классическая сходимость в C∞ [a, b] не может быть задана преднормой.Покоординатная сходимость в c∞ не может быть задана преднормой.Эквивалентные системы преднорм задают одну и ту же топологию.Как по семейству преднорм судить о том, что пространство нормируемо?Пространство, сопряженное к бесконечномерному хаусдорфову полинормированному пространству, бесконечномерно.Любая слабая∗ окрестность нуля в пространстве, сопряженном к бесконечномерному хаусдорфову полинормированному пространству, содержит бесконечномерное подпространство.Из ограниченной по норме последовательности функционалов на сепарабельном нормированном пространстве можно выделить слабо∗ сходящуюся подпоследовательность.Для любых возрастающих a, b, c, d ∈ R существует «шляпа» ϕ ∈ D: 0 6 ϕ 6 1, и ϕ = 1 внутри [b, c] и ϕ = 0вне [a, d].Оператор дифференцирования в S и в E непрерывен.Оператор умножения на гладкую функцию в D и в E и оператор умножения на умеренно растущуюгладкую функцию в S непрерывен.Если функционал на E непрерывен, то он непрерывен по некоторой стандартной норме.D плотно в S.RФункционал ϕ 7→ ϕ(t)t dt — это сингулярная обобщенная функция порядка 1.23.
Функционал ϕ 7→R∞Pϕ(k) (k) — это сингулярная обобщенная функция бесконечного порядка.k=124.25.26.27.28.29.Какова обобщенная функция с нулевой производной?Каждая обобщенная функция обладает первообразной.Существование и единственность оператора дифференцирования в S ∗ .Существование и единственность оператора умножения на гладкую функцию в D∗ .Существование и единственность оператора умножения на умеренно растущую гладкую функцию в S ∗ .Спектры, а также точечные, непрерывные и остаточные спектры топологически эквивалентных операторовсовпадают.30.
Если λ — точка непрерывного спектра оператора T : E −→ E, то существует последовательность xn ∈E; kxn k = 1, такая, что T xn − λxn −→ 0; n −→ ∞.831. Каков спектр (и его выделенные части) проектора?32. Каков спектр (и его выделенные части) диагонального оператора в ℓ2 ?33. Каков спектр (и его выделенные части) оператора левого сдвига в ℓ2 ?34. Каков спектр (и его выделенные части) оператора правого сдвига в ℓ2 ?35. Каков спектр (и его выделенные части) оператора сдвига в ℓ2 (Z)?36. Каков спектр (и его выделенные части) оператора умножения на непрерывную функцию в L2 [a, b]?37. Любое непустое подмножество в C может служить спектром элемента (чистой) алгебры.38.
Указать элемент (чистой) алгебры с пустым спектром.39. Спектр сопряженного оператора «комплексно-сопряжен» к спектру исходного.40. Если λ — точка остаточного спектра оператора, то λ — точка точечного спектра его сопряженного.41. Если λт точка точечного спектра оператора, то λ — точка точечного или остаточного спектра его сопряженного.42. Если λ — точка непрерывного спектра оператора, то λ — точка непрерывного спектра его сопряженного.43. Каков оператор, сопряженный к диагональному оператору в ℓ2 ?44.
Каков оператор, сопряженный к оператору левого сдвига в ℓ2 ?45. Каков оператор, сопряженный к оператору правого сдвига в ℓ2 ?46. Каков оператор, сопряженный к оператору умножения на непрерывную функцию в L2 [a, b]?47. Каков оператор, сопряженный к оператору неопределенного интегрирования в L2 [0, 1]?48. Задано интегральное уравнение второго рода (1) в L2 [a, b], его сопряженное уравнение (1∗ ) и соответствующие однородные уравнения (2) и (2∗ ). Пусть, далее, x1 , .
. . , xm и z1 , . . . , zn — функции, о которых говоритсяв задаче 8. Тогда:• z1 , . . . , zn образуют максимальную линейно независимую систему решений уравнения (2∗ )• правые части уравнения (1∗ ), для которых это уравнение разрешимо — это в точности те y, длякоторыхZby(t)xk (t) dt = 0, k = 1, . .
. , m.a49. Спектр самосопряженного оператора может быть любым подмножеством R.50. Спектр унитарного оператора может быть любым подмножеством S 1 (единичная окружность).51. Спектр нормального оператора может быть любым подмножеством C.52. У самосопряженного оператора нет остаточного спектра.53. Теорема Гильберта – Шмидта для сепарабельного бесконечномерного пространства эквивалентна следующему утверждению: всякий компактный самосопряженный оператор унитарно эквивалентен операторуумножения на сходящуюся к нулю последовательность действительных чисел в ℓ2 .54.
Квадраты s-чисел компактного оператора T суть собственные числа оператора T ∗ T .t255. Преобразование Фурье оставляет на месте функцию e− 2 .56. Ta (ϕ ∗ ψ) = (Ta ϕ) ∗ ψ = ϕ ∗ (Ta ψ), где Ta — сдвиг на a.57. Объясните фразу: «свертка горба со ступенькой — это шляпа». R58. Пусть функции гn таковы, что гn = 0 вне − n1 , n1 и гn (t) dt = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
