А.Я. Хелемский - Программа экзамена по функциональному анализу (1128677), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ортогональные векторы и ортонормированные системы. Примеры. Равенство Пифагора. Процесс ортогонализации.5. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Вектор в конечномерном подпространстве, ближайший к данному. Неравенство Бесселя.6. Тотальные ортонормированные системы и теорема о разложении в ряд Фурье по таким системам. БазисШаудера нормированного пространства и ортонормированный базис сепарабельного почти гильбертовапространства.7. Ограниченные операторы и операторная (пред)норма. Мультипликативное неравенство.
Интегральныйоператор.8. Эквивалентность непрерывности и ограниченности оператора. Топологический и изометрический изоморфизм. Случай конечномерных пространств (без доказательства). Способы отождествления произвольныхоператоров и эндоморфизмов.9.
Вопрос о продолжении операторов и пример Филлипса (без доказательства). Теорема Хана — Банаха и еёдоказательство для сепарабельного действительного пространства.10. Теорема Хана — Банаха для комплексных пространств. Следствие о достаточности функционалов. ТеоремаРисса о функционалах на C[a, b].11. Банаховы и гильбертовы пространства. Полнота пространства операторов.
Признак сходимости рядов.Принцип продолжения по непрерывности.12. Теорема Рисса – Фишера. Общая теорема о классификации гильбертовых пространств (без доказательства). Плохие свойства общих банаховых пространств. Теорема Гауэрса и теорема Энфло – Рида (без доказательства).13. Вектор, ближайший к данному, в подпространствах гильбертовых пространств. Теорема об ортогональномдополнении.14.
Ортогональный проектор. Теорема Рисса о функционалах в гильбертовом пространстве.15. Пример биективного ограниченного оператора без ограниченного обратного. Теорема Банаха об обратномоператоре (без доказательства). Теорема Банаха — Штейнхауса и существенность условия полноты.16. Банахов сопряженный оператор и его простейшие свойства. Эквивалентные определения пополнения нормированного пространства.
Теорема единственности пополнения.17. Теорема существования пополнения нормированного пространства. Пополнение почти гильбертова пространства.18. Компактные топологические пространства. «Теорема Вейерштрасса» и теорема Александрова. ТеоремаТихонова (без доказательства).19. Сверхограниченные метрические пространства. Случай конечномерных нормированных пространств. Свойства метрических пространств, эквивалентные сверхограниченности.20. Свойства метрических пространств, эквивалентные компактности.
Случай конечномерных нормированныхпространств.21. Лемма о почти перпендикуляре и теорема Рисса. Теорема Арцела (без доказательства).22. Компактные операторы. Операции, сохраняющие компактность. Компактность интегрального оператора.VI семестр1. Теорема Шмидта о строении компактного оператора между гильбертовыми пространствами.2. Теорема Аллахвердиева об s-числах (без доказательства).
Операторы Шмидта и ядерные операторы. Следядерного оператора.3. Фредгольмовы операторы и их индексы. Первая теорема Фредгольма.4. Альтернатива Фредгольма и третья теорема Фредгольма. Мультипликативное свойство индекса и егоустойчивость (без доказательства).5. Полинормированные пространства: определение, примеры, топология, сходящиеся последовательности,условие хаусдорфовости. Примеры. Топология полинормированного пространства.
Выражение сходимостипреобразований и хаусдорфовости на языке преднорм.46. Полинормированные пространства: условие непрерывности оператора, пространство операторов, сопряженное пространство, условие достаточности функционалов. Выражение непрерывности оператора между полинормированными пространствами на языке преднорм. Пространство операторов и сопряженноепространство в контексте полинормированных пространств. Связь между хаусдорфовостью полинормированного пространства и условием достаточности функционалов.7.
Полинормированные пространства: слабая и ∗-слабая топологии, условия их хаусдорфовости, условие∗-слабой плотности подпространства сопряженного пространства.8. Сопряженные операторы в контексте полинормированных пространств и их ∗-слабая непрерывность. Сравнение трех топологий в пространстве, сопряженном к банахову. Теорема о банаховых сопряженных операторах и теорема Банаха-Алаоглу (обе без доказательства).9.
Три пространства пробных функций: состав элементов, преднормы, сходящиеся последовательности.10. Плотность D и S в E. Сравнение топологий этих трех пространств. Непрерывность оператора дифференцирования в D.11. Определение трех видов обобщенных функций. Критерий принадлежности функционала к обобщеннымфункциям. Регулярные обобщенные функции. Дельта-функция и ее сингулярность.12. Топология в пространствах обобщенных функций. Отождествление одних пространств пробных и обобщенных функций с частью других.
Плотность D в D∗ и S в S ∗ .13. Оператор дифференцирования обобщенных функций; его существование и единственность. Эквивалентность двух подходов к обобщенным функциям с компактным носителем. Выражение последних черезрегулярные функции (без доказательства).14.
Спектр оператора. Точечный, непрерывный и остаточный спектр. Спектр компактного оператора.15. Абстрактные алгебры и спектры их элементов. Многочлен от элемента алгебры и его спектр.16. Банаховы алгебры. Топологические свойства группы их обратимых элементов. Следствие о спектрах.Спектр изометрического изоморфизма.17. Резольвентная функция.
Теорема о непустоте спектра. Формула спектрального радиуса (без доказательства).18. Экспонента элемента банаховой алгебры и обратный к ней элемент. Связь между спектром экспоненты и«экспонентой спектра».19. Гильбертов сопряженный оператор. Соотношения сопряженности. Свойства операции «∗». Оператор, сопряженный к интегральному.20. Взаимосвязь между ядрами и образами исходного и сопряженного оператора. Сохранение операцией «∗»конечномерности и компактности. Алгебраическая характеризация унитарного оператора. C ∗ -тождество.21. Самосопряженные операторы и их простейшие свойства. Алгебраическая характеризация проектора.
Местоположение спектра самосопряженного оператора.22. Теорема Гильберта – Шмидта. Реализация произвольного самосопряженного оператора как оператора умножения на функцию (без доказательства).23. Классическое преобразование Фурье и его общие свойства. Теорема единственности (без доказательства).Взаимозамена, посредством преобразования Фурье, свойств гладкости и быстроты убывания.24.
Свертка интегрируемых функций и действие на нее преобразования Фурье.25. Преобразование Фурье в пространстве S. Лемма об операторах, перестановочных с умножением на независимую переменную.26. Лемма об операторах, перестановочных с дифференцированием. Теорема обращения преобразования Фурье в S. Оператор Фурье в S ∗ : существование и единственность. Преобразование Фурье дельта-функции.27. Теорема Планшереля.
Гильбертов оператор Фурье и его спектр.ЗадачиV семестр1. Поточечная сходимость в C[a, b] не может быть задана никакой метрикой.Решение.a cd bПредположим, что существует метрика ρ, задающая поточечную сходимость в C[0, 1]. Пусть функция[c,d]F[a,b] ∈ C[0, 1] — трапецевидная функция с нижним основанием [a, b] и верхним основанием [c, d] (см.рисунок). Докажем следующее утверждение:5[c,d]Лемма 1. Для любого ε > 0 и любого отрезка [a, a′ ] ⊂ [0, 1] существует трапеция f = F[a,b] , a < b < a′ ,такая, что ρ(f, 0) < ε.
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность чисел xn , a < xn < a′ , так чтобы xn → a. Накаждом отрезке [a, xn ] построим трапецию Fn с нижним основанием [a, xn ] (и верхним основанием [cn , dn ],которое можно взять любым таким, чтобы a < cn < dn < xn ). Последовательность Fn стремится поточечнок нулю. (В самом деле, если x ∈ [a, a′ ], то существует такой номер N , что ∀n > N a < xn < x и потомуFn (x) = 0 ∀n > N ). Значит, последовательность Fn сходится по метрике (по нашему предположению) и[c,d]∃N ρ(FN , 0) < ε.
Обозначив b = xN , c = cN , d = dN , получим, что для f = F[a,b] = F выполнено ρ(f, 0) < ε,причем a < b < a′ . [c ,d ]Докажем теперь утверждение задачи. Пусть f1 = F[a11 ,b11 ] — произвольная трапецевидная функция. Тогдавозьмем трапецию с основанием [a2 , b′2 ], такую, чтобы c1 < a2 < b′2 < d1 .
По лемме существует функцияρ(f1 , 0)[cn−1 ,dn−1 ][c ,d ]f2 = F[a22 ,b22 ] , такая, что a2 < b2 < b′2 и ρ(f2 , 0) <2 . Пусть построена функция fn−1 = F[an−1 ,bn−1 ] .′′Возьмем трапецию с основанием [an , bn ], такую, чтобы cn−1 < an < bn < dn−1 . По лемме существуетρ(fn−1 , 0)[c ,d ]функция fn = F[ann ,bnn ] , такая, что an < bn < b′n и ρ(fn , 0) <.2Последовательность fn сходится к нулю по метрике, значит, она должна сходиться к нулю поточечно.Но [cn , dn ] — последовательность вложенных отрезков, которые имеют имеют общую точку x, причем∀n fn (x) = 1, поэтому lim fn (x) = 1, а не 0 — противоречие. n→∞2. Открытые подмножества метрического пространства образуют топологию.3.
Любая совокупность подмножеств есть предбаза некой топологии.4. Если непрерывные отображения в хаусдорфово пространство совпадают на плотном множестве, то ониравны.5. Сходимость последовательности в тихоновской топологии есть поточечная сходимость.6. Топологическое произведение счетного числа двоеточий гомеоморфно канторову множеству.7.
Сходимость почти всюду на множестве измеримых функций на отрезке не задается никакой топологией.8. Норма — непрерывная функция на нормированном пространстве.Указание. Доказать, что если xn → x, то kxn k → kxk.9. Пространства C[0, 1] и L2 [0, 1] — сепарабельны, а L∞ [0, 1] — нет.10. Непрерывное и равномерно непрерывное отображение метрических пространств — это разные вещи.Указание. f : R → R+ , f (x) = x2 , непрерывно, но не равномерно непрерывно. Или tg : (− π2 , π2 ) → R.11. Скалярное произведение — непрерывная функция на топологическом квадрате почти гильбертова пространства.Указание. Доказать, что если xn → x, yn → y, то hxn , yn i → hx, yi.12. Если норма гильбертова, то kx + yk = kxk + kyk влечет x = λy.13. Векторов в подпространствах нормированных пространств, ближайших к данному, может быть много.Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
