Набранные лекции Денисова (2003) (1128011), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Используемый для ее получения метод называется методом Римана.Замечание. Формула Даламбера является частным случаем формулы (4.19).4.12 Обобщенные решенияВстречаются случаи, когда решения прикладных задач бывают разрывными. Такие решения нельзя получитьстандартными формулами из данного курса, однако их можно представить, к примеру, как предел "обычных" решений.Обобщенные решения в форме предельного переходаОбщий подход. Пусть функцию u надо найти из уравнения L[u] = 0, причем на нее наложены условия в виденекоторых функций F и Φ.
Если такая задача не имеет решения (например, из-за того, что F 6∈ C 2 , Φ 6∈ C 2 ), томы строим равномерно сходящиеся последовательности:Fn ⇒ F, Φn ⇒ Φ,где Fn ∈ C 2 , Φn ∈ C 2 . Тогда, если существует решение (функция un ), соответствующее функциям Fn и Φn , то вкачестве u берем предел функций un :u = lim unn→∞при условии, что последовательность un равномерно сходится к u.Пример. Рассмотрим задачу Коши для гиперболического уравнения:utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞, 0 < t 6 T ;u(x, 0) = φ(x),−∞ < x < +∞;ut (x, 0) = ψ(x), −∞ < x < +∞.60Известно, что если φ ∈ C 2 (E), ψ ∈ C 1 (E), то решение задается формулой Даламбера:φ(x − at) + φ(x + at)1u(x, t) =+22ax+atZψ(ξ) dξ.x−atТеперь пусть в аналогичной задаче функции φ, ψ всего лишь непрерывны – то есть мы не можем воспользоваться формулой Даламбера.Будем работать в полосе 0 < t 6 T .
Потребуем, чтобы φ = ψ = 0 вне отрезка [−d; d], где d – некотораяконстанта. (Такое свойство обозначается как supp φ, ψ = [−d; d].)Предположим, что существуют такие функции φn (x), ψn (x), что φn ∈ C 2 (E), ψn ∈ C 1 (E), причем φn (x) =ψn (x) = 0 для |x| > 2d иφn (x) ⇒ φ(x);на отрезке[−2(d + aT ); 2(d + aT )].ψn (x) ⇒ ψ(x).Для решения задач Коши, соответствующих функциям φn и ψn , справедлива формула Даламбера:φn (x − at) + φn (x + at)1un (x, t) =+22ax+atZψn (ξ) dξ=⇒ un (x, t) ∈ C 2 {E × [0; T ]}.x−atНазовем решением предел таких функций: u(x, t) = lim un (x, t).n→∞Определение будет корректным, если мы покажем, что в прямоугольнике Π = {(x, t) : −2d − aT 6 x 6 2d +aT, 0 6 t 6 T } последовательность un (x, t) равномерно сходится (очевидно, вне его все ее члены тождественноравны нулю).
Для этого докажем, что un – фундаментальная последовательность, то есть∀ ε > 0 ∃M : ∀ m > M, ∀ p > 0 |um+p (x, t) − um (x, t)| < ε∀ (x, t) ∈ Π.Оценим эту разность через формулу Даламбера:|um+p (x, t) − um (x, t)| 6|φm+p (x + at) − φm (x + at)| |φm+p (x − at) − φm (x − at)|++22x+atZ1+|ψm+p (ξ) − ψm (ξ)| dξ.2ax−atПолученную сумму можно сделать меньше любого наперед заданного ε – это следует из равномерной сходимости, а, следовательно, и фундаментальности последовательностей φn , ψn .Отсюда получаем, чтоun (x, t) ⇒ u(x, t), (x, t) ∈ Π, причем u(x, t) ∈ C[Π].Кроме того, так как un (±(2d + aT ), t) = 0, то u(±(2d + aT ), t) = 0, и u(x, t) = 0 вне Π.Построенная таким образом функция называется обобщенным решением в форме предельного перехода.Возникает вопрос: единственно ли такое решение (ведь последовательности φn , ψn мы выбирали произвольно)? Для ответа на этот вопрос возьмем любые две пары последовательностей φ1n , φ2n и ψn1 , ψn2 такие, что( 1φn ⇒ φ, φ2n ⇒ φ;ψn1 ⇒ ψ, ψn2 ⇒ ψ.Предположим, что им соответствуют два решения: u1 (x, t), u2 (x, t), являющихся пределами полученных поформуле Даламбера членов последовательностей u1n и u2n соответственно.
Докажем, что u1 (x, t) ≡ u2 (x, t). Дляэтого оценим их разность:|u1 (x, t) − u2 (x, t)| 6 |u1 (x, t) − u1n (x, t)| + |u1n (x, t) − u2n (x, t)| + |u2 (x, t) − u2n (x, t)|.61Первое и третье слагаемые стремятся к нулю в силу равномерной сходимости функций u1n и u2n к u1 и u2соответственно. Оценим второе, применяя формулу Даламбера:|u1n (x, t) − u2n (x, t)| 6|φ1n (x + at) − φ2n (x + at)| |φ1n (x − at) − φ2n (x − at)|++22x+atZ1|ψn1 (ξ) − ψn2 (ξ)| dξ.+2ax−atОно также стремится к нулю, так как последовательности φ1n , φ2n и ψn1 , ψn2 сходятся к одним и тем же функциям – к φ и ψ соответственно. Отсюда получаем равенство u1 (x, t) и u2 (x, t).Обобщенное решение в смысле интегрального тождестваДругим примером применения обобщенных решений может быть случай, когда в уравнении Пуассона∆u = −f (x, y, z).функция f не является дважды дифференцируемой – то есть "нормального" решения нет (т.к.
всегда ∆u ∈ C 2 ).Общий подход. Пусть в области Ω ⊂ E3 с границей Σ функция u(x1 , x2 , x3 ) определяется уравнениемL[u] = F , где3 X33XXL[u] =aij (x)uxi xj +bi (x)uxi + c(x)u.i=1 j=1i=1Тогда сопряженный к L оператор задается так:M [v] =3 X3X(aij (x)v)xi xj −i=1 j=13X(bi (x)v)xi + c(x)v.i=1Будем рассматривать только такие функции v, что v ∈ C 2 (Ω), supp v ⊂ Ω (полностью внутри Ω).Известно, что, если u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), то справедлива формула (4.16):ZZZZZZZZ(vL[u] − uM [v]) dτ =div P~ dτ = {формула Остроградского - Гаусса (5.3)} =(P~ , ~n) dσ.ΩΩΣИз условий на v получаем, что функции v, vx , vy , vz , а, следовательно, и вектор-функция P~ обращаются внуль на Σ. Отсюда получаем, чтоZZZ(vL[u] − uM [v]) dτ = 0.ΩИспользуем, что L[u] = F :ZZZZZZvF dτ =ΩuM [v] dτ.(4.20)ΩПолученное выражение для u называется обобщенным решением в смысле интегрального тождества.Таким образом, мы преобразовали исходное уравнение для u, "перебросив" требование непрерывной дифференцируемости на функцию v, потребовав также, чтобы она была не равна нулю лишь в области, лежащей строговнутри Ω.625 Приложение.
Вспомогательные формулы и определенияОпределение. Пусть функция φ(x, y, z) задана в пространстве E3 . Тогда ее градиентом называется векторфункция grad φ = {φx , φy , φz }, определенная всюду, где существуют все частные производные функцииφ(x, y, z).~ y, z) имеет вид A(x,~ y, z) = {P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}.Определение. Пусть вектор-функция A(x,~ = Px + Qy + Rz , определенная всюду, где существуют соотТогда ее дивергенцией называется функция div Aветствующие производные.Пусть функция f (t) непрерывна на отрезке [t1 ; t2 ]. Тогда для нее справедлива теорема о среднем значении:Zt2f (t) dt = f (t∗ )(t2 − t1 ),(5.1)t1где t∗ – некоторая точка из этого отрезка.Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области Ω. Тогда для нее справедлива обобщенная теорема о среднем значении:ZZZf (x, y, z) dx dy dz = f (P ∗ )VΩ ,(5.2)Ωгде P ∗ – некоторая точка из области Ω, а VΩ – объем этой области.Пусть поверхность Σ области Ω состоит из конечного числа замкнутых кусков, имеющих в каждой точкекасательную, причем любые прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее либо в конечном числе~ y, z) = {P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}, гдеточек, либо по конечному числу отрезков.
Тогда для функции A(x,P, Q, R ∈ C 1 (Ω) имеет место формула Остроградского-Гаусса:ZZZZZ~ ~n) dσ =~ dτ(A,div A(5.3)ΣΩСлова благодарностиЯ выражаю искреннюю благодарность всем тем, кто помог мне в работе над данным конспектом: прежде всегонашему лектору – Денисову Александру Михайловичу, который не просто обеспечил меня материалами, но ипомог исправить огромное количество ошибок; моим друзьям: Бекетовой Елене, чей конспект привнес в этоттруд множество недостающих формул и пояснений, Поспелову Алексею – за постоянную помощь в решениитехнических проблем, Кругловой Елене – за моральную поддержку, в которой я так часто нуждался, а такжевсем тем, кто сподвиг меня на эту работу.Без вас я бы не справился. Спасибо всем большое!!!63Содержание1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка2 Уравнения параболического типа2.1 Вывод уравнения теплопроводности в пространстве .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной. Постановка основных задач2.3 Существование решения первой краевой задачи. Метод разделения переменных . . . . . . . . . .2.4 Принцип максимального значения для уравнения теплопроводности . .
. . . . . . . . . . . . . . .2.5 Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Единственность решения общей краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Существование решения задачи Коши . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8 Единственность решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9 Существование решения первой и второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
