Набранные лекции Денисова (2003) (1128011), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Докажем, что возможна толькотакая неоднозначность.Теорема 3.6 (единственности). Пусть ui (x, y, z), i = 1, 2 :1) ui ∈ C 1 (Ω);2) ui − гармоническая в Ω;∂ui3)(x, y, z) = ν(x, y, z), (x, y, z) ∈ Σ.∂nТогда u1 − u2 ≡ const. (Фактически это означает, что при ν ≡ 0 есть только тривиальное решение.)Доказательство. Запишем первую формулу Грина для двух произвольных дважды дифференцируемых функций u и v:ZZZZZ∂v(u∆v + ( grad u, grad v)) dτ =udσ.∂nΩΣu = u1 − u2 – это будет решение задачи [3.4] при ν ≡ 0;Положимv = u.ТогдаZZZ2ZZ(u∆u + grad u) dτ =u∂udσ∂nΩ ZZZΣ222=⇒(ux + uy + uz ) dτ = 0 =⇒ ux ≡ uy ≡ uz ≡ 0Ω=⇒ u ≡ const.Теорема доказана.3.9Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойстваЗапишем третью формулу Грина в E3 для гармонической функции u:ZZ 11 ∂u∂1u(M ) =(P ) − u(P )dσP , P ∈ Σ, M ∈ Ω.4πRM P ∂n∂n RM PΣ(3.7)Итак, мы получили выражение для функции u(M ).
Попробуем использовать его для наших задач – Дирихлеи Неймана. Запишем вторую формулу Грина (v – некая гармоническая в Ω функция):ZZZZZ∂v∂u(u∆v − v∆u) dτ =(u− v ) dσ.∂n∂nΩΣ32Функции u и v – гармонические, следовательноZZ ∂v∂uu(P ) (P ) − v(P ) (P ) dσP = 0.∂n∂nΣ(3.8)Вычитая (3.8) из (3.7), получимZ Z 1∂u∂1u(M ) =+ v(P )(P ) − u(P )+ v(P )dσP .4πRM P∂n∂n 4πRM PΣПоложимG(M, P ) =1+ v(P ).4πRM PТогдаZZ ∂u∂GG(M, P ) (P ) − u(P )(M, P ) dσP .∂n∂nΣИтак, мы получили новую формулу для u(M ) с использованием произвольной гармонической функции v.Изменяя ее, мы можем получить решения различных задач.
Например:ZZ∂G1. Если G|P ∈Σ = 0, то u(M ) = −u(P )(M, P ) dσP – мы получили формулу для решения задачи Ди∂nΣрихле [3.1]:ZZ∂Gu(M ) = −µ(P )(M, P ) dσP .∂nΣZZe∂ue : ∂ G e2. Если G= 0, то u(M ) =G(M,P ) (P ) dσP – мы получили формулу для решения задачи∂n ∂nP ∈ΣΣзадачи Неймана [3.4]:ZZeu(M ) =ν(P )G(M,P ) dσP .u(M ) =ΣТо есть, мы упростили нахождение решения задач Дирихле и Неймана, сведя их к соответствующим функциям Грина.
Дадим теперь четкое определение.Определение. Функция G(M, P ) : M (x, y, z), P (ξ, η, ζ) ∈ Ω называется функцией Грина для внутреннейзадачи Дирихле, если:1.∂2G ∂2G ∂2G++= 0 ∀P ∈ Ω, P 6= M∂ξ 2∂η 2∂ζ 22. Для G(M, P ) справедливо представлениеG(M, P ) =1+ v, где v – гармоническая функция в Ω.4πRM P3. G(M, P )|P ∈Σ = 0. v – гармоническая в Ω1То есть v|Σ = −4πRM P– это все требования, наложенные нами на v.33(3.9)Свойства функции ГринаСвойство 1.G(M, P ) > 0,M, P ∈ Ω, P 6= M.Доказательство. Возьмем некоторую точку M0 внутри Ω. Рассмотрим сферу достаточно малого радиуса a сцентром в точке M0 , и область Ωa между Σ и Σa .'$Ωa'$ ΣaqM0 Σ a&%&%Рассмотрим в Ωa функцию Грина от переменных M0 , P .
Тогда в области Ωa она гармоническая. Следовательно, выполнены все условия принципа максимального значения: min G = min . Так как для G(M0 , P ) справедΩaΣ∪Σaливо представление (3.9)G(M0 , P ) =11R→0+ v(P ), причем−→ ∞,4πRM0 P4πRM0 Pа v – гармоническая (а, значит, и ограниченная) в Ω функция, следовательно, можно взять такое a, что G|P ∈Σa >0. Следовательно, так как G(M, P )|P ∈Σ = 0, то G(M0 , P ) > 0 ∀P из Ωa .
Так как функция G – не константа,следовательно, она не может достигать минимума (то есть нуля) внутри Ωa . Тогда получаем (так как a можноуменьшать бесконечно), что в Ω для любых точек P 6= M G(M, P ) > 0 . Утверждение доказано.Свойство 2.G(M, P ) = G(P, M ) ∀M, P ∈ Ω, M 6= P.(3.10)Доказательство. Зафиксируем M1 , M2 – две произвольные различные точки из Ω. Достаточно доказать, чтоG(M1 , M2 ) = G(M2 , M1 ).
Обозначимu(ξ, η, ζ) = G(M1 , P );v(ξ, η, ζ) = G(M2 , P ).Пусть Σ1ε – сфера (и соответствующий ей шар Ω1ε ) достаточно малого радиуса ε, окружающая M1 , а Σ2ε , Ω2ε– аналогичные сфера и шар для M2 . Возьмем Ωε – внутренность Ω, не содержащая шаров Ω2ε , Ω1ε . Записаввторую формулу Грина для функций u и v (они гармонические в Ωε по определению функции Грина), получимZZZZZZZ∂u∂v∂u∂v(u∆v − v∆u) dτ =(u− v ) dσ +(u− v ) dσ+∂n∂n∂n∂nΩZεZΣΣ1ε∂v∂u+(u− v ) dσ =⇒ {G|P ∈Σ =⇒ u|Σ = v|Σ = 0} =⇒∂n∂n2ΣεZZ∂G(M2 , P )∂G(M1 , P )G(M1 , P )− G(M2 , P )dσp +∂n∂n1ΣεZZ ∂G(M2 , P )∂G(M1 , P )+G(M1 , P )− G(M2 , P )dσp = 0(3.11)∂n∂nΣ2ε34∂G(M2 , P )и v, участвующая в∂nпредставлении (3.9) функции G(M1 , P ), – гармонические и ограниченные (например, константами c1 и c2 соответственно) на Σ1ε . Тогда получаемZZZZ ∂G(M2 , P ) ∂G(M2 , P )1 dσp 6(G(M1 , P )dσp 6+v 4πRM P∂n∂n111ΣεZ Z ΣεZZ cc1ε→0 16+ccdσ=+cc dσp = c1 ε + 4πc1 c2 ε2 −→ 0.12p12 4πRM P4πε1Σ1εΣ1εРассмотрим первое слагаемое в первом интеграле.
При ε −→ 0 функцииСо вторым слагаемым ситуация сложнее. Пользуясь представлением (3.9) для функции G(M1 , P ), разобьемего на два интеграла.ZZZZ1∂∂vG(M2 , P )dσp +G(M2 , P )dσp .∂n 4πRM1 P∂n11ΣεΣε∂∂nВторойтакже стремится к нулю с уменьшением ε (аналогично описанному выше). Исследуем множитель1∂f. По определению,≡ (~n, grad f ). В нашем случае4πRM1 P∂n(ξ − x) (η − y) (ζ − z)1(ξ − x) (η − y) (ζ − z)~n = −,−,−, grad= − 3,− 3,− 3.RM1 PR M1 PR M1 PR M1 PRM 1 PR M1 PRM1 PИз этого следует, что∂∂n1R M1 PZZ1=4πε21==⇒24πRM1PZZΣ∂G(M2 , P )∂n1ε14πRM1 Pdσp =G(M2 , P ) dσp = { формула среднего значения (5.2)} =Σ1ε Z ZG(M2 , P 0 )ε→0=dσ −→ G(M2 , M1 ).24πεΣ1εВторой интеграл в формуле (3.11) получается из первого заменой переменной и сменой знака.
Проводя аналогичные рассуждения, получим, что он стремится к G(M1 , M2 ). Отсюда получаем формулуG(M2 , M1 ) − G(M1 , M2 ) = 0,верную для любых различных точек M1 , M2 из Ω. Утверждение доказано.3.10Потенциалы простого и двойного слоя. Потенциал двойного слоя с единичнойплотностьюИтак, мы знаем решения уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве:E3 :1RM P;E2 : ln1ρM P,где M (x, y, z) – фиксированная точка, P (ξ, η, ζ) – переменная.
Пусть Σ – некоторая замкнутая поверхность,ограничивающая область Ω, содержащую точку M . Рассмотрим в E3 следующую функциюZZ1v(M ) =g(P )dσP .RM PΣ35и назовем ее потенциалом простого слоя. А также функциюZZ∂1u(M ) = −f (P )dσP∂n RM PΣи назовем ее потенциалом двойного слоя.Покажем, что ∀M 6∈ Σ ∆v ≡ ∆u ≡ 0:ZZ∆M v = ∆ Mg(P )ZZ=Σ g(P )∆M1dσP =RM P1dσP = 0 (т.к. ∆MRM P1RM P≡ 0).ΣДля потенциала двойного слоя результат аналогичен:ZZ∂ 1∆M u = ∆Mf (P )dσP =∂n RM PΣZZ∂1∆MdσP = 0.=f (P )∂nRM PΣОпределим понятие потенциала на плоскости. Пусть L – некоторая замкнутая кривая, окружающая точкуM (x, y):Z1v(M ) = g(P ) lndlP – потенциал простого слоя.ρM PLZ∂1u(M ) = − f (P )lndlP – потенциал двойного слоя.∂nρM PLИтак, потенциалы являются гармоническими функциями.
Из этого следует, что их можно использовать длярешения задачи, к примеру, Неймана, подбирая соответствующие функции g и f , которые назовем плотностямисоответствующих потенциалов.Рассмотрим более детально потенциал двойного слоя на плоскости:Z∂1u(M ) = − f (P )lndlP .(3.12)∂nρM PLПредположим гладкость кривойL и непрерывность(в некотором смысле) ее касательных. В соответствии с∂1этим преобразуем выражение −ln:∂nρM P nop∂11 1 2(ξ − x)ξ−xln= ρM P = (x − ξ)2 + (y − η)2 = −=− 2 ;∂ξρM PρM P 2 ρM PρM P∂1η−yln=− 2 ;∂ηρM PρM P−−→−−→−−→∂11MPcos ∠(M P , ~n)M P = {ξ − x; η − y} =⇒ −ln= −(~n, grad ln) = (~n, 2 ) ==⇒∂nρM PρM PρM PρM PZ=⇒ u(M ) =f (P )−−→cos ∠(M P , ~n)dlP .ρM PL36(3.13)ZПусть ue (M ) =−−→cos ∠(M P , ~n)dlP – потенциал с единичной плотностью.
Вычислим его, используя поρM PLлярную систему координат. Проведем через точку M некоторую ось и будем от нее считать угол φ. Обозначим заугол α из промежутка [0; π2 ] угол между касательной к кривой L в точке P и этой осью. Тогда будут справедливыследующие соотношения:−−→π∠(M P , ~n) = − φ − α;−−→2=⇒ cos ∠(M P , ~n) = sin(φ + α) =⇒Zsin(φ + α)=⇒ ue (M ) =dlP .(3.14)ρM PL ~n7φZZ P Z αZq φZZMLZZZZПерейдем в координатах точки P (ξ, η) от прямоугольной системы координат к полярной:ξ = r(φ) cos φ; dξ = [(r0 (φ) cos(φ) − r(φ) sin(φ)]dφ;η = r(φ) sin φ; dη = [(r0 (φ) sin(φ) − r(φ) cos(φ)]dφ;dξ = −dl cos α;Из рисунка можно увидеть, чтоdη = dl sin α.(∗)Преобразуем подынтегральную функцию в (3.14):dξ = −dl cos α=dη = dl sin α= cos φ dη − sin φ dξ = (∗) = (cos φ sin φr0 + r cos2 φ − r0 sin φ cos φ + r sin2 φ) dφ = r dφ−−→=⇒ cos ∠(M P , ~n) dl = r(φ) dφZr(φ)dφ = 2π.=⇒ ue (M ) =r(φ)sin(φ + α) dl = sin φ cos α dl + cos φ sin α dl =LАналогично получим, что если точка лежит вне области или на границе, то будут выполнены соотношенияπ, M ∈ L.ue (M ) =0, M 6∈ DИтак, 2π, M ∈ D;π, M ∈ L;ue (M ) =0,M 6∈ D.Свойства потенциалов37(3.15)Теперь, зная выражение для потенциала с единичной плотностью, выведем некоторые свойства нашего исходного потенциала.
Для этого нам понадобитсяZОпределение. Интеграл F (P, M ) dlP называется равномерно сходящимся в точке M0 ∈ L, еслиLZ∀ε > 0 ∃V (M0 ) – окрестность точки M0 и дуга l ∈ L такая, что интегралF (P, A) dlP сходится ∀A ∈lZV (M0 ) и | F (P, A) dlp | 6 ε.lБудем пользоваться следующей теоремой без доказательства:ZТеорема 3.7.
Пусть функция F (P, M ) непрерывна всюду при P 6= M . Тогда интегралF (P, M ) dlp явlляется непрерывной функцией в тех точках, где он равномерно сходится.Возьмем на границе L некоторую точку M0 и рассмотрим функцию u(M ) − f (M0 )ue (M ).Теорема 3.8. Если в (3.12) функция f (P ) непрерывна в точке M0 , то функция u(M ) − f (M0 )ue (M ) –непрерывна в точке M0 .Доказательство.Zu(M ) − f (M0 )ue (M ) = (3.13) =Z=f (P )Z−−→−−→cos ∠(M P , ~n)cos ∠(M P , ~n)dlp − f (M0 )dlp =ρM PρM P−−→ Lcos ∠(M P , ~n)(f (P ) − f (M0 )dlpρM PLLИз непрерывности нашей функции ∀ε > 0 следует существование такой окрестности точки M0 , где |f (P ) −Zf (M0 )| 6 ε. Следовательно, переходя к полярным координатам с центром в точке M0 , получим | (f (P ) −LZ−−→Rcos ∠(M P , ~n)f (M0 )dlp | = | (f (P )−f (M0 ) dφ| 6 ε | dφ| = 2πε – при наложенных нами на кривую условиях.ρM PLLПолучаем, что интеграл равномерно сходится и теорема доказана.Теперь, используя формулу (3.15) для функции ue (M ) и утверждение теоремы, получим, что функция u(M )в точке M0 имеет тот же вид , что и функция ue (M )f (M0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
