Денисов А.М. - Уравнения математической физики. Конспект лекций. 5 семестр (2003) (1128009), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким образом,ZA ICA =CZA 1111(uv)y − uvy + auv dy =(uv)y − u(vy − av) dy = (uv) − (uv) .2222ACCАналогично, vx − bv = 0 при y = y0 . Следовательно,ZA IBA =BZA 1111(uv)x − uvx + buv dx =(uv)x − u(vx − bv) dx = (uv) − (uv) .2222ABBИтак, выражение (4.18) можно переписать так:ZC ZZv(x, y)F (x, y)ds =DB 1111(vuy − uvy ) + auv dy − (vux − uvx ) + buv dx + uv|A − (uv) − (uv) .2222CB60Отсюда легко получить значение функции u(x, y) в точке A(x0 , y0 ): ZC 11u(x0 , y0 )v(x0 , y0 ) = −(vuy − uvy ) + auv dy − (vux − uvx ) + buv dx +22BZZ11v(x, y)F (x, y)ds.+ (uv) + (uv) +22CBDИз граничных условий (5),(6) для v(x, y) следует, что v(x0 , y0 ) = 1. Тогда получаем, что:ZC 11(vuy − uvy ) + auv dy − (vux − uvx ) + buv dx +22B(4.19)ZZ11v(x, y)F (x, y)ds.+ (uv) + (uv) +22CBDЭто и есть окончательная формула для u(x0 , y0 ). Может показаться, что нам неизвестны частныепроизводные u(x, y) на контуре.

Покажем, что их можно найти из граничных условий (2),(3):(u(x, f (x)) = φ(x, f (x));∂u(x, f (x)) = ψ(x, f (x)).∂n()1f 0 (x)Единичный вектор ~τ касательной к Lf имеет следующий вид: ~τ = p; p.1 + (f 0 (x))21 + (f 0 (x))2Отсюда получаем, что∂u∂u1∂uf 0 (x)pp(x, y) =+.∂τ∂x 1 + (f 0 (x))2∂y 1 + (f 0 (x))2u(x0 , y0 ) = −∂uнаходится из следующих преобразований:∂τp∂∂uu(x, f (x)) = ux (x, f (x)) + uy (x, f (x))f 0 (x) = 1 + (f 0 (x))2(x, y).∂x∂τ∂uКак известно,= (~n, gr u). Единичный вектор нормали к Lf , ортогональный вектору ~τ , считается∂nтак:()f 0 (x)1~n = p; −p.1 + (f 0 (x))21 + (f 0 (x))2Отсюда получаем:1∂uf 0 (x)∂u∂upp(x, y) =−02∂y 1 + (f 0 (x))2∂n∂x 1 + (f (x))Окончательно, из граничных условий получаем систему для поиска u(x, y) на контуре L:∂∂u ∂u 0φ(x, f (x)) =+f (x);∂x∂x ∂yψ(x, f (x))=∂uf 0 (x)∂u1pp−.∂x 1 + (f 0 (x))2∂y 1 + (f 0 (x))2Ее определитель нигде не равен нулю.

Отсюда следует, что ux (x, y), uy (x, y) существуют и их можноопределить однозначно.Итак, мы обосновали корректность формулы (4.19). Используемый для ее получения метод называетсяметодом Римана.Замечание. Формула Даламбера является частным случаем формулы (4.19).614.12Обобщенные решенияВстречаются случаи, когда решения прикладных задач бывают разрывными. Такие решения нельзя получить стандартными формулами из данного курса, однако их можно представить, к примеру, как предел"обычных" решений.Обобщенные решения в форме предельного переходаОбщий подход.

Пусть функцию u надо найти из уравнения L[u] = 0, причем на нее наложеныусловия в виде некоторых функций F и Φ. Если такая задача не имеет решения (например, из-за того,что F 6∈ C 2 , Φ 6∈ C 2 ), то мы строим равномерно сходящиеся последовательности:Fn ⇒ F, Φn ⇒ Φ,где Fn ∈ C 2 , Φn ∈ C 2 . Тогда, если существует решение (функция un ), соответствующее функциям Fn иΦn , то в качестве u берем предел функций un :u = lim unn→∞при условии, что последовательность un равномерно сходится к u.Пример. Рассмотрим задачу Коши для гиперболического уравнения:utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞, 0 < t 6 T ;u(x, 0) = φ(x),−∞ < x < +∞;ut (x, 0) = ψ(x), −∞ < x < +∞.Известно, что если φ ∈ C 2 (E), ψ ∈ C 1 (E), то решение задается формулой Даламбера:1φ(x − at) + φ(x + at)+u(x, t) =22ax+atZψ(ξ) dξ.x−atТеперь пусть в аналогичной задаче функции φ, ψ всего лишь непрерывны — то есть мы не можемвоспользоваться формулой Даламбера.Будем работать в полосе 0 < t 6 T .

Потребуем, чтобы φ = ψ = 0 вне отрезка [−d; d], где d — некотораяконстанта. (Такое свойство обозначается как supp φ, ψ = [−d; d].)Предположим, что существуют такие функции φn (x), ψn (x), что φn ∈ C 2 (E), ψn ∈ C 1 (E), причемφn (x) = ψn (x) = 0 для |x| > 2d иφn (x) ⇒ φ(x);на отрезке[−2(d + aT ); 2(d + aT )].ψn (x) ⇒ ψ(x).Для решения задач Коши, соответствующих функциям φn и ψn , справедлива формула Даламбера:φn (x − at) + φn (x + at)1un (x, t) =+22ax+atZψn (ξ) dξ=⇒ un (x, t) ∈ C 2 {E × [0; T ]}.x−atНазовем решением предел таких функций: u(x, t) = lim un (x, t).n→∞Определение будет корректным, если мы покажем, что в прямоугольнике Π = {(x, t) : −2d − aT 6 x 62d + aT, 0 6 t 6 T } последовательность un (x, t) равномерно сходится (очевидно, вне его все ее членытождественно равны нулю). Для этого докажем, что un — фундаментальная последовательность, то есть∀ ε > 0 ∃M : ∀ m > M, ∀ p > 0 |um+p (x, t) − um (x, t)| < ε62∀ (x, t) ∈ Π.Оценим эту разность через формулу Даламбера:|um+p (x, t) − um (x, t)| 6|φm+p (x + at) − φm (x + at)| |φm+p (x − at) − φm (x − at)|++22x+atZ1|ψm+p (ξ) − ψm (ξ)| dξ.+2ax−atПолученную сумму можно сделать меньше любого наперед заданного ε — это следует из равномернойсходимости, а, следовательно, и фундаментальности последовательностей φn , ψn .Отсюда получаем, чтоun (x, t) ⇒ u(x, t), (x, t) ∈ Π, причем u(x, t) ∈ C[Π].Кроме того, так как un (±(2d + aT ), t) = 0, то u(±(2d + aT ), t) = 0, и u(x, t) = 0 вне Π.Построенная таким образом функция называется обобщенным решением в форме предельногоперехода.Возникает вопрос: единственно ли такое решение (ведь последовательности φn , ψn мы выбирали произвольно)? Для ответа на этот вопрос возьмем любые две пары последовательностей φ1n , φ2n и ψn1 , ψn2такие, что( 1φn ⇒ φ, φ2n ⇒ φ;ψn1 ⇒ ψ, ψn2 ⇒ ψ.Предположим, что им соответствуют два решения: u1 (x, t), u2 (x, t), являющихся пределами полученных по формуле Даламбера членов последовательностей u1n и u2n соответственно.

Докажем, чтоu1 (x, t) ≡ u2 (x, t). Для этого оценим их разность:|u1 (x, t) − u2 (x, t)| 6 |u1 (x, t) − u1n (x, t)| + |u1n (x, t) − u2n (x, t)| + |u2 (x, t) − u2n (x, t)|.Первое и третье слагаемые стремятся к нулю в силу равномерной сходимости функций u1n и u2n к u1 иu соответственно. Оценим второе, применяя формулу Даламбера:2|u1n (x, t) − u2n (x, t)| 6|φ1n (x + at) − φ2n (x + at)| |φ1n (x − at) − φ2n (x − at)|++22x+atZ1+|ψn1 (ξ) − ψn2 (ξ)| dξ.2ax−atОно также стремится к нулю, так как последовательности φ1n , φ2n и ψn1 , ψn2 сходятся к одним и тем жефункциям — к φ и ψ соответственно. Отсюда получаем равенство u1 (x, t) и u2 (x, t).Обобщенное решение в смысле интегрального тождестваДругим примером применения обобщенных решений может быть случай, когда в уравнении Пуассона∆u = −f (x, y, z).функция f не является дважды дифференцируемой — то есть "нормального" решения нет (т.к.

всегда∆u ∈ C 2 ).Общий подход. Пусть в области Ω ⊂ E3 с границей Σ функция u(x1 , x2 , x3 ) определяется уравнениемL[u] = F , где3 X33XXL[u] =aij (x)uxi xj +bi (x)uxi + c(x)u.i=1 j=1i=163Тогда сопряженный к L оператор задается так:M [v] =3 X3X(aij (x)v)xi xj −i=1 j=13X(bi (x)v)xi + c(x)v.i=1Будем рассматривать только такие функции v, что v ∈ C 2 (Ω), supp v ⊂ Ω (полностью внутри Ω).Известно, что, если u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), то справедлива формула (4.16):ZZZZZZZZ~(P~ , ~n) dσ.div P dτ = {формула Остроградского - Гаусса (5.3)} =(vL[u] − uM [v]) dτ =ΩΣΩИз условий на v получаем, что функции v, vx , vy , vz , а, следовательно, и вектор-функция P~ обращаются в нуль на Σ. Отсюда получаем, чтоZZZ(vL[u] − uM [v]) dτ = 0.ΩИспользуем, что L[u] = F :ZZZZZZvF dτ =uM [v] dτ.(4.20)ΩΩПолученное выражение для u называется обобщенным решением в смысле интегрального тождества.

Таким образом, мы преобразовали исходное уравнение для u, "перебросив" требование непрерывной дифференцируемости на функцию v, потребовав также, чтобы она была не равна нулю лишь вобласти, лежащей строго внутри Ω.645Приложение. Вспомогательные формулы и определенияОпределение. Пусть функция φ(x, y, z) задана в пространстве E3 . Тогда ее градиентом называетсявектор-функция gr φ = {φx , φy , φz }, определенная всюду, где существуют все частные производные функции φ(x, y, z).~ y, z) имеет вид:Определение.

Пусть вектор-функция A(x,~ y, z) = {P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}.A(x,~ = Px + Qy + Rz , определенная всюду, где существуютТогда ее дивергенцией называется функция div Aсоответствующие производные.Пусть функция f (t) непрерывна на отрезке [t1 ; t2 ]. Тогда для нее справедлива теорема о среднемзначении:Zt2f (t) dt = f (t∗ )(t2 − t1 ),(5.1)t1∗где t — некоторая точка из этого отрезка.Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области Ω. Тогда для нее справедлива обобщеннаятеорема о среднем значении:ZZZf (x, y, z) dx dy dz = f (P ∗ )VΩ ,(5.2)Ωгде P ∗ — некоторая точка из области Ω, а VΩ – объем этой области.Пусть поверхность Σ области Ω состоит из конечного числа замкнутых кусков, имеющих в каждой точке касательную, причем любые прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее ли~ y, z) =бо в конечном числе точек, либо по конечному числу отрезков.

Тогда для функции A(x,1{P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}, где P, Q, R ∈ C (Ω) имеет место формула Остроградского-Гаусса:ZZZZZ~~ dτ(A, ~n) dσ =div A(5.3)ΣΩСлова благодарностиЯ выражаю искреннюю благодарность всем тем, кто помог мне в работе над данным конспектом: преждевсего нашему лектору — Денисову Александру Михайловичу, который не просто обеспечил меня материалами, но и помог исправить огромное количество ошибок; моим друзьям: Бекетовой Елене, чей конспектпривнес в этот труд множество недостающих формул и пояснений, Поспелову Алексею — за постояннуюпомощь в решении технических проблем, Кругловой Елене – за моральную поддержку, в которой я такчасто нуждался, а также всем тем, кто сподвиг меня на эту работу.Без вас я бы не справился. Спасибо всем большое!!!Кроме того, прошу всех, кто найдет еще ошибки и/или неточности в данном материале, сообщить обэтом на enlightened@mail.ru. Я не Кнут, деньги платить за это не могу, но благодарен буду.65Содержание1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка2 Уравнения параболического типа2.1 Вывод уравнения теплопроводности в пространстве .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной. Постановка основныхзадач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Существование решения первой краевой задачи. Метод разделения переменных . . . . . .2.4 Принцип максимального значения для уравнения теплопроводности . . . .

. . . . . . . . .2.5 Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Единственность решения общей краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Существование решения задачи Коши . . . .

Характеристики

Список файлов лекций