Денисов А.М. - Уравнения математической физики. Конспект лекций. 5 семестр (2003) (1128009), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Запишем для этих функций вторую формулу Грина:ZZZZZ∂u∂v− v ) dσ(u∆v − v∆u) dτ =(u∂n∂nΩΣТогда при v ≡ 1 получимZZ∂udσ =∂nΣZZν(x, y, z) dσ = 0.(3.6)ΣРавенство (3.6) называется необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана.Докажем теорему единственности решения задачи Неймана.
Легко проверить, что, если u — решение[3.4], то (u + const) — тоже решение. Назовем это тривиальной неоднозначностью. Докажем, чтовозможна только такая неоднозначность.Теорема 3.6 (единственности). Пусть ui (x, y, z), i = 1, 2 :1) ui ∈ C 1 (Ω);2) ui − гармоническая в Ω;∂ui3)(x, y, z) = ν(x, y, z), (x, y, z) ∈ Σ.∂nТогда u1 − u2 ≡ const. (Фактически это означает, что при ν ≡ 0 есть только тривиальное решение.)Доказательство. Запишем первую формулу Грина для двух произвольных дважды дифференцируемыхфункций u и v:ZZZZZ∂vdσ.(u∆v + ( gr u, gr v)) dτ =u∂nΩΣu = u1 − u2 — это будет решение задачи [3.4] при ν ≡ 0;Положимv = u.ТогдаZZZ(u∆u + grad2 u) dτ =ZZu∂udσ∂nΩ ZZZΣ=⇒(u2x + u2y + u2z ) dτ = 0 =⇒ ux ≡ uy ≡ uz ≡ 0Ω=⇒ u ≡ const.Теорема доказана.3.9Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойстваЗапишем третью формулу Грина в E3 для гармонической функции u:ZZ 11 ∂u∂1u(M ) =(P ) − u(P )dσP , P ∈ Σ, M ∈ Ω.4πRM P ∂n∂n RM PΣ(3.7)Итак, мы получили выражение для функции u(M ).
Попробуем использовать его для наших задач —Дирихле и Неймана. Запишем вторую формулу Грина (v — некая гармоническая в Ω функция):ZZZZZ∂v∂u(u∆v − v∆u) dτ =(u− v ) dσ.∂n∂nΩΣ33Функции u и v — гармонические, следовательноZZ ∂v∂uu(P ) (P ) − v(P ) (P ) dσP = 0.∂n∂nΣ(3.8)Вычитая (3.8) из (3.7), получимZ Z 1∂u∂1u(M ) =+ v(P )(P ) − u(P )+ v(P )dσP .4πRM P∂n∂n 4πRM PΣПоложимG(M, P ) =1+ v(P ).4πRM PТогдаZZ ∂u∂GG(M, P ) (P ) − u(P )(M, P ) dσP .∂n∂nΣИтак, мы получили новую формулу для u(M ) с использованием произвольной гармонической функцииv.
Изменяя ее, мы можем получить решения различных задач. Например:ZZ∂G(M, P ) dσP — мы получили формулу для решения задачи1. Если G|P ∈Σ = 0, то u(M ) = −u(P )∂nΣДирихле [3.1]:ZZ∂Gu(M ) = −µ(P )(M, P ) dσP .∂nΣZZe∂ue : ∂ G e2. Если G= 0, то u(M ) =G(M,P ) (P ) dσP — мы получили формулу для решения∂n ∂nP ∈ΣΣзадачи задачи Неймана [3.4]:ZZeu(M ) =ν(P )G(M,P ) dσP .u(M ) =ΣТо есть, мы упростили нахождение решения задач Дирихле и Неймана, сведя их к соответствующимфункциям Грина. Дадим теперь четкое определение.Определение.
Функция G(M, P ) : M (x, y, z), P (ξ, η, ζ) ∈ Ω называется функцией Грина для внутренней задачи Дирихле, если:1.∂2G ∂2G ∂2G++= 0 ∀P ∈ Ω, P 6= M∂ξ 2∂η 2∂ζ 22. Для G(M, P ) справедливо представлениеG(M, P ) =1+ v, где v — гармоническая функция в Ω.4πRM P3. G(M, P )|P ∈Σ = 0. v — гармоническая в Ω1То есть v|Σ = −4πRM P— это все требования, наложенные нами на v.34(3.9)Свойства функции ГринаСвойство 1.G(M, P ) > 0,M, P ∈ Ω, P 6= M.Доказательство. Возьмем некоторую точку M0 внутри Ω.
Рассмотрим сферу достаточно малого радиусаa с центром в точке M0 , и область Ωa между Σ и Σa .$'Ωa'$ ΣaqM0 Σ a&%&%Рассмотрим в Ωa функцию Грина от переменных M0 , P . Тогда в области Ωa она гармоническая. Следовательно, выполнены все условия принципа максимального значения: min G = min G. Так как дляΩaΣ∪ΣaG(M0 , P ) справедливо представление (3.9)G(M0 , P ) =11R→0−→ ∞,+ v(P ), причем4πRM0 P4πRM0 Pа v — гармоническая (а, значит, и ограниченная) в Ω функция, следовательно, можно взять такое a, чтоG|P ∈Σa > 0.
Следовательно, так как G(M, P )|P ∈Σ = 0, то G(M0 , P ) > 0 ∀P из Ωa . Так как функция G —не константа, следовательно, она не может достигать минимума (то есть нуля) внутри Ωa . Тогда получаем(так как a можно уменьшать бесконечно), что в Ω для любых точек P 6= M G(M, P ) > 0 . Утверждениедоказано.Свойство 2.G(M, P ) = G(P, M ) ∀M, P ∈ Ω, M 6= P.(3.10)Доказательство. Зафиксируем M1 , M2 — две произвольные различные точки из Ω. Достаточно доказать,что G(M1 , M2 ) = G(M2 , M1 ). Обозначимu(ξ, η, ζ) = G(M1 , P );v(ξ, η, ζ) = G(M2 , P ).Пусть Σ1ε — сфера (и соответствующий ей шар Ω1ε ) достаточно малого радиуса ε, окружающая M1 , аΩ2ε — аналогичные сфера и шар для M2 . Возьмем Ωε — внутренность Ω, не содержащая шаров Ω2ε , Ω1ε .Записав вторую формулу Грина для функций u и v (они гармонические в Ωε по определению функцииГрина), получимZZZZZZZ∂v∂u∂v∂u− v ) dσ +(u− v ) dσ+(u∆v − v∆u) dτ =(u∂n∂n∂n∂nΩZεZΣΣ1ε∂v∂u+(u− v ) dσ =⇒ {G|P ∈Σ =⇒ u|Σ = v|Σ = 0} =⇒∂n∂n2Z ZΣε∂G(M2 , P )∂G(M1 , P )G(M1 , P )− G(M2 , P )dσp +∂n∂n1ΣεΣ2ε ,35ZZ ∂G(M1 , P )∂G(M2 , P )+− G(M2 , P )dσp = 0G(M1 , P )∂n∂n2Σε(3.11)∂G(M2 , P )и v, участвующая∂nв представлении (3.9) функции G(M1 , P ), — гармонические и ограниченные (например, константами c1и c2 соответственно) на Σ1ε .
Тогда получаемZZZZ ∂G(M2 , P ) ∂G(M2 , P )1 dσp 6(G(M1 , P )dσp 6+v 4πRM P∂n∂n111ΣεZ Z ΣεZZ cc1ε→0 1dσ=6+cc+cc dσp = c1 ε + 4πc1 c2 ε2 −→ 0.p1212 4πRM P4πε1Σ1εΣ1εРассмотрим первое слагаемое в первом интеграле. При ε −→ 0 функцииСо вторым слагаемым ситуация сложнее. Пользуясь представлением (3.9) для функции G(M1 , P ),разобьем его на два интеграла.ZZZZ∂1∂vG(M2 , P )dσp +G(M2 , P )dσp .∂n 4πRM1 P∂nΣ1εΣ1εВторойк нулю с уменьшением ε (аналогично описанному выше).
Исследуем множи также стремится1∂f∂≡ (~n, gr f ). В нашем случае. По определению,тель∂n 4πRM1 P∂n(ξ − x) (η − y) (ζ − z)1(ξ − x) (η − y) (ζ − z)~n = −,− 3,− 3.,−,−, gr= − 3RM1 PR M1 PR M1 PR M1 PRM 1 PR M1 PR M1 PИз этого следует, чтоZZ∂1∂11=⇒G(M2 , P )=dσp =2∂n RM1 P4πRM∂n 4πRM1 P1P1ΣεZZ1G(M2 , P ) dσp = { формула среднего значения (5.2)} ==4πε2Σ1ε Z ZG(M2 , P 0 )ε→0=dσ −→ G(M2 , M1 ).4πε2Σ1εВторой интеграл в формуле (3.11) получается из первого заменой переменной и сменой знака.
Проводяаналогичные рассуждения, получим, что он стремится к G(M1 , M2 ). Отсюда получаем формулуG(M2 , M1 ) − G(M1 , M2 ) = 0,верную для любых различных точек M1 , M2 из Ω. Утверждение доказано.3.10Потенциалы простого и двойного слоя. Потенциал двойного слоя с единичной плотностьюИтак, мы знаем решения уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве:E3 :1;RM PE2 : ln361,ρM Pгде M (x, y, z) — фиксированная точка, P (ξ, η, ζ) — переменная. Пусть Σ — некоторая замкнутая поверхность, ограничивающая область Ω, содержащую точку M .
Рассмотрим в E3 следующую функциюZZ1v(M ) =g(P )dσP .RM PΣи назовем ее потенциалом простого слоя. А также функциюZZ∂1f (P )u(M ) = −dσP∂n RM PΣи назовем ее потенциалом двойного слоя.Покажем, что ∀M 6∈ Σ ∆v ≡ ∆u ≡ 0:ZZ1∆M v = ∆ Mg(P )dσP =RM PΣ ZZ11g(P )∆M=dσP = 0 (т.к. ∆M≡ 0).RM PRM PΣДля потенциала двойного слоя результат аналогичен:ZZ∂ 1dσP =∆M u = ∆Mf (P )∂n RM PΣZZ∂1=f (P )∆MdσP = 0.∂nRM PΣОпределим понятие потенциала на плоскости. Пусть L — некоторая замкнутая кривая, окружающаяточку M (x, y):Z1v(M ) = g(P ) lndlP — потенциал простого слоя.ρM PLZ∂1u(M ) = − f (P )lndlP — потенциал двойного слоя.∂nρM PLИтак, потенциалы являются гармоническими функциями.
Из этого следует, что их можно использовать для решения задачи, к примеру, Неймана, подбирая соответствующие функции g и f , которыеназовем плотностями соответствующих потенциалов.Рассмотрим более детально потенциал двойного слоя на плоскости:Z∂1u(M ) = − f (P )lndlP .(3.12)∂nρM PLПредположим гладкость кривой L и непрерывность (в некотором смысле) ее касательных. В соответ∂1ствии с этим преобразуем выражение −ln:∂nρM P nop∂11 1 2(ξ − x)ξ−xln= ρM P = (x − ξ)2 + (y − η)2 = −=− 2 ;∂ξρM PρM P 2 ρM PρM P1η−y∂ln=− 2 ;∂ηρM PρM P−−→−−→−−→∂11MPcos ∠(M P , ~n)M P = {ξ − x; η − y} =⇒ −ln= −(~n, gr ln) = (~n, 2 ) ==⇒∂nρM PρM PρM PρM P37Z=⇒ u(M ) =−−→cos ∠(M P , ~n)f (P )dlP .ρM P(3.13)LZПусть ue (M ) =−−→cos ∠(M P , ~n)dlP — потенциал с единичной плотностью.
Вычислим его, испольρM PLзуя полярную систему координат. Проведем через точку M некоторую ось и будем от нее считать уголφ. Обозначим за угол α из промежутка [0; π2 ] угол между касательной к кривой L в точке P и этой осью.Тогда будут справедливы следующие соотношения:−−→π∠(M P , ~n) = − φ − α;−−→2=⇒ cos ∠(M P , ~n) = sin(φ + α) =⇒Z=⇒ ue (M ) =sin(φ + α)dlP .ρM P(3.14)L ~n7ZZ φZ P Z αφZqZZMLZZZПерейдем в координатах точки P (ξ, η) от прямоугольной системы координат к полярной:ξ = r(φ) cos φ; dξ = [(r0 (φ) cos(φ) − r(φ) sin(φ)]dφ;η = r(φ) sin φ; dη = [(r0 (φ) sin(φ) + r(φ) cos(φ)]dφ;dξ = −dl cos α;Из рисунка можно увидеть, чтоdη = dl sin α.(∗)Преобразуем подынтегральную функцию в (3.14):dξ = −dl cos α=dη = dl sin α= cos φ dη − sin φ dξ = (∗) = (r0 cos φ sin φ + r cos2 φ − r0 sin φ cos φ + r sin2 φ) dφ = r dφ−−→=⇒ cos ∠(M P , ~n) dl = r(φ) dφZr(φ)=⇒ ue (M ) =dφ = 2π.r(φ)sin(φ + α) dl = sin φ cos α dl + cos φ sin α dl =LАналогично получим, что если точка лежит вне области или на границе, то будут выполнены соотношенияπ, M ∈ Lue (M ) =.0, M 6∈ DИтак, 2π,π,ue (M ) =0,38M ∈ D;M ∈ L;M 6∈ D.(3.15)Свойства потенциаловТеперь, зная выражение для потенциала с единичной плотностью, выведем некоторые свойства нашегоисходного потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
