Денисов А.М. - Уравнения математической физики. Конспект лекций. 5 семестр (2003) (1128009)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Университетимени М. В. ЛомоносоваФакультет Вычислительной Математики и КибернетикиУравнения математической физики.Конспект лекций(V семестр)составитель — Д. В. Ховрато́вичv. 1.15 — 19.03.200511Классификация уравнений с частными производными второгопорядкаОпределение. Пусть в пространстве E 2 задана некоторая функция u(x, y), имеющая частные производные второго порядка (причем uxy = uyx ). Тогда общим уравнением в частных производныхназывается уравнение:F (x, y, u, ux , uy , uyy , uxx , uxy ) = 0,где F — некоторая функция. Его частным случаем является так называемое квазилинейное уравнение:a11 (x, y, u, ux , uy )uxx + 2a12 (x, y, u, ux , uy )uxy + a22 (x, y, u, ux , uy )uyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0.Нас будут интересовать уравнения, линейные относительно старших производных, то есть, когдафункции a11 , a12 , a22 зависят только от переменных x, y:a11 (x, y)uxx + 2a12 (x, y)uxy + a22 (x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0.Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных (в данном случае uxx , uyy , uxy ), так и относительно функции u и ее первых производных:a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu + f = 0,(1.1)где a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f — функции только от x и y.Определение.

Если f ≡ 0, то уравнение (1.1) называется однородным, в противном случае —неоднородным.Определение. Уравнение (1.1) имеет в точке (x0 , y0 )1. гиперболический тип, если a212 (x0 , y0 ) − a11 (x0 , y0 )a22 (x0 , y0 ) > 0;2. эллиптический тип, если a212 (x0 , y0 ) − a11 (x0 , y0 )a22 (x0 , y0 ) < 0;3. параболический тип, если a212 (x0 , y0 ) − a11 (x0 , y0 )a22 (x0 , y0 ) = 0.Аналогично определяется тип уравнения для некоторой области: уравнение (1.1) имеет в области гиперболический(эллиптический)[параболический] тип, если a212 (x, y) − a11 (x, y)a22 (x, y) > 0(< 0)[= 0] вовсех точках этой области.Если уравнение имеет разный тип в различных точках области, то оно называется уравнением смешанного типа в этой области.22Уравнения параболического типа2.1Вывод уравнения теплопроводности в пространствеРассмотрим в трехмерном пространстве некоторое тело, проводящее тепло, и пусть температура в его произвольной точке M с координатами (x, y, z) в момент времени t задается функцией u(x, y, z, t).

Известно,−→что для вектора теплового потока W справедлива следующая формула, называемая законом Фурье:−→W = −k gr u,где k(x, y, z) — коэффициент теплопроводности.Если тело задается в пространстве E3 областью Ω с границей Σ, тогда количество тепла в Ω в моментвремени t считается по формуле:ZZZQ(t) =c(M )ρ(M )u(M, t) dτM ,Ωгде c — удельная теплоемкость, а ρ — плотность вещества.Рассмотрим промежуток времени [t1 ; t2 ] (Q(t1 ) = Q1 , Q(t2 ) = Q2 ). ТогдаZZZZZZQ2 − Q1 =c(M )ρ(M )u(M, t2 ) dτM −c(M )ρ(M )u(M, t1 ) dτM .ΩΩИзменение количества тепла происходит вследствие притока (оттока) тепла извне и действия некоторых внутренних источников (стоков):Zt2ZZZt2 Z Z Z−→Q2 − Q1 = −(W , ~n)dσ  dt + F (M, t) dτM  dt.t1t1ΣΩПрименим формулу Остроградского-Гаусса (5.3) для первого интеграла и формулу среднего значения(5.1) для второго интеграла:Zt2 Z Z ZZZZ−→ Q2 − Q1 = − (div W )dτ  dt + (t2 − t1 )F (M, t4 ) dτM ,t1ΩΩгде t4 ∈ [t1 ; t2 ].Воспользуемся формулой Лагранжа:u(M, t2 ) − u(M, t1 ) = ut (M, t3 )(t2 − t1 ), t3 ∈ [t1 ; t2 ]для гладкой (предположим это) функции u.

Тогда получим:ZZZZZZQ2 − Q1 =c(M )ρ(M )u(M, t2 ) dτM −c(M )ρ(M )u(M, t1 ) dτM =Z ZΩZ= (t2 − t1 )c(M )ρ(M )ut (M, t3 ) dτM .ΩΩИтак,ZZZZt2 Z Z ZZZZ−→(t2 − t1 )c(M )ρ(M )ut (M, t3 ) dτM = − (div W )dτM  dt + (t2 − t1 )F (M, t4 ) dτM .Ωt1Ω3ΩТеперь применим для всех интегралов обобщенную формулу среднего значения (5.2):−→c(M1 )ρ(M1 )ut (M1 , t3 )VΩ (t2 − t1 ) = − div W t=t5 · VΩ (t2 − t1 ) + F (M3 , t4 )VΩ (t2 − t1 ),M =M2где t5 ∈ [t1 ; t2 ]; M1 , M2 , M3 ∈ Ω, VΩ — объем Ω.Сократив на VΩ (t2 − t1 ), получим−→c(M1 )ρ(M1 )ut (M1 , t3 ) = − div W t=t5M =M2+ F (M3 , t4 )для некоторых точек M1 , M2 , M3 из Ω.

Теперь сожмем Ω в некоторую точку M0 , а отрезок [t1 ; t2 ] — вточку t0 . Очевидно, точки M1 , M2 , M3 перейдут в M0 , а t3 , t4 , t5 - в t0 . В пределе получим:−→c(M0 )ρ(M0 )ut (M0 , t0 ) = − div W t=t0 + F (M0 , t0 ).M =M0−→Записав для W закон Фурье, получим:−→∂ ∂u∂ ∂u∂ ∂udiv W = div (−k gr u) = − k−k−k=⇒∂x ∂x ∂y ∂y∂z ∂z∂ ∂u∂ ∂u∂ ∂u=⇒ c(M0 )ρ(M0 )ut (M0 , t0 ) =k+k+k+ F (M0 , t0 ).∂x ∂x ∂y ∂y∂z ∂zТак как точки M0 и t0 мы выбирали произвольно, то можно распространить полученную формулу навесь [t1 ; t2 ] и всю область Ω:c(x, y, z)ρ(x, y, z)ut (x, y, z, t) =+∂∂(k(x, y, z)ux (x, y, z, t)) +(k(x, y, z)uy (x, y, z, t))+∂x∂y∂(k(x, y, z)uz (x, y, z, t)) + F (x, y, z, t).∂zПолученное выражение называется уравнением распространения тепла в пространстве.Взяв c, ρ, k константами, получим следующее уравнение:ut = a2 (uxx + uyy + uzz ) + f (x, y, z, t), a2 =kF, f= .cρcρ(2.1)Если u, f зависят только от переменных x и t, то это уравнение записывается так:ut = a2 uxx + f (x, t).(2.2)В физической интерпретации это уравнение распространения тепла в однородном тонком стержне.Уравнение (2.2) мы и будем в дальнейшем называть уравнением теплопроводности.Аналогичные рассуждения можно провести и для некоторых других физических процессов, напримердля диффузии.

Если u(x, y, z, t) — концентрация газа в пространстве, то уравнение диффузии будетвыглядеть так:c ut = div (D gr u) + F (x, y, z, t),где D — коэффициент диффузии, а F — некоторая функция.2.2Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной. Постановка основных задачБудем рассматривать следующее уравнение:ut = a2 uxx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t 6 T.4Если нам известна температура в стержне в начальный момент времени, то мы получаем начальноеусловие:u(x, 0) = φ(x), 0 6 x 6 l,а если всегда знаем ход температуры на краях,= (1) u(l, t)(2) ux (l, t) =при x = l, 0 6 t 6 T(3) ux (l, t) == (4) u(0, t)(5) ux (0, t) =и при x = 0, 0 6 t 6 T(6) ux (0, t) =то некоторые из краевых условий:µ2 (t) — первое краевое условие;ν2 (t) — второе краевое условие;−λ2 [u(l, t) − θ2 (t)] — третье краевое условие (λ2 > 0).µ1 (t) — первое краевое условие;ν1 (t) — второе краевое условие;λ1 [u(0, t) − θ1 (t)] — третье краевое условие (λ1 > 0).Выбирая несколько из этих условий, можно получить различные типы задач:Первая краевая задача.ut = a2 uxx + f (x, t),u(0, t) = µ1 (t),u(l, t) = µ2 (t),u(x, 0) = φ(x),0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Вторая краевая задача.ut = a2 uxx + f (x, t),ux (0, t) = ν1 (t),ux (l, t) = ν2 (t),u(x, 0) = φ(x),0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Задача на полупрямой.ut = a2 uxx + f (x, t), x > 0, 0 < t 6 T ;u(0, t) = µ(t),0 6 t 6 T;u(x, 0) = φ(x),x>0Задача Коши.2.3ut = a2 uxx + f (x, t), −∞ < x < +∞, 0 < t 6 T ;u(x, 0) = φ(x),−∞ < x < +∞.Существование решения первой краевой задачи.

Метод разделения переменныхОстановимся более детально на первой краевой задаче:ut = a2 uxx + f (x, t),u(0, t) = µ1 (t),[2.1]u(l, t) = µ2 (t),u(x, 0) = φ(x),0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.– рассмотрим существование и единственность решения, устойчивость, применение функции Грина. Чтоже такое решение первой краевой задачи? Очевидно, в случае однородного уравнения теплопроводностией удовлетворяет множество разрывных функций ue(x, t) вродеue(x, t) = const,ue(0, t) = µ1 (t);ue(l, t) = µ2 (t);ue(x, 0) = φ(x);(x, t) ∈ QT = {(x, t) : (0; l) × (0; T]};0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.5Поэтому потребуем от функции непрерывность — этим требованием, как мы увидим позже, отсекаютсяпочти все неудобные для исследования функции.Определение.

Функция u(x, t) называется решением первой краевой задачи для уравнениятеплопроводности [2.1], если она удовлетворяет следующим трем условиям:1. u ∈ C[QT ];2. ut , uxx ∈ C[QT ];3. u(x, t) удовлетворяет условиям [2.1].Найдем решение для первойнием теплопроводности:[2.2]краевой задачи с нулевыми краевыми условиями с однородным уравне(1)ut = a2 uxx ,(2) u(0, t) = 0,(3) u(l, t) = 0,(4) u(x, 0) = φ(x),0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Искать решение мы будем следующим образом: сначала с помощью преобразований исходного уравнения (важно отметить, что они не всегда будут строгими — это пока не требуется) построим некоторуюфункцию u(x, t), а потом докажем, что при определенных ограничениях на начальные условия даннаяфункция будет решением первой краевой задачи.Определим новую функцию:v(x, t) = X(x)T (t).Подставив нашу функцию в уравнение теплопроводности, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X 00 (x)T (t).Разделим обе части уравнения на a2 X(x)T (t):X 00 (x)T 0 (t)=.2a T (t)X(x)Так как справа и слева стоят функции, зависящие от разных переменных, очевидно, что обе они равнынекоторой константе, которую мы обозначим −λ:T 0 (t)X 00 (x)== −λ.a2 T (t)X(x)Отсюда получаем два уравнения:X 00 (x) + λX(x) = 0;02T (t) + a λ T (t) = 0.Записав краевые условия для нашей функции v(x, t):v(0, t) = 0;, t ∈ [0; T ],v(l, t) = 0.получим, что, ввиду ее представления в виде произведения,X(0) = 0;X(l) = 0.Соединив (2.3) c полученной системой, получим задачу Штурма-Лиувилля: 00 X (x) + λX(x) = 0;X(0) = 0;X(l) = 0.6(2.3)(2.4)Требуется найти все λ, при которых существуют ненулевые решения этой системы.

Из курса "Дифференциальные уравнения" известно, что: πn 2 λn =, n ∈ N — собственные значения.l Xn (x) = c1 sin( πn x), n ∈ N — соответствующие собственные функции (c1 — некоторые константы).nnlПодставляя λn в (2.4), получим уравнения видаTn0 (t) + a2 λn Tn (t) = 0.Решением, очевидно, будет Tn = c2n exp{−a2 πn 2lt}. Объединив Xn (x) и Tn (t), получим:vn (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn sin( πn 2πnx) exp{−a2t}.llЗаметим, что все такие функции являются решениями уравнения теплопроводности (1) и удовлетворяют краевым условиям (2),(3).Определим функцию u(x, t) как сумму ряда:u(x, t) =∞Xvn (x, t).n=1Заметим, что она удовлетворяет краевым условиям, а в случае равномерной сходимости ряда из производных — и уравнению теплопроводности. Подберем константы так, чтобы выполнялось начальноеусловие:∞∞XXπnφ(x) = u(x, 0) =vn (x, 0) =cn sin( x).ln=1n=1πmДомножим равенство на sin(x) (m — целое), сделаем замену переменной (x → s) и проинтегрируемlпо s:ZlZl∞Pπmπnπmφ(s) sin(s) ds =s) sin( s) ds.cn sin(llln=100Zl(sin(πmπnx) sin(x) dx =ll0Zlφ(s) sin(0, n 6= m;=⇒l, n = m.2lπms) ds = cm =⇒l20cm2=lZlφ(s) sin(πms) ds.l0Окончательно получаем формулу для u(x, t): lZ∞ πn 2Xπnπn2φ(s) sin( s) ds sin( x) exp{−a2u(x, t) =t}.lllln=10Теперь докажем, что эта формула корректна.7(2.5)Теорема 2.1 (существования).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций