Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 34
Текст из файла (страница 34)
г»(0, 1)=Сйс(г(С, и, С»1»(1, 1)+Ь'!(1, 1) О при 0<1<-)-оз, 1 зоп "-,=~р(х), 1»(х, 0)= — — 1'(х) прн 0<»<1. Ь (1 з) (2") (3 з) ! аз =— С(. ' У к аз а н и е. Дифференциальные уравнения (1) получаются из дифференцпалыгых уравнений (!) и (2) ответа к аалаче 19 при Я=О=О. Граничные условия (2) получи!отса из согпношения М ! йо = Кз(-1- Ье — + — 1 сй, (4) с помощью которого определяеюя падение наприжения при переходе черен последовательно включенные сосрелоточенные сопротивление Йа, самоиндуицню Ьз и емкость Ьм Так, например, для концах=О провода змеем: Π— о (О 1)=-йз((0, 1) при 0<! <+со 4!. В качестве координаты х точки на проводе взято ее расстояние вдоль провода от конца, заземленного через сосредоточенное сопротивление.
Для апрелеления напряжении о(х, 1) и силы тока 1(х, 1) в проводе получаем краевую закачу о»+М,= — 0„1»+Со!=О при 0<к<), 0<1<+от, — о(0, 1)=Из((0, 1), Сепг(1, 1)=1(1, 1) прн 0<1<-(-со, о(х, о)=)(х), 1(х, О)= — зр[х) при 0<х<1 отняты нкачаыия и нщцнния а„+ЕО О, 1„+Со,=О при 0<х<1, 0<1<+со, [!) — с[О О Е!"[г(0 1).
о(1, Г) — С(О=Е',"'гг(1, 1) пРн 0<1<+ос. (2) о (х, О) 1 (х). г (х, 0) гр [х) прн О < х < 1 (3) нли ОУ) огг=ази „при 0 <х < 1. О <!<+со, Р'ю'о»(0. 1) — Ео[0, 1) 0 Е(но»(1 1)+Ес(1 1) ЕЕ(1) при 0 <1<+со, (2') ! и[х. 0) 1[х). ог(х, 0)= — — м'(х) прн 0 <х< 1, С ггг аЧ„» при О<х<1, 0<1<+со, (!') СЕсочн(0, 1)=1» (О, ЯЬ СЕ)з'[Гг (1, 1)+!»(1, 1) С' 03 при 0 <1<+ею, (2) г(х О)=ф(х), [г(х, О)= — -1'(х) пРн О<а <1. ! (3) У к а з а н н е.
См. указание к задаче 4! . 43. В качестве координаты х точка на проводе взято расстоянне вдоль провода ст одного нз концов п[ювода до этой точки. Для определенна о (х, 1) н г (х, 1) получаем краевую задачу О»+Е[г+Е[ О, 1»+Сиг+бо=0 при 0<»<1. 0<1<+ос, (!) — с(0, 1)=А7Ч(0, 1), и(1, 1)=й)»Ч(1, 1) прн 0 <[<+со„(2) о(х. 0)=1[х), 1(х, О) гр(х) при 0<»<1 (3) о» = СЧ огг+ (И+ СЕ) ог+ 6[!о при О < х < 1. 0 < 1 <+ со, 11 о„[О, Г) — — „, ос (О, 1) — — „, о [О.
Г)=О, прн 0 <1 <+со, о рд 1)+ — „, „[1, 1)+ — „, с(1, 1)=О о(х, 0)=) (х). ог(х, 0)= — С) (х) — ' (х) С приО<х<1 (2') 1»»=СЕ[гг+(С[[-(-ОЕ)[г-(-СЯ прн О < х < 1, 0 <1 <-)-оэ, 1 .(О. 1) — С)Ч»"Чг (О 1) — С[[еыЧ (О 1) = О Ъ прн 0<1 <-[-оо, 1 (1, 1)-)-СйоЧ~(1, 1)+СК~Ч(1, 1) 0 — Щ (х) — Г' (х) г (х, 0) м (х), аг (х, 0) = — — прн О < х < 1. (2") гас 0 — о(0. 1) означает разность потенциалов земля н конца провода (потенциал земли принимается равным нулю). Уравнения (!') н (1 ) получаются из уравнений (!) исключением соогветсгвенно функций 1(х. 1) и о(х, 1).
Граничные условия (2') и (2") получаются иэ граничных условий (2) с помощью уравнений (!). Начальные усаовия (3') и [3 ) получаются нэ начальных условий (3! с помощью уравнений (!). 42. В качестве координаты х точки на проводе взято ее расстоянне вдоль провода от конов, заземленного через сосрелоточенную самонндукцню цо, Лля определения и(х, 1) н г [х, 1) получаем краевую задачу 177 и яиавнпния гипнриоличнского типа 44. Система ксюрдинат выбрана так же, как а предыдущей задаче.
Для пределения о [х, 1) и с Ех, 1) получаем краевую задачу ох+В,+ЕЧ О, сх+Сос+Оп=О при 0<х<1, О<с<-)-оз, — о(0. 1) Р-~"Ес(0 Е)+ЕЕзис(0 Е) Ъ ) при 0<1 «+со, О(1 1)=~.~зк (Е 1)+Ес~зц(1 1) о(х, О)=Е(х), 1(х, 0)=ср(х) при 0<х<1. (2! (Зс Для определения о (х, 1) прн выполнении условий и Ег,"С вЂ” И!з'-0 получаем краевую задачу охх СЕ огс+(СЕ!+О) ) ог+6)7о пРи 0 <х «1, О < Е «+ос, Ц'ох(0, 1) — Е.о(О, С)=-0, ! прз 0 .,Е <+'.о, Е,'„з'о„(1, 1)+со(1, 1) 0 ! — 6/(х) — гр (х) а(х, О) Е(х), ос(х, 0)= при О «х <1.
(2') 40. Начало координат О помещена в месте соединения полуограннчениых проводов. В качестве координаты х точки на проводе принимается расстояние вдозь провода от начала координат О до этой точки Для определенна о(х, 1) и 1(х, 1) получаем краевую задачу ог„+Е сг +Есгсс О. Егг+Сгвгс-1-6 ог=О прн — со< а «О, О <1 +со, о „-)-Е Е +ЕЕН =О, Ез +С о +6 с =О при 0 <х <+со, 0<с <+со, Ег(0, 1) Ег(0. С), ! ! при 0 <1 <+оп, о (о, 1)- м(О, 1)= — 1,(О, О= -- ° (О, Д ) С 1 ' С» ог(х, 0)=)(х), г', (х, 0)=ср (х) при — со «х «О, оз(х, 0)=1(х), с,(х, О)=~Р(х) пРи 0 «х <+со.
сых =САсцг+СгРАЕ при — оз < х < О, О < С <+со Еи». Сз(зсзгс+СзКМц при 0<х<-(-оз, О<с «+со, 1 . ! ! Ег(0, 1) сз(0, 1), —,Егх(О, ЕС вЂ” —.1 (О, 1) — с,(0, 1! при 0<Е <+аз, Ес(х, 0)=с)(х), Ег, (х, О! — Есссу (х) — 1 (х) при — со <х «О, 1з(х, 0) ср(х), сзс(х, 0)= при 0 <х <+оп. — )ссср (х) — Д (х) 40. Система ксюрдинат и дифференциальные уравнения такие же.
как а задаче 45. Условия же сопряжения имеют вид Ег (О, С) С (О. С), Оз(0, 1) — О (О, 1) Есзсс(0, 1)=1(згз(О, С) ПРИ 0 <1 «+ З Для определения силы тока з предположении, что 6, Оз О, получаем краевую задачу ОТВЕТЫ. РКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ н. если утечка отсутствует, Е,(0 Ев(0 Е) Е,„(0, Е) — Е (О, Е)=йв( (О. Е) ° 1 . 1 48. В качестве координаты х точки на проводе возьмем расстояние от середзны О провода до рассматриваемой точки, отсчитываемое вдоль провода„ нз котором установлено поло:кятельное я отрйцктельное направления движения.
Система телеграфных уравнений н начальные условна записываются, как обычно. Условия же сопряжения имеют вид и ( — Е, Е) — о (Е, Е) = Е вЕ, ( — Е, Е) = 1„т, (Е, Е), и ( — Е, Е) — о (Е, Е) ттвЕ ( — Е, Е) ЕЕвЕ (Е, Е), 1 1 ое (-е, е) — от(1, е)= — е(1, 0 = — т( — е, е). (1) ЕУ) (З) 5. Подобие н р аввы х задач Вместо введения к решениям задач етого пункта дается подробное решение задачи 49, которой этот пункт начинается. 49, Если за функцию.
характернзукхцую продольные колебання стерзтня О~а ( Е" принять)в(х', Е )= — р(х', Г'), где р(х". Е") — напряженке в яоперечном сечении, отмеченном абсцнссой х' (определяемос, нак в задаче 1 настоящего параграфа). то задача (11) о продольных колебаниях стержня, одзн нонец которого (х" 0) свободен, а другой (х' 1') занреплен неподвижно, форлтулируется следуюптнм обрззомт в а р, О~к'~Е', О.СЕ" ~+с . а = ~, 1 р~ в(о, е")=,в„(е", е)=о, о~с'~+ Р(х О) ту (х ), Ет (х О)=фа(х ) О(х (Е . ЕИ) Если за функцию, характеризующую элеятрические колебания в проводе 0(х'~Е' с пренебрежимо малой утечкой я сопротивлением, принять алек.
трнческое напряжение о(х', Е'), то задача (1) об электрических колсбапнях в проводе, один конец которого (х'=О) заземлен, а другой (х' Е') нзолиро аан, формулируется следутошим образолс о сл = а'во„.„„О ( х' ( Р, 0 ~ е' а+ со. о(О, Р) (Е', Е')=О, О~Е'~+ о (х', 0)=тря (х'), е„ (х', 0) фе (х'), 0 ~ х' ( Е' Задача (1) аналогична задаче (П). Для того 'чтобы задача (1) была подобна аадаче (и) с заданнымн козффнцяентамн подобна й», йе, й„, необходилто 47. Свстема координат выбрана.
кзк обычно. Для определения о(», Е) н Е (х, Е) получаем краевую задачу ох+(ЕЕ+И О, Ел+Сот+бе 0 пря 0 ( х ~ Е, О < Е <+со, (1) от(0, Е) и (О, Е) о (Е, Е) пря О(Е (+со, (й) Свои(! Е)+ ~'„, =Ет(Е т) о(х, 0) 7(х), т(х, О)=тр(х) прн 0(х сЕ. (3) 179 П, УРАБНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА чтобы выполнялись соотноп1ення р е 'л 1 В фе (х)=й«<р«Ь ), фе(х) —" ф„(х") при л' = Флх', О <« <1. (3) Р е ш е н и е 1локажсм необходимость и достаточность условий (1), (2) и (3) Сначала дои ажем н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть и(х', Л)=Ь«р(х', 1') при х' й«х', д=(ггГ', причем (т', д) пробе1«ег 0 (О <х' <Р, 0 <1' <+со), когда (х", 1') пробе- гасг П (О <я <1", 0<1' ° +Ос). Тогда ораву же получаем, что 1' (г„(", т. е. условие ()) выполнено. ((а равенства '„о(х'„1')=й„р(л, 1'), выполняя диф)еренпироеаине по 1, получим ае (х', д) — Едп (х, 1), поэтому при 1 = и ° 1,—, и = 1' =0 будут выполняться равевства а ( ', О) а„а 1* . О), о, (х', О) «Дп (х", О), 0 « , " 1, (4) т. е. условие (3) буде~ выполнено. Йнфференпируя равенство о (.г' «') = "«р (х" по х' и 1' и испольэун равенства х'=(г«х", 1'=йг1", полтчилс ,дх др д др «« —, Š— „, (гл —,=« г д —,. ' д,.э ° х дх.л — «дх«м ° дле дхо / дьд дед ) г дг'« " дх'л " ( д1"а дх"") Слсдснательно, и(х', Е) является не только репением уравнения дго, д'о — „= а'а —,, (3) но и решением уравнения дэа Р„дао — а е д('" «) дх'а' Вычитая (6) иа (5), получнлс (О) ( —; ) — -= «лх Т дхо а" — — ха") — =О ) дл'а что жмможно лишь при условя« !) й) Так как функпия д(х', Г') должна уноеиетворип уравнению — „а'а — „, дар да)э д("а дх л г то, ледовательио, должно еыполиитьсн равенство 180 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ибо при условии д'о —,=0 дх'з Напомггим, что, кроме того, выполняется соогншнение ггз = к= 1 Краевые задачи (1) и (И) принимают соответственно вил 1( дтз 1'з ачз ' (7(0, И=О, Сг(1, т)=-О, 0 <т <+о», 1 ()(8, О)- ф (1')), (7,(Р, О) Г' Р,(1"„), 0< де(Г 1."т дз(à — — аз —, 0<8<1, 0<т<+со, дд и (о, т) -О, ОТ (1, т) =О, П < г <+ Ц(гм О)= — ца(1"8), !Г,(8, О)- — ' 9 (1"х), О«с< !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
