Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ас 4а' ба. а) аг — ~1+и 1л+игг 2 Ф ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где о, — со < х < — с, д~( — с — с<к<с, О, с<к<+со. ф (х) (2) Чтабы получить требуемые в условии задачи формулы, рассмотрим разбиение фааовой плоскости (х, С) характеристиками уравнения (1), проведенными из кон пов интервала ( — с, с), на котором начальное отклонение отлично от нуля (рнс, 22).
Рис. 22. Дадим сначала формулы, определяющие профиль струны при (=сопя(, ограничиваясь двумя характериымн случаямн: с с 0 < с < — и — < с <+ со. а а с Если с=сопя(, 0<1 < — то при к, изменяющемся монотонна от — со до +со, ~очка (х, С) фазовой плоскости последовательно проходит области 1, 1!С, !1, 1(1, Ш. с Таким образом прн 0 <С < — профиль струны аадается соотнощеинямн и О, (х+а()з ~ и (х, С) =! й ~ !в — со < х < — с — оС, — с — ас < к < — с-)-пс, — с+ос <х <с-о(, — С 1 — 11, с — аС < х < с+а!, Сс г (к — ас)з т 2~ сз О, с+а( <х <+оп, с Аналог!сено получаесся профиль струны при — < С <+от.
а б) Дадим теперь формулы, определяющие и (к, с) при к сопя(, представ. лающие заков движенсся точки струны с фиксированной абсдс~ссой. Выберем П УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА по фиксированному значению х а каждом из интервалов — со <х < — с, — с< к<О, О<к<с, с<х <+со и изучим, как меняшся выражение для решения при (, изменяюшеися ат О до +со. Мы получим: и (к, г) = О, и(х, ()= — ((в Ь Г (к — ас)е 1 2( се Замечания. 1. а) н ()) получмогся из 6) н у) простой заменой х нв — х, так как и(х, г) являепся четной функиней па х в силу четности ф(х). 2. Геоиетрическигг метод нахождения профиля струны для разлнчнык иоментан времени описан в решении задачи 52.
б4. Отклонение и(х, т) достигает ианбольшего значения в точке с або цнссой се+ [5а+ а, + ()г х= 4 в момент времени а,+~е — (и, +()г) 4а зто наибольшее значение равно —. (гг+йа 2 а) О, -1Ф[- '";"'$ О, А~( —.'+„" 1, 6~ (х — а' 1 О, О«Г» —— с+х 1 а с+х с — к — «Г»,~ — со<к< с, с — х О«г « с+х с+х с — х <с « —,,— с<к<О, и а с — х '=. г <+со, с — х 1 а с — к с+х — «(» — „-,~О<к <с, с-)-х . Г <+со„ О -(< г+к -с+х с+х — с <к<+аз.
и а с+х <(<+а~. ютВеты. уклзлния и рншпния Рмс рй йб. Ретпеиие краевой задачи имеет вид а(х, Г) ч )х+пг) — гр(х — аг), где О, — со<с< — с, п„[а+ с) -с(з -с, г„— с, хс с, а ' ге" з(+оп, позтому закон данжепнд ~очек струны с разльчными абгмыссзми предчавлаетсн У к а з а н н е.
Рассмотреть интегральную поверхность, представлнюпгую регпенне и и гл, )) краевой задачи. И УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА формулами а) б] ое (х — йс) осе 2й йа ' пгс й в) С си Сх — ий сзс и(х, 0= 2й 2а 0<1<— с+к ) — С+Х СЛГХ вЂ” -сс < — ' а й с <х <+со.
с -)-х < 1 <+со, й ) Профиль струны для моментов времени 1,, 1з,:.. может быть получен вычитанием графика прямой волны Ч'(х — ас) нз графика обратной аолньгЧ'(х+йс). йс ,((ля моментов 1з= —, Й=О, 2, 4, б, он имеет вид, изображенный на рис. 23. 4й ' 50. Приведем два способа решении задачи. П е р в ы й способ. Будем сначала считать импульс равномерно рас. пределенным по отрезку х,— 6<к<ха+6. Тогда краевая задача формулнРуесея следуюшим образачс им=очи — <х <+ о, О<1 <+ и (х, О) О, — со < х <-(- оз, 1 26р ' — -6<и<,+6, О,,+6-- <+ (2) иг (х, О) фе (х) 00(х 1)=фе(х+ ) — Че( -йс), (3) о, и(х, 0=, — + —, се Сх+ас) йес йес й 1 ) к с)=( ', + —,'.
се!х — Ш) "зс 0~1< —, с+х а г+х с — х й — — оо<х< — с, й г с — х — и-1 <+со, й с+ х с+х с х — <1< —,) — с<х<0, а а с — х с — х с+х —,)0<и<с, — <с <+со, с-(-х а )об Ответы, укдзшц~п и Решения сде — со<а <х,— 6, о, 1 1' (б(г)=т — ~ Рб(и)«ц= Оабр йа (г — «„+6), х„— 6 <г <ха+6, (4) 1 2а(т' и (х, 1) 1пп(тб(х, 1)= Иш Чб(х+ш) — Иптчб(х — а1)=Ч(х+а() — Ч(х — ат), О О б О где О при — со < х < ха.
й'(г) = Итп ЧЪ (г) = ! — ПРИ ХО < Х <+Оп. ~ 2ар Если ввести функцию о,(г), определяемую соотношениями 0 при — со<г<0, ог(г) = 1 при О « ° +со, =( 1 'К(г) — оз (г — х„) 2ар ! и (х, !) — (о„(х+аС вЂ” ха) — оа [х — а( — х,)). 2ар В т ар о й с и ос о б. Используя аельта-фушшюо ~), молва сформуляро вать красвую задачу так: иа = агихю — со < х <+со, 0 <! <+со, и(х, О) О, — со<х <+оп, ! ит (х, 0) = — 6 (х — ха) *) — со < х <+со. р Тогда с помощью формулы Даламбера получаоя: к+ш х — щ+ОО ! ! т ! и(х, 1) — ° — ~ 6(г — х,) т)г= — ~ 6(~] ОЕ 2а р 2ар к-ат — «ч-Ш ,— (оь (х+ и( — хг) — ог (х — а1 — х )) !цр О т так как х 6($)О%=(0' О'~ при ге<0 и ~ 6%) 4 ~1' ~'~ пря ге- О.
О О О ') Сш [7), стр, 270 — 275. ча) Ком)трициент при дельтачрункции 6(х — хя) выбирается так, чтобы + ОР момеиО 1=0, т, е. ~ ит(х, О)рах, суммарный импульс, передаваемый струие О был равен !. Формальным переходом к пределу цри 6-ь0 в решеиии (3) получим решение исходной задачи 191 и. трлвиеиия гипепволического типа бу. В аадаче 52 н (х, 0)=«р (х) е'= О, нг (х, 0) ф (х) = — О. а а рассматриваемой задаче бегугцая волна в момент (=О характернзуется отличными от нуля «начальны»«н» отклоненаямн н скоросгямв «) и(х, 0)=«р(х), иг(х, 0)= — оф'(х), — со<х<-)-со. ! ! В случае задача 52 мы имели: и(х, !)= — «р (х — о!)+ — ч (х+Ы). 2 2 В рассматрнваемой же задаче формула Даламбера дает: »+а« и(х, !) «р(х — а!)+ф (х+л() 1 2 + — ~ ( — шр'(з)) «(г=~р (х — о(), 2а бе.
Решение краевой задачи ох+С!г+)«1=0, ! пра — со < х <+ со, 0 < ! <+со, «я+Со, +йо = О ) ГС о(х, О)=![х), »(х, 0)=1уг — г(х) прн -со<х<+со (2) прн условии СИ=ОС имеет внд д и (х, !) =е («р (х — о!) + ф (х+о()), л 1 ~С 1/ С (,(„ф х+ !. — о» <х <+~~. о<!<+ где ) (х) + р (а) У (х) —" (з) !00 2 а «р (г)= 2 прв — со < г <+со.
(4) 2, Задачи для полупрямой Разыскяваем решение краевой задача для полупрямой им=а»и „; 0<а<+со, О<(<+со, (1) а,им (О, В+а»иг(0, !)+а»и (О. !)+а и(О, г)=Ф(!), О<!<+со, (2) и(х, 0)=«р(х), иг(х, 0)=«р(х), 0<а<-1-со (З) в виде и (х, !) =«р, (х — о()+«)«»(х+о!). (4) Функции ~р, (х) я ф» (х) можно определить аз начальных условий лишь прн 0 <а <+со, Для определения «р,(х) этого достаточно, так как х-1-а() 0 пра 0<а<-)-со, 0<!<+со. Функцня же «р,(х) должна быть определена н для — со <а <О, что досгнгается с помощью граннчного условна (2), ») Предполагаетсв, что волна угке существует прн ! < О. у к аз а н не.
Исключить нз уравнення (!) силу тока; в полученном также образом уравнении второго порядка длн о(х, В освсбодяться ог члена ог(х, !) (см. гл. !), тогда уравнение примет вяд пг«=о»и»х. Вго решением будет: м(х, !) «р(х — а!)+ф (х+п!). Возвращаясь к функции о(х, Г) н используя уравненнн (1) н начальные успевая 2), нетрудно получить ответ. ответы. яклздния и оешения Репэенне краевой задачи ()), (2), (3) можно искать также с помогпью формулы Даламбера х+аг ~р(х — а()+~р (х+а(] 1 (б) 2 2а для неограннченной струны. Для этого нужно фиктивно продолжить струну на отрицательную полуось — со~а(0.
а затем распространять на эту сс с лс сс 4с с Я Рнс. 24. полуось начальные условия (3) так, чтобы для и (х. (), вычксляемого по формуле (5), граничное условие (2) вйполнялось *). Прн этом получается, что в случае фнксярованного конца функцнн гр(х) н гр(х) должны быть продолжены нв полуось — со«Сх сО нечетно, а а случае свободного конца — четно. 69. Профиль струны в момент времени с Зс 2с 7с а' 2а' а' 2а нзображен на рнс. 24. *) См.
(7), стр, а9-60, 60. Решение краевой задачи (4) мон1ет быть найдено с помощью формулы Даламбера при четном «) продолже- нии начальных условий и (х, г) = р (х-1-аг) — у (х — аг), (б) где 1 1р (г) = — ф (сс) 0 х, 2а (6) (7) График функпии Ч (г) имеет вид, представленный на рис. 26. Профиль отклонений в любой момент времени получается вычитанием графика прямой волны из графика обратной волны. с 2с Зс При Г=О; —; —; — профиль отклонений имеет вид, представленный а'а'а на рнс.
26. 61. 2А( . пх — — мп— гга 2( — ссмз— 2А( гг па 41 0<к<21, и(х, ()= 2А( и — соУ вЂ” (х — а(), па 41 21 <х <+со, и(х, 0= О, *) См. (7), стр. 60 — 60. 7 В.' м. Вгл и лз. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА им=ели „, 0<к, (<-(-со, их(0, ()=О, о <(.
+~ и (к„О) =О, О < х <+со, (О, О<к<с, иг (х, О) = ~с«, с < х < 2с, О, 2с < х <+со) О, — оо<г < — 2с, <р(г)=(0, — с<г<с, пг, с<г<2с, О, 2с<г <+аз. аг '21 — х мп —, О<1<в 21' а 21 — х 2(+х (к — аг), — <(<в а а 2(+ х — Г <+со, а О<(< — 21+х 21+к — <(< —, а а 21+ х — Г <+со, и (1) (2) (6) и. Милет!ения ГипеРБОлическОГО типА 62. гпах и(х, Е) ба и(0, — ) ис!О, — Е! и!21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
