Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 35
Текст из файла (страница 35)
! (! 1Ъ Из (1), (2) и (9) следует, что — а'з= — ". а"'. Из (1), (9) и (3), следует, что Тахил~ образом, у задач (Г) и (И ) тождественно совпадают уравнения, начавьные и граничные условия, следовательно (в силу теоремы единственности)„ совпадают н их решения. Таким образом. 1, ! (7((„т! — О(Х', 1'! — «(Х". 1'! ПРИ Х'=гг,ь. Г =Гч(., аз дт т. е. а(х', г')=Фар(х, !"! прн х' к„х".
Г агг, что и требовалось доказать. с помощью уравнения и гРаничных условий (1) получаем, что ажб, ио зто невозможно при грт(х') и з)т (х'), отличных ст тождественного нуля. Следовательно, (8) невоаможгго, значит, имеет место (7), т. е условие (2) выполнено. Рассмотрим теперь дог тато ч посты Перейдем к безрззтгерным величинам е, т, (г в нраевых залачах (1) и (П) с поьющью формул х' 1'г„г'=1'„т, а=аз(7(с, т), х 1$, !' 1,"т, а а„(7(ш т), где константы 1,', и 1,"., имеют размерность времени, а оа и аз соатветстненно размерность а и р, прйчеьг зги константы выбраны так, что (о гч (9)- 181 11. УРАННЕНИЯ ГИПЕРНОЛИЧЕСКОГО ТИПА 3 змеев н не. Можно было бы иначе выбрать функция: !) характеризующую продольные колебания упругого стержня н 2) характеризующую электрические колебания в провоае Например, взять продольное смещение поперечных сечений стержня н силу электрического тока з проводе нля только одну нэ этих функций выбрать иначе, а другую осгавнть прежней, т.
е. один процесс можно по-ражему моделировать другим, выбирая наиболее подходящие аналогнн. 60. Ва функцию, характеризующую продольные колебания стержня 0 ( х" ~ !", принято продольное смещение поперечных сечений стержня м(х", !'). а) Если олин конец стержня (х' О) закреплен жестко, а аругой (х" =!").
звнреплен упруго„то для определения и(х', !") получаем краевую задачу Е и., а"'и„., О.Сх'(!", О(! (+со, а'=.-, Г С «"х"* о и(0, ! )=О, Еим,((, !')+г,и(!', !")=О, 0 ~*' ~+ао, н(х', 0)= р„(х'), о,. !.", О) ф„(». ) П ~х (!!а! Если ва функцию, характеризующую электрические колебания в проводе 0(хг щ !! с пренебрежимо малым сопрстинленаем н утечкой, принять электрическое напряжение в сслн один конец пров!ма (х'=О) эаземлен непосредственно, а другой (х'=!)-через сосредоточенную самонндгкцию, то лля определения напряженая о(х', ! ) в проводе получается краевая аалача ! о, а'эо., О~х'(!', 0(!'-С+со, а'а где С вЂ” емкость единицы длины провода и !.— самонндукцня единицы длнны провода о(0, !') О, о,(!', !')+-то(р, !')=О, 0(!'(+Оэ, в(х', 0)=сэ (х'), о„, (х', 0] фа(х'), О~х'(!' 3адача (1а) аналогична аалчче (На). Лля пно чтобы аадача (1а) была подобна задаче (11а) с коэффициентами подобая йю й„й, необходимо и достагошо, чтобы выполнялись соотношення (1а) !)г а'х=.— а з, Я ь» (2а! ! д Е' ю (х'! а,<р„.х"), За ф: '' г' л„л', О<Х'<!'.
(4з! б) Если один конев стержня !х О) свобопен, а друГОЙ (х" =Г) испытывал сопротивление, пропорциональное скорости, то красава задача для отвиты, нклзлния и рншиния определения продольных смещений п(х, Г ) точек стержня имеет вид а.„, за, О« 1", 0<1" <+с, и (О, Е)=0, Еп (1", 1")+го,.
(г, Е) О, 0<и<+со, (Пб) и(х", 0) ф (х"), и. (х, 0)=ф„(х"), 0<х'<1'. Здесь т означает коэффициент сопротивления трения. Если один конец про вода (х'=0) заземлен непосредственно, а другой (х' 1') ваземлеи через сосре доточеииое сопротивление йз, то„предполагая, что сопротивление и утечка провода равны нулю, для определенна силы тока г(х', Е) получим краевую .задачу 1 (г,г, =а'Чх,х„а з —, О < х' < Г, О < Е <+со, 1,(О, Р)=0, 1 (1', Г)+Сйз(, (1', Е) О, 0<Е <+со, 1(х', 0) фг(х'), 1г, (х', 0) ф1(х'), 0 « х' « 1'.
Задача ()б) аналогична задаче (Пб). Для того чтобы задача (!б) была подобна задаче (Пб) с коэффициентами подобия й», йг, йа, необдодвмо н достаточно, чтобы выполнялись соотношения Рг 1 ° ° (1б) а'з — а"з, й) г Сйз— йг Е' фг(х')-Лифа( '), фг( )-)," Р,( "), ~-й ~'. О <~ <1. дг (40) в) Если один'конец стержня (х" 0) закреплен упруго, адругой(х' 1') двв жется по задащюиу закону, то имеем: агт =а"'и„.м„о <х < Р', 0 <1" <+ссч Ен„(0, г") — йи(0, Е) О, и(1', г') ю~()е), О<.'г <-(-со, (Пв) и(х', 0) фя(х"), и, (х", 0)- фя(к'), 0<х Если один конец провода (з'=0) заземлея через сосредоточенную самоиндук, цию Е, а к другому (х' р) приложена злектрсцвижущзя сила в (Е), та для определения электрического напряжения в проводе получаем краевую задачу Еео„,(0, Е) — Ео(0, Е)=9, и(1', б) мчат,",0<и<+со, „(,) ~ (х), „,,(;, О) ф,(х), О< '<1'.
(1в) .Задача (1в) аналогична задаче (Пв). Лля того чтобы задача (1в) была подобна задаче (Пв) с коэффициентами подобия йю йг, йю необдодимо я доствточгьь и. И АННКНИЯ ГИПЕРВОЛИЧВСКОГО ТИПА чтобы выполнялнсь соотношения (1а], (йа), (Зз), (4а) (см. выше) н соотношение м (!')=В„юе(!"), !' В«г, 0<!'<+со. У к а з а н н е.
Задача решается аналогично предыдущей, 5!. Если адин конец провода (х" =О) заземлен через сосредоточенное сопротивление Кз, а другой конец (х" !') ааземлен через сосредоточенную емкость Сз, то для определения напряжения в проводе с пренебрежимо малымн утечкамн получаем краевую задачу о!ч а«о, аз=С~ О<х <1, О<! <+со, Яео „(О, !') — Ео«. (О.
! )=0 !.Соо ... («-, !")+о . (!", !")=О, 0 < !' <+со, о(х', 0)=«р. (х'), ог. (х", 0) ф„(х"). 0<х" <)', (Па) а для определения силы тока — краевую задачу !. а'ч!«„«, 0<х" <1", 0<!" <+со, (О П) С!!«гг (О ! )=О Се«(! ! )+С! (! ! )=О, 0 <!" <+оэ, !(х", О)=Ч«г( "], г„. ( ", О)=ф (х"), О« Г'. (11б) Еслн к концу упругого цилиндра (х'=О), совершающего крутнльные коле.
банкя, прнложен тормозящий крутнльный момент силы трения, пропорциональный угловой скорости, а на другой (х' р) насажен шкив с осевым моментом ниерцня йм то для определения углов поворота В(х', !') поперечных сеченнй стержня получаем краевую задачу Вг ! =о «В 0 < х < 1~ О < 1~ <+со 6ХВ (О, !') — гзв, (О, !')=О, йевгт, (!', !')+6ХВ (!', Г]=0, 0 <!' <+со, В(х, О)=Во(х'), В (х. О)-)ь(х), О<х <р, ()а) В«н а'ЬВ., 0<х'<!', О<!'<+со, 6Хбк,(0, ! ) — гсвг, (О, ! )=О, 6 !В„, (!', ! )+Н«В(!'.
! )=О, О <!' <+со, В (х', 0) = «рв (х'), Вг. (х', 0) =фа (х"), 0 < х' < !'. (1б) Задача (1а) аналогична задаче (!!з). Задача (1б) аналогична (11б). для гого чтобы задача (1а) была подобна задаче (!1а) с козффнциентаьн подобия Ва, 6.! где а"з= —, а величины 6, Х, й имеют тот же смысл, что я в ответе к за-. В ' даче 3. Если к концу цнлнндрз х'=О, совершающего крутяльные ка«ебання, пряложен тормозшцнй крутнльный момент, пропорциональный тгловой скорости, а конец х'=!' закреплен упруго, то для определения В(х', ! ) получаем краевую задачу !Оэ ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ам Аа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношении 1' )гх (2) )Ээ хх 1. 6л Д, 6л' дл ! 4, ' (г. = (.6э' фэ(х)=й.~ч( ), фе (х') = — ".
фь (х'), — ь э х =д„-, О~Х ~И, 1 (б) У к а э а н н е. См. решение 49. 2 2. Метод распространявшихся воли (метод даламбера) 1. Задачи дл я бесконечной струны Решения краевых аадач этого пункта, имеюших внд ии=аэи „, — со Сх <+со, О <1 <+со, и(х, О)=-ф(х), иг(х, О)=-ф(х), — со(х(+со, (1) (2) находится по формуле Лалаглбера а+ аг ф( — а()+ф(х+Ш! 52. В рассматриваемой задаче ф(х) = О, поэтому и(х, 1)=— гр(х — а()+ф(х+а1] 1 1 2 2 2 =-,— ф(х — ам+ — ф (х+а(), (!) гас ф (х) задана графически в условия аадачи.
1 Прямая и обратная волны — ф(х — а1) и — ф(х-1-а1) 2 2 ! мент 1=0 соэпадаюг, имея значение, равное т(х). в на ыльный мо- Длн того чтобы задача ()б) была подобна задаче (Пб) с коэффипиенгамн подобна Фх. До Аа, необходимо и достаточно, чтобЫ выполиались соотноШенИЯ (!)' (2), (б) и соотношения гэ дх О, С 6У )э ' 6У 6,. =6)1е ьх — = —. 185 П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА за время 111 ~ п1 график прямой волны переместятся беа деформации вправо на расстояние пГ, а графин обратной волны — влево на аГ. Складывая Рис. 21, перемещенные графина прямой и обратной волны в моменты времени 1ы 1ы ...„ получим профиль струны в ети моменты времени Выше (рис. 21) приводится проуиль струны для моыентов Га = †, Д О, 1, 2, 3, 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
