AA3-0 (1127137)
Текст из файла
ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРАПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРАЛекции для групп 320–328 (III-й поток)5-й семестрЛектор — Гуров Сергей Исаевичассистент — Кропотов Дмитрий АлександровичМГУ имени М.В. ЛомоносоваФакультет Вычислительной математики и кибернетикиКафедра Математических методов прогнозированиякомн. 530, 537, 682e-mail: sgur@cs.msu.ruПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРАЛитератураВоронин В.П.
Дополнительные главы дискретнойматематики. — М.: ф-т ВМК МГУ, 2002.http://padabum.com/d.php?id=10281Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества,решетки: Определения, свойства, примеры. — М.: Либроком,2013.Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А., Вялый М.Н. Дискретныйанализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007.Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. — М.: Мир,1988.Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов,исправляющих ошибки.
— М.: Связь, 1979.Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. —М.: Изд-во МАИ, 1992.Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.:Мир, 1976.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Тема 0Группы, кольца, поля(напоминание)3 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыРазделы1Группы2Кольца и поля4 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыГруппы: определение и нотацияОпределениеГруппой G называется пара h G, ∗ i, где G — непустоемножество (носитель), а ∗ — бинарная операция на нём такая,что для любых x, y, z ∈ G выполняются следующие законы илиаксиомы группы:G1: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) — ассоциативность;G2: ∃e ∀x (e ∗ x = x ∗ e = x) — существование единицы;G3: ∀x ∃!y (y ∗ x = x ∗ y = e) — существование обратногоэлемента к x, символически y = x−1 .G0: x ∗ y ∈ G — устойчивость носителя.Если |G| = n, то группа называется конечной и n — еёпорядок.При мультипликативной записи x · y (или xy) единичныйэлемент называют единицей и обозначают e или 1.5 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыГруппы: определение и нотация...Группы со свойством a ∗ b = b ∗ a называютсякоммутативными или абелевыми, а для их обозначения обычноиспользуют аддитивная запись x + y, а единичный элементназывают нулем (0), а обратный к x — противоположным (−x).В конечной группе операцию ∗ задают таблицей умножения(таблицей Кэли).Пример (Таблица умножения группы Клейна V4 )∗eabceeabcaaecbbbceaccbae(и часто c обозначают ab)6 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыГруппы: примеры1. Числовые группы: Z, Q, R,относительно сложения.C — абелевы группыМножества ненулевых элементовотносительно умножения.Q, R, C — абелевы группы2. Бинарные наборы: элементы B n относительно ⊕.3.
Симметрическая группа Sn : все перестановки n-элементногомножества относительно композиции перестановок; |Sn | = n!.Симметрическая группа не абелева.Группа всех преобразований правильноготреугольника в себя — симметрическая группаS3 = h t, r i == { e, (ABC), (ACB), (A)(BC), (B)(AC), (C)(AB) }.7 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Группы8 / 24Группы: примеры...4. Циклические группы: в них есть порождающий элементгруппы — такой, что каждый элемент группы может бытьполучен многократным применением к нему групповойоперации.Обозначения:defa0 = e,defan = a.
. · a} ,| · .{zn разdefna = a. . + a} ,| + .{zn рази справедливы все обычные свойства степени (a−n = (a−1 )n ).C — циклическая группа:∃ c ∀ x ∃ k ck = x ,CCNdefhci = C.Порядок элемента: deg a = arg min { an = e }.nПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыИзоморфизм группОпределениеПусть G = h G, ∗ i и G 0 = h G 0 , ◦ i — группы. Отображениеϕ : G → G 0 называется изоморфизмом, если оно1взаимно однозначно;сохраняет операцию: ∀ a, b ∈ G ( ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b) ),а такие группы — изоморфными, символически G ∼= G 0.2Свойства изоморфизма ϕ: ϕ(e) = e0 (сохранение единицы),ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 (образ обратного элемента — обратный к егообразу)...Теорема (Кэли)Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторойподгруппе симметрической группы Sn .9 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыПодгруппы и смежные классыЕсли G = h G, ∗ i — группа, а H — подмножество G,устойчивое относительно групповой операции ∗,то H = h H, ∗ i — подгруппа G, символически H 6 G.H 6 G, x ∈ G ⇒ xH = { xh | h ∈ H } и Hx = { hx | h ∈ H }— соответственно левый и правый смежные классы поподгруппе H (с представителем x).В абелевой группе всегда xH = Hx.УтверждениеСмежные классы с разными представителями либо непересекаются, либо совпадают.10 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыЦиклические группы: свойстваВсе циклические группы абелевы.Каждая конечная циклическая группа изоморфна группеZn = h {0, 1, . . . , n − 1}, +mod n i,а каждая бесконечная — изоморфна h Z, + i.Каждая подгруппа циклической группы циклична.В применении к единственной бесконечной циклическойгруппе Z это даёт, что любая нетривиальная подгруппа Hгруппы Z имеет вид H = { mn | n ∈ Z } = mZ , где m —наименьшее положительное число из H.Например: H = { .
. . − 6, −3, 0, 3, 6, . . . } = 3Z.У циклической группы порядка n существует ровно ϕ(n)порождающих элементов, где ϕ(·) — функция Эйлера.Если p — простое число, то любая группа порядка pциклическая и единственна с точностью до изоморфизма.11 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Группы12 / 24Индекс подгруппы. Нормальные подгруппыКоличество смежных классов группы G по подгруппе Hназывается индексом подгруппы, символически (G : H).ПримерРассмотрим подгруппу H = h(12)i = { e, (12) } группыS3 = { e, (123), (132), (1)(23), (2)(13), (3)(12) }.Разбиение G на левые смежные классы по подгруппе H:H =e(3)(12)(123)(1)(23)(132)(2)(13)(G : H) = 3 =Подгруппа H группы G называется нормальной, если∀ g ∈ G (gH = Hg), символически H G.Группы можно факторизовать («делить») по нормальнымподгруппам.6.2ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Группы13 / 24Теорема Лагранжа и следствия из неёТеоремаЕсли H — подгруппа конечной группы G, то|G| = (G : H) · |H|.Следствия1Порядок любого элемента есть делитель порядка группы.2Группа G простого порядка p:циклическая и любой её отличный от единицы элемент —порождающий;т.е. всего p − 1 порождающих элементов;defне имеет нетривиальных подгрупп ( E = {e} и G ).Замечание. Обращение теоремы Лагранжа неверно.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыПорядок элемента конечной группыЛемма (о порядке элемента конечной группы)Пусть m — максимальный порядок элемента в конечнойабелевой группе G = h G, ◦, e i.Тогда порядок любого элемента x ∈ G делит m.14 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)ГруппыПорядок элемента конечной группыЛемма (о порядке элемента конечной группы)Пусть m — максимальный порядок элемента в конечнойабелевой группе G = h G, ◦, e i.Тогда порядок любого элемента x ∈ G делит m.ДоказательствоГруппа G однозначно разлагается в прямую сумму циклическихгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел.Для каждого простого делителя pi порядка группы найдемциклическую группу максимального порядка pki .Обозначим произведение чисел pki через M .
Для любогоx ∈ G выполняется xM = e, т.е. порядок x делит M .Но произведение всех выбранных циклических групп имеетпорядок M . Поэтому m = M .14 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляРазделы1Группы2Кольца и поля15 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляКольца: определениеОпределениеКольцом R называется тройка h R, +, · i, где R — непустоемножество (носитель), а + (сложение) и · (умножение) —бинарные операции на нём такие, что для любых x, y, z ∈ Rвыполняются следующие законы или аксиомы кольца:R1: относительно сложения R — коммутативная группа(аддитивная группа кольца);R2: (x · y) · z = x · (y · z) — ассоциативность умножения;R3: x · (y + z) = x · y + x · z и (y + z) · x = y · x + z · x —дистрибутивность умножения относительно сложенияслева и справа.Если в R имеется единичный элемент для умножения (1), токольцо называется кольцом с единицей (унитальным).Если x · y = y · x, то кольцо называется коммутативным.16 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляКольца: основные свойства, примерыОбратного элемента по умножению в кольце может и небыть.В любом кольце a · 0 = 0.Если ∀ r1 , r2 ( r1 · r2 = 0 ⇒ (r1 = 0) ∨ (r2 = 0) ) — то этокольцо без делителей нуля.Ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля —целостное кольцо.Примеры колец:1. Классический пример — множество целых чисел Z соперациями сложения и умножения (целостносное унитальноекольцо). Обратные элементы по умножению есть только для±1.2. Zn = h {0, 1, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
