AA3-0 (1127137), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. . , n − 1}, +mod n , ·mod n i — кольцо классоввычетов по модулю n.def3. Кольца многочленов — будет рассматривается далее.17 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляКольца: изоморфизмы, гомоморфизмы, подкольцаОпределениеПусть R = h R, +, · i и R 0 = h R 0 , ⊕, ⊗ i — кольца.Отображение ϕ : R → R 0 называется гомоморфизмом, еслионо сохраняет обе операции: ∀ r1 , r2 ∈ R справедливоϕ(r1 + r2 ) = ϕ(r1 ) ⊕ ϕ(r2 ),ϕ(r1 · r2 ) = ϕ(r1 ) ⊗ ϕ(r2 ).Взаимно однозначный гомоморфизм колец есть изоморфизм,символически R ∼= R 0.УтверждениеГомоморфная область кольца есть кольцо.Подмножество S ⊆ R кольца h R, +, · i, устойчивоеотносительно операций + и · называется подкольцом.18 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляИдеалы колецОпределениеПодкольцо I коммутативного кольца h R, +, · i называется егоидеалом, символически I R, если∀ x ∀ r ( (a · x ∈ I) N (x · a ∈ I) ).IRОпределениеИдеал I унитального коммутативного кольца h R, +, · iназывается главным, если найдётся элемент a ∈ R такой, чтоI = { a · r | r ∈ R },символически I = (a).Пример: (n) = nZ Z.Целостные кольца, в которых все идеалы, отличные от самогокольца, главные, называются кольцами главных идеалов (КГИ).19 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляИдеалы колец: свойстваСамо кольцо R и его нуль — идеалы R, они называютсясобственными, остальные идеалы — несобственные.Если R — произвольное кольцо, и n ∈ Z, тоnR = { n · a | a ∈ R } R.Если R — коммутативное кольцо, и a1 , .

. . , an ∈ R, то(a1 , . . . , an ) = { x1 a1 +. . .+xn an | x1 , . . . , xn ∈ R } R —идеал, порождённый элементами a1 , . . . , an .В некоммутативных кольцах различают левые и правыеидеалы.Если I1 , I2 R, топересечение идеалов I1 ∩ I2 ,defсумма идеалов I1 + I2 = { x + y | x ∈ I1 , y ∈ I2 },defпроизведение идеалов I1 · I2 = { x1 · y1 + .

. . + xn · yn |x1 ∈ I1 , y1 ∈ I2 , i = 1, n } (n ∈ N),— идеалы R.20 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляФактор-ко́льцаКлассом вычетов по модулю идеала I кольца h R, +, · iназывается смежный класс по нормальной подгруппе h I, + iаддитивной группы кольца с некоторым представителем r:{ r + x | r ∈ R, x ∈ I },символически [r]I .Множество классов вычетов — кольцо (вместо операндовможно брать любые элементы соответствующих классов), ононазывается фактор-кольцом кольца R по модулю идеала I,символически R/I.Пример: I = 2Z Z,Z/2Z= { [0]I , [1]I }.ОпределениеИдеал I называется максимальным в кольце R, если несуществует такого идеала I 0 , что I ⊂ I 0 ⊂ R.21 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляЕвклидовы кольцаОпределениеКоммутативное кольцо h R, +, · i называется евклидовым, еслидля него выполнены следующие свойства:E1: R — целостное кольцо;E2: для каждого ненулевого элемента r ∈ R определена егонорма N (r) ∈ N0 ;E3: для любых элементов a и b 6= 0 кольца R существуюттакие элементы q и r, чтоa = q · b + r и либо r = 0, либо N (r) < N (b).(возможность деления с остатком).E4: норма произведения двух ненулевых сомножителей большелибо равна норме любого из сомножителей: a, b ∈ R,a 6= 0, b 6= 0 выполнено max { N (a), N (b) } 6 N (a · b).22 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поляЕвклидовы кольца: свойстваВозможность деления с остатком (E3) — основноесвойство нормы.Евклидово кольцо унитально.Кольцочисла.Z целых чисел евклидово. Здесь норма — модульЕвклидовы кольца — это кольца главных идеалов(обратное, вообще говоря, неверно).23 / 24ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Тема 0: Группы, кольца, поля (напоминание)Кольца и поля24 / 24Поле: определениеОпределениеПолем K называется тройка h K, +, · i, где K — непустоемножество (носитель), а + (сложение) и · (умножение) —бинарные операции на нём такие, что выполняются следующиезаконы или аксиомы поля:K1: относительно сложения K — абелева группа;K2: относительно умножения K r {0} — абелева группа(мультипликативная группа поля);K3: x · (y + z) = x · y + x · z для любых x, y, z ∈ K —дистрибутивность умножения относительно сложения.Т.о.

поле — кольцо, ненулевые элементы которого образуютгруппу относительно умножения.Примеры бесконечных полей: числовые поляQ, R, C..

Характеристики

Список файлов лекций