С.И. Гуров, Д.А. Кропотов - Конспект лекций по курсу Прикладная алгебра (1127136), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2.(IIIпоток) Группы, кольца, поля13Обычно р ассматривают ассогциативные rх;олъгца с ассоциативной операцией умножения :(х . у) . z=х. (у . z) .Если в кольце имеется едини чный элементумножениiо ( х · 1 =1по1 · х = х) , то кольцо называется rх;олъгцом с единигцеu или униталъны.м, символически( R,+, ·, О,1).Тривиалъное rх;олъгцо{О} ; в нём и только в нём-о= 1.Если операция умножения кольца коммутативна , тои кольцо н аз ыв ается ко ммутат ивным.Элемент а унитального кольца н азыв ается обратимым, если существует элемент Ь такой , чтоа · Ь =Ь·а=1.КольцоR без делителеи нул.я - со свойствомVr 1, r2 Е R : (r1 · r2 = О) ==? ( r1 = О) V (r2 = О) .В ажное для насОп редел е н и евиальноеl. 5.Целостны.м rх;олъгцо.м назыв атот нетриунитальноеассо ци ативно- коммутативноекольцо без делителей нуля .Пример1.3.1.Кольцо целых чиселZс обычными••оп е р ациями сложение и ум ножение на немлостное; обратимые элементы в нём2.--це-± 1.При мер кольца без единицы - кольцо чисел2Z .{0, 1, ...
, n-1} - rх;олъгцо rх;лассов вычетов по .модул'tо n (вычет == остаток) , результатыопер ации - поmod n.3. Zn=Кольцо нецелостно при составном n : напри мер вzб имеем3.2= о.Глава 1. Группы, кольца, поля16Классом( R,+, ·)выrчетовпо.модулюидеалаIполъrцаназывается смежный класс по нормальнойподгруппе ( I ,+)аддитивной группы кольца с некоторым фиксированным представителем{r+ii Е I} ,rсимволическиЕR:[r]J.Классы вычетов разных представителей по модулюданного идеала либо совпадают, либо не пересекаютсяи в объединени и даютR , т.
е .образуют разбие?-lиеМ ножество классов вы четовrцаRпо .модул1<J идеала-R.фапторполъrцо полъ I , символически R / I .Пример1.5.• I === 27L === (2) === <J7L;• 7L/27L === { [O]I, [l]I }, при этом[O]I === 1, [1]I === 27L + 1.Опред ел ени ев кольцеI с I' сПри м ер1.10.ИдеалIн аз ывается .мапси.малъ?-l'Ы.МR , если не существует такого идеала I ' , чтоR.1.6.В7L :1) идеалы (2) и (3) максимальны;2) идеал (6) не максимален : он содержится и в (2), ив (3) : любое число, делящееся на 6 делится такжеи н а 2, и на 3.Я сно, что в(р), где р-Утве ж ение7Lмаксимальный идеалы имеют видпростое число.1.2. Вассоrциативно - по.м.мутатив?-lо.му'Ниталъно.м полъrце существует .мапси.малъныu идеал.(III поток) Группы, кольца, поля1. 2.17ЕвклидовыкольцаОпр еделение 1.11 .
Целостное кольцо, в котором каждыйиенулевой элемент х либо обратим, либо однозначно сточностью до перестановки сом н ожителей и умноженияна обратимый элемент представляется в виде п роизведения неразложимых элементов, называется фак;ториалъuы.м.• 7L -факториальное кольцо.•В се КГИфакториальны .•Кольцо 7Lп-является факториальным7L/n7Lrv(и, следовательно, областью целостности), если иn -только еслиОпределение1.12.пр остое число .Целостное кольцо(R,+, ·)называется евк;л идовы.м, если для каждого его невулевого элемента х определена нормаN(x)для любых элементов а и Ь#Е tN 0 со свойствами0:1) существуют такие его элементы q и r, чтоа ==q ·Ь +r2) N(a · Ь)~и либоN(a)иr == О , либо N (r) < N (Ь);N(a · Ь)~ N(Ь).Наличие у элементов нормы даёт возможность производить их деление друг на друга с остатком .Пр имер1.7.кольца•-Классическийпримеркольцо целых чиселлют н ая величи н а числа.7L;евклидонанорма-абсоГлава 1.
Группы, кольца, поля18• Кольцо многочленов lk[x] от формальной переменной х над полемlk[x]-=lk:{f(x)=anxn+ ... +alx+aoan, . .. , ао Е lk , n Е !No }важный для нас пример евклидова кольца;здесь норма -степеньdeg f (х) = n многочлена.Евклидавы кольца- КГИ .ПолеОпределение 1.13. Целостное кольцо ( R ,+, ·,О,1 ), вкотором каждый , кроме О , элемент обратим, называется полем .П одмножество поля К , само являющееся полем иустойчивое относительно сужения на него операций изК , называется подпол ем.Примеры бесконечных полей и подполей: числовыеполяQ с !Rс С.Поле К , не обладаiощее никаким собственным подполем, называется простым .Утве ж ение1.3.В ~аж дом поле содержится толъ~оодно простое подполе) ~оторое из.морфно ли бо7LP,р-простое.Q) либо1. 3.(IIIпоток) Группы, кольца, поля19Копьu~факториальные~----.кольцацелостныекольцакольца главныхидеаловевклидовыкоммутат и в ны е~--.к ольцакольцаБудем работатьздес ьР ис .1.2.От колец к полям1.3Задачи с решениямиЗ адача1.1.Въt.яснитъ, oбpaзyttom ли группы следующие.мно;;Jсества при уrк;азанноu операции над элементами:1.Целые числа относительно сложения?2.
Ч етные числа относительно сложения?3.Целыечисла,кр атные данномучислу п, относительно сложения?4.Степениа, а=/:данногоО,± 1,ДаДанатуральномуДадействительногочислас целыми показателями относительно ум ножения?ДаГлава 1. Группы, кольца, поля205.Н еотрицательные целые числа относительно сложения?6.Нет (противоположного элемента)Н ечетны е целые числа относительно сложения?Нет (устойчивости)7.Целые числа относительно вычитания?Нет (ассоциативности)8.Рациональныечислаотносительносложения?Да9.Р ациональные числа относительно ум ножения?Нет (обратного у О)10.
Р ацион альные числа ,тельно умножения?отличныеотн уля,относиДа11. П оложительные рациональные числа относительно умножения?12.ДаП оложительные р ациональные числа относитель-но деления?Нет (ассоциативности)13. Корни п-й степени из единицы (как действительные , так и комплексные) относительно умножения?14.ДаМ атрицы порядкаn с действительными элемен-тами относительно умножения?Нет (обратныху всех)15.Н евыр ожденные матрицы порядкаnс действительными элеме нтами относительно умножения?Да16.Матрицы порядкаn с целы ми элементами и определителем, равны м1относительно ум ножения?1.
3.(IIIпоток) Группы, кольца, поля21Да17.Матрицы порядкаn с целыми элементами и определителем, равным± 1 относительноумножения?Да18.Матрицы порядкаnс действительными элементами относительно сложения?19.П ереставовкичисел1, 2, ... ' nкомпозиции перестановок?20.ДаотносительноДаВзаимно однозначные отображения множестванатуральных чисел на себя, каждое из которыхперемещает (отображает не в себя) лишь конечное число чисел , если за произведение отображенийsиtпринята композицияsоtотображений (последовательное выполнение отображенийt , затем s)?21.ДаП реобразования множества М, т. е . взаимно однозначные отображения этого множества на себя,относительно ком- позиции отображений?22.Элементы!Rn23.п-мерноговектор н огоотносительно сложения?Дапростран стваДаП араллельные переносы трехмерного простран3ства !Rотносительно композиции движений?Да24.П овороты трехмерного пространства!Rnвокругпрямых , проходящих через данную точку О относительно ком п озиции движений?ДаГлава221.
Группы, кольца, поляВ се движения трехмерного пространства [Rn от25 .носительно композ иции движений?26.Действительные многочлены степени не вышеотн еизвестн огохтельно сложения?Действительные27.Даи...нулев о им ногочленnотноси-Дамногочленылюбыхстепеней(включая О ) от переменной х относительно сложения?ДаЗадача 1.2.
Найти степеrни и пор.ядгк;и всех эле.м е rнтовабелевой гpynnъt пор.я дrк;а6.Каrк;ие из rних .явл.яютс.я поро;>tе дшющи.ми?Решение .ord О12345Zв ~ {О , 1 ... ,~1 6;~1, 1 + 1~::::} ord 1~ 2, 2 + 2~ 3, 3 + 3~ 4, 4 + 4~ 5, 5 + 5::::} ord 52, ...1.3.~6.1~6::::}6~ о~6 6;ord24, 2 + 2 + 2 ~ оО ::::} ord 3 ~ 2 6;ord42, 4 + 4 + 4о3, ... ' 6 . 54, 5 + 5 + 5~ 6.П орождающие элементыЗадача6 }, О - единица группы.-и15.По rк;азатъ, чтоер( n) ~1n · 1 -Pl1•• • ••1 -Pl)3·'~3·~ о'::::}1.3.поток) Группы, кольца, поля(III_n -еслира11· ...
·akpk -23при.мар'Ное разложе'Ниеn.Решение .({) (pfl )· .. . ·(p~k ) == pfl - 1VJ(P1)· .. . ·p~k - 1 VJ(Pk)VJ(n)==pfl-1 ..... p~k-1VJ(P1) ..... VJ(Pk)n- - - (Р1- 1) · ... · (Pk- 1)Р1 · · · · · Pk1==n·1--• •• ••Р1Задача1.4. Найтипор.ядпа 24.С=={а==11-Pk== 1, а\24-элементная2а ,. .. ,а23групп а} имеет (циклические)подгруппы, генераторами которых будут элементыгде тп , т.е . т==1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 22.Порядок соответствуFоrцей подгруппы - пjт.1т == 1 : { 1' а '2т == 2 : { 1, а ,2241а ' . . . ' а } == (а ) == с rv 7L 24;4226а , а , ... , а }\1а2) rv 7L 12 .,т==3 :{1,аз,а6,а9,. ..
,а21 }т== 4 : { 1, а4, ав, а12,т== 6 : {т==8: {1 , ав, al6} ==т== 12 : { 1, а12т== 24 : { 1}== (1)==(аз) rv7Lв;... 'а20 }1, а6' а12' а18}}•все подгруппы ци'К;личеспоu группъtРешение. Циклическая0====(а8)(а6)rv(а4)rv7L4;7Lз;12(а ) ~ 7L 2;~ Е - единичная.rv7L6;am ,Глава 1. Группы, кольца, поля24Задача1.5..явл.яютс.яВъt.яспитъ,'Х;Олъrца.ми,'X;a'X;ueпонеиз следующих .множествпол.я.ми,и'Х;а'Х;иепол.я.миотпосителъ по у'Х;азаппых oneparциu.Если операrции не у'Х;азапъt, то подразу.мева'tотс.ясло ;нсепие и y.мno;)Jcenиe чисел .1.Целые числа2.Ч ётные целые числа?3.Целые4.Р ациональные числа5.Действительные числа6.Комплексные числа С?7.Квадратные матрицы порядка n7L?n7L, n >ментамиКольцо .О?Кольцо.Кольцо .Поле.Q?относительно!R?Поле.Поле .сложенияс целыми элеиумноженияматриц?Кольцо (обратной матрицы может не быть).8.Кв адратные матрицы порядка nс действительными элементами относительно сложения и умножения матриц?Кольцо (обратной матрицы может не быть) .9.Многочлены от одного неизвестногохс целыми коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения?Кольцо (многочлены ао + а1х + а2х2+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
