С.И. Гуров, Д.А. Кропотов - Конспект лекций по курсу Прикладная алгебра (1127136)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Конспект лекций по курсуПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРАгруппы320- 328 (III поток)осенний семестр 2016/ 17 уч. годаЛ ектор С. И. Гуровассистент Д.А. Крапотав2016Глава 1. Группы, кольца, поля2Глава1Группы, кольца, поля1.1ГруппыОпределение 1.1. Группой называется тройкагдеG-непустое множествоница группы, а о -( G, о, е) ,( коситель), е Е G - еди­такая бинарная операция на носите­ле , что для любых его элементов х , у ,zвыполняютсяследуr-ощие з шх;окъt или а?tсио.мы группы:[О)х оу Е G теля;]устойчивость (замкнутость) носи-1)(х о у) о2)ео х = х о е = хz3) V х 3! у :=х о (у оу о х =z) -ассоциативкостъ;свойство едикицы;-х о у =е-существавакиеобраткого эле.ме'нта к х , символически у= х - 1 .ГруппыGсо свойством х о у = у о х называются?tо.м.мутативны.ми или абелевы.ми .ЕслиG=n,тоG-'К:О?-lе'ltна.я группа иn -еёпор.ядо?t.В конечной группе операциюоудобно задаватьтаблицей у.множени.я (таблицей Кэли).(III поток) Группы, кольца, поля1.1.3Пример 1.1 (Таблица умножения группы Клейна[о11еа [ Ь ] аЬ1V4).JееаьаЬааеаЬьььаЬеааЬаЬаЬьаегруппа абелева .V4{ е, а , Ь, аЬ}=четверная группа Клейна--один элемент,Мультипликативная запись групповой операции:х·уили ху, аОе, а=n~=· .

. . · (!;,vn~~Е u\1 ,прази справедливы все обычные свойства степени:am+n = am . an amn'Пр имер=amn'а( а - l)n-n ='•• • •1.2.1. Числовые группы- все они абелевы:•1._ ,Q, IR,С-группы относительно сложения.Для них используют аддитивную записъ х+у,единичный элемент называ1-от нулем (О) ,обратный к х- противоположн'ы.м ( -х ).• Неиулевые элементы Q, IR , С тельно умножения;1-группы относи­нуль группы.2.

Бинарные наборы: а = ( а1, ... , ап ) Е вп относи­тельно Е9 . Аддитивная запись :__..._Нуль группы: О =(0 , . . . , О).Глава 1. Группы, кольца, поля43. Симметрическая группа Sn : все перестановки п­элементного множества Хно композиции*·== { 1,Нуль группы... , n } относитель­единичная переста­-Sn == n !.новка. Ясно, чтоП ерестановки можно записывать в виде :а) таблицы 1r==... n2 ... i1t1 t2 . . . ti . . .

tn'Например (сначала выполняется 2-я перестановка,потом - 1-я) :1 2 32 3 11 2 31 3 2*1 2 32 1 31 2 33 2 11 2 31 3 2б) разложения на циклы1r1 2 32 3 1*-== (tit~t§ . . . tll) (trt~t~ . . . t~2 )••• (tftrtз ... tt) .Внутри каждой пары скобок числа переставляютсяцикличес ки:п(t1) ==в п ерестан о вкеt2 , п(t2)1r -Циклы длины 1т==== tз,. .

. , п (tk)вида5 6 3 1 4 2(t)обычно опускают:~(154)(26)Каноническое представление цикланаименьшее изt1 ;цикл ов .1 2 3 4 5 6t1 -=={ t1, t2, ... , tk}.(t1t2 ... tk) :(III поток) Группы, кольца, поля1.1 .5Например, для предыдущей композиции перестановок :* (23)(12) -1= (13) == (23) * (123) .Симметрическая группа Sn при n > 1 порождаеттранспозициями (1, 2), (1, 3), .. . , (1, n).(123)ся==4. Группы симметрии (самосовмещений) объекта- со­вок;упностъ преобразованиu,совмеща1-ощих обв ек;т ссамим собоu .4.1.Г руппы симметрии правильного п-угольникагрупп'ы диэдра-Dnа) У группы D 2k+l , k Е [N -две образу1ощих:(1) вращение вокруг центра на g~~o1 в выбранном на­правлении-tи(2) симметрия относительно оси, проходящей через вы­браннуiо вершину и середину противоположной сторо­ны-r.Например: группа симметрии правильного треугольни­ка-перестановка его вершинDз == ( t,r)== {е, (АВС), (АСЕ),(А)(ВС), (В)(АС), (С)(АВ )}t -вращение на120°в выбранном83 .~внаправлении ,r - симметрия относительно выбраннойоси симметрии.Л}обая перестановка вершин (сторон)описывается через образующиеи имеет видtmrn .сГлава 1.

Группы, кольца, поля6б) У группы D 2k, k Е IN - три образующих:( 1) вращение вокруг центра (в выбранном направле­нии) на зg~о и две осевых симметрий - относительнофиксированных осей, проходящих через середины про­тивоположных (2) сторон и (3) вершин.. . . ........... -.. ......... ' ...................... .. .. .'.... . .. ;.....Пример: группа симметрии квадратаD 4 == ( t, r,f)== { е, (АВ С D ) ,.'····· m.' .''.' s ···'.. .''.:.с . ..'··:.

. . ." .. ...·······. . .. . .. ...... ..... ... ... . ...........' ..'... .... .... . ...... .k ....../.~...... __;_ ... .... ;_ .. :.. _[)_ .. "· ... :. .. .'. '. . . . .. . . . ... -... -...... ......... .'(AC)( BD), (ADCB ), (AD )(B C),(AB )(CD ), (BD), (АС)} .t - вращение на 90° в выбранномнаправлении ,r -симметрия относительно осиf -симметрия относительно оси симметрии А- С .т,Любая перестановка вершин (сторон)описываться через образующиеи имеет видtmrnf k.Пример: группы диэдра Dб иDs.СпСнс.)С·)~-с.)-с.)-..,с....Dn~С·)....С·)~с.)С·)-с?-== 2n: тождественная перестановкаротов вокруг оси Сп+с.)-+ (n- 1) пово­n отражений вокруг осей С2 .1.1 .(III поток) Группы, кольца, поля4.2.ка-7Группы вращений правильного многогранни­этоневсесимметриимногогранника,атолькоповороты , зеркальные отражения исклiQчены .Пять платановых телТгруппа тетраэдра,О-группа октаэдра(вращение октаэдра и куба),У-группа икосаэдра(вращение икосаэдра идодекаэдра).Эти группы будут рассмотрены позже .Ещё один пример : группавнутренних вращений rx;yбurx;a Pyбurx;a.П орядок группы-что является совсем небольшим числом по стандартамсовременной теории конечных групп ( ~ объём Мирово­го океана в кубометрах) .Подгруппы и смежные классы.группа ,аН-подмножествося группой, то ( Н, о)Н ~G.-G,подгруппаЕслисамо( G,о)-являющее­G, символическиГлава 1.

Группы, кольца, поля8Определение левого и правого смежпые плассы поподгруппе Н (с представителем х) соответственно :Н ~G,х ЕG ::::}хН{xh hE H} ,{ hx h Е Н} ,Нхпри этомh 1 # h2, h 1, h2Утве ж ен и е1.1.вителями либо'\/ хЕG :Е Н ~э хG::::}х h1# х h2.Смежпые плассrы с разпыми предста ­пересепаютс.я) либо совпадают .ne=хНпа.я. НормальностьН х, то подгруппа Н-пормалъ­ослабленное условие коммутатив­-ности: в абелевой группе все подгруппы нормальны.Единичная группа Е ={ е} -подгруппа любойгруппы .Определениежение ер1.2.

Для групп ( G, *) и ( G ', о) отобра­: G ---+ G'называется изоморфизмом, если оно1) взаимно однозначно;2) сохраняет операциrо :'\/а, Ь ЕаGтакиеrvG:ер( агруппы-* Ь)=ер( а) о ер(Ь),изоморфпъtми,символическиG '.Свойства изоморфизма ер : ер( е) = е' (сохранение11единицы), ер(а- ) = ер(а)- (обр аз обратного элемен­та- обратный к его образу) ...1.1 .(III поток) Группы, кольца, поляТео ем аn1.1 ( Кэл и ).9Люба.я гх;онегчна.я группа пор.ядгх;аизоморфна негх;отороu подгруппе симметригчесгх;оuгруппыSn.Если в определении изоморфизма снять требованиебиективности <р , то получим определение гомоморфиз­ма групп .Например, всегда существует гомоморфизм произ­вольной группы в единичну1о Е .Цикличе ские группы.В цигх;лигчесгх;их группах естьпоро;нсдающиu элемент с( образу'fощиuэлемент, гене­ратор) такой, что каждый элемент группы может бытьполучен многократным (с учётом с0 == е) применением1к нему или к с- групповой операции :Сциклическая группа, если-:3 с 'i х :3 k : ckсс==7Lх,символически (с)==С.Для циклических групп возможны два случая .1.В сестепениличны..

. ,а- 2,группаа- 1,на группеЭто-порождающегоао,а1,а2,элементасостоитиз.. . ,онат. е.раз-элементовизоморф-( 1, +) целых чисел по сложению .единственная бесконечнаяциклическаягруппа .2.Две различные степени порождающего элементасовпадают:an+mord а == arg minmENo=={а тanam==е}==an =? am==-порядок элемента а .е.Глава 1. Группы, кольца, поля10В этом случае получаем :••конечную группу;изоморфность любой конечной циклическойгруппы с чи слом элеме нтовn7Ln == ( {О , 1, ... , n - 1},группеn).+modСвойства циклических групп:•В се циклические группы абелевы.•Лтобая подгруппа циклической группы-цикли­ческая.В при менении к един ственной бесконечной цик­лической группе7Lвиальная подгруппаН== { mn nЕэто даёт, что любая нетри­Нгруппы7L } == m7L ,имеет вид7Lгде т-наимень­шее положительное число из Н.Например :н•== { ...

- 6, - 3, о , 3, 6, . . . } == 37L .В сякая циклическая группа является гомоморф­ным образом группы7L.У циклической группы порядкаnсуществует ровно<р (n) по рождающих элементов (генераторов).Определение1.3.Значение фуrнгк;ции Эuлера <p(n) - ко­личество чисел из интервалапро стых с<.р( 1)[ 1, ...

, n - 1 ],взаимноn.== 1 (по определению), <.р (2) == 1, <.р(З) == 2, .. . ,<р( 6) == {1, 5} == 2, <.р(7) == 6, <р (8) == 4, .. .1.1 . (III поток)Свойства (р•• ep(nk)==11простое число):-ер (р) == рГруппы, кольца, поля- 1;1nk- ep(n), откуда ep(pk)1== pk- (p - 1),• если т и n взаимно просты, то ер( т · n) == ер( т) ·ер( n).Примеры: ер(15) == ер(З · 5) == ер(З) · ер(5) ==43ер( 1 6) == ер(2 ) == 2 . 1 == 8.rp(тt)+О+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +94881620162432241101230403260705472О+10+20+30+40+50+60+70+80+90+Рис.82 ·41.1 .1410161224302440442122220425236728260Первые26816201832362446994820242440484064722812122224203642326161836463666605696461218162832244042==86182824425844788860значений ер (·)L:dln ep(d) == n, ер(1) + ер(2) + ер(З) + ер(4) + ер(6) ++ер(12) ==12;В группе 1._6 == ( { О, 1, 2, 3, 4, 5 }, +б) генератора .сколько генераторов вОтвет: два-1и- 1.Z?ер( б) == 21.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций