С.И. Гуров, Д.А. Кропотов - Конспект лекций по курсу Прикладная алгебра (1127136), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Должно быть: f(O) # О , f(1) #О, f (2) # О.Перебором коэффициентов Ь , с Е {О , 1, 2} в выражении х 2+ Ьх + с,находим подходящие многочлены:2!I(x)=x + 1,!2(х)= х2fз(х)= х2+ х + 2,+ 2х + 2.Глава94Задачаu2.13.2.Конечные поляНaumu все пор.мировшн,пъtе .мпого'ltлепы3-mpemъeu степени) пеприводи.мые пад полем въt'ltemoвпо .модулю 3.Решение.Должно быть:!1(х)f(O) -1-О , f(1)х3+ 2х + 1,!2(х) == х3+ 2х + 2,fз(х) == х3х3х3j4(x)====j 5 ( х) ==-1-О,f(2) -1-О.2+ х + 2,+ 2х + 1,2+ х + х + 2,23!6 (х) == х + х + 2х + 1,23j7(x) == х + 2х + х + 1,23fв(х) == х + 2х + 2х + 2.Задача2.14.2Проверитъ) что1.F == [F 7 [х] / (х+ х - 1)2.явл.яетс.я полем.2.Выразитъ oбpamnъtun 1-х вF.1.
а(х) == х + х- 1, а(О) == 6, а( 1 ) == 1,а(2) == 5, а(3) == 4, а(4) == 6, а(5) == 1, а(6) == 6, т.е .многочлен а(х) - веприводим в [F7 и F - поле ( rv [F~) .Решени е.2.[F~2=={ах+ Ьа, Ь Е [F 7 , х(ах+ Ь)·(6х+ 1)== . . . ==6а + Ь == 1а + 3Ь == ООтвет:(1- х) -1== х+22==1- х==6х+1}(2а+6Ь)х+(6а+Ь)== 1Ь == 2а::::?в F.==12. 7.(IIIпоток) Конечные поля95Зада ча 2.1 5. Haumu порядоrк; эле.мепта f3 == х+х2в.мулътиплиrк;ативпоu группеIF2 [х] 1(х1 . поля F12.
поляF 2 ==Ре шение .+ х + 1) ).IF2 [х] 1(х + х + 1) .44f3 == х32+ х ==х(х+ 1).М ул ьтипликативная групп а указанн ых полей состоитиз 241 == 15 элементов .Примарное разложение 15: 15 == 3 · 5,венство /3d == 1 нужно проверить для d-5поэтому ра153 и5====d == \ == 5.41. х == х2(х +х)2+14== х +х == х +х+ 1 ,2233(х + х) == х(х + 1)( х + х + 1) == х(х + 1)4== х + х == х + 1 + х == 1.Ответ. В п олех4(х +х)22.2==2F 1 ord f3х32== 3.+14== х +х == х +х + 1 ,2233(х + х) == х (х + 1) (х + х + 1) ==2243== х(х +х +х+ 1) == х(х +х +х)4223== х +х +х == х + 1 =!= 1,22 32253(х + х) == х х == (х + х + 1)( х + 1)25432== (х + х + х + х + х + 1) == ...433.. .
== (х +1)х == х +х == х +х+ 1Ответ. В поле F 22ord f33==215.=!= 1.96ГлаваЗадача2.16.2. Конечные поляНаuти 'К;ОЛи'ltество кормировшнл-t/ЫХ кеприводимъtх мкого'ltлеков1) степеки 7 кад полем [Г 2;2) степеки 6 кад полем [Г 5 .LРешение.d . ((d))~ рп .dln1. ( (7))надlr2~ d((d)) ~27~1 . (( 1)) + 7 . ((7))~128.dl7( ( 1))((7))~ЭТО2:128-272. ( (6))~ХИХ+1,ОТСIОДа18.над [Г 5dl б2+~-L(3)5 + f-L(6)5 J ~ -2Задача 2.17. Для поля F ~ [Г 3 [х] / ( - 2х + х + 2) построитъ таблицу с оотв етствии ме;;tе ду поликомиалъным и степен/ным пре дста влением его некулевыхэлемент ов.С помощъю дакко u таблицы вы'llислитъ выражекиеs~12х+12(2х) 7(х) 9 (х+2).2. 7.(IIIпоток) Конечные поляchar F == 3,Решен и е.2-2х +х+ 297поэтому2_ 3 х +х+2 == а(х) .2F == IF§, F * содержит 3 - 1 == 8 элементов и всеони могут быть пр едставлены как степени а~, i == 1, 8при митивно г о элементаа.Если элемент х окажется примитивным, то положим а== х и, поскольку вычисления в IF§ проводятсяпо mod а(х) , будем иметь-х- 2Н айдём порядок элемента х: т.
к .проверим равенство хх42 242х3 88 == 2== 1:2+ 1.== 4' 2'2== (х ) == (2х+ 1) == х +х+ 1 ==~х+ 1 + ;f;+1 == 2-j- 1,т. е . х- примитивный элемент F : ord хПовезло: а(х)== х2+х +28== 8, х == 1.оказался примитивнымм ногочленом над IF3 , иначе генераторFпришлось быи скать.Теперь вычислим зн ач ение заданного выражения.248Имеем 2 == 256 -3 1, х + 2 == -х , х == 2 и далее :S ==12х + 164( 2х)7( 2)(х) 9 (х+2)2 31+ хх27х9х 238х +х хх278xl lх + х == (х ) +2 == (2х+ 1 ) +2 == 2х + ;1+ ~23== 2х ( 2х + 1) == х + 2х == 2х + 1 + 2х == х + 1.98Глава2. Конечные поляЗада ч а 2.18 .
Для поля F ==2lr 3[x]/(x + 1)rv[Г~ построитъ таблиrцу соответствии .между полипо.миалъпы.м и степеппы.м представлепие.м для всех пепулевых эле.мепт ов поля .Ре ш е ни е.х2Вданном9-элементномполе2О ::::} х == -1 -з 2.+ 1 ==1. Н айдём порядок элемента х, для чего проверим43равенство х == 1 (т. к. 9- 1 == 8 == 2 , ~ == 4) :х4 == (х2)2 ==Следовательноментх24х+-2.(ххне4 -з 1.ord хявляетсяi-4генератором8группыиэле(иF*1 - не есть примитинный многочлен над lrз :4221 == х + 2 == ( х + 1) (х + 2)).Проверим на примитивность элемент х+ 1:+ 1) == (х + 1 )(х + 1) == (х + 1 )(х + 1) ==== ( х + 1) ( 2х + 1) == 2х + ~+ f'x + 1 == 4 + 1 == 2 iт.е .
а == х + 1 оказался примитивным элементом.43321Его степени:а1а2а3+ 1,х + 2х + 1 == 2х,2х(х + 1) == 2х + 1,х22,а == 2(х+ 1)аб4а==572==а·== 2х+ 2,4х==ха ==х(х+ 1 ) == х+2,а8 == (а4)2 == 1.'Замечание: вычисление очередной степени ai+J ча..сто бывает удобным провести как а 2 • aJ, а не кака . ai+J - l.2. 7.(IIIпоток) Конечные поля99Зада ча 2.19. В фапторполъце R == [F 3 [x]/(x + 1)2т и все эле.мепты главпого идеала ( х + х + 2).4ипаи -Решени е.1. Сначала проверим , является ли много24член f( x) == х + х + 2 делителем х + 1?4х + 1==22(х + х + 2) · (х + 2х + 2) -да, являетсяПоэтому искомый идеалсоставят элементы(многочлены степени не выше2(х +х+ 2)==кольца3) , кратные f( x) :2{ (х +х+2)(ах+Ь)а,ЬЕ[Fз }.Проведём умножение :2(х + х + 2)(ах + Ь)2.Теперь ,==ах +(а+ Ь) х + (2а + Ь)х + 2Ь.перебирая32всевозможныезначения2а, Ь Е [Fз, найдём все элементы идеала (х + х + 2):аьооо1о21 о1 11 22 о2 12 2ах:-5 +(а+ Ь)х~(2а+Ь) х+2Ьо2х + х+ 222х + 2х + 123х + х + 2х32х + 2х + 23х + х+ 1232х + 2х + х2х 3 + 2х + 2232х + х + 1А если быТогда+f( x) == х + х + 2 Jx + 1 == а(х)?кратныеf(x)составятвR( НОД(f(х), а(х))).24идеалГлава1002.4Конечные поля32Зада ч а 2.20.
В поле F == lr7 [x]/ (х + х + х + 3)2mu элемент, обратный n х + х + 3.ина и-+х +3находим ,(х + х + х + 3) . х(х) +(х + х + 3) . у(х)== 1 ( *)Ре ш ен и е.Обратный элемент к Ь==х2решая уравнение4322=0с помощыQ расширенного алгоритма Евклида: им будетполином у(х). Вычислять полиномXi(x)нет необходи-мости .Шаг О .432r_2(x) == х + х + х + 3,// lfнициализация2r_1(x) == х + х + 3,У-2(х)У- 1(х)Шаг 1.Шаг 2.====О,1.r_2(x) == r_l(x)qo(x) + ro(x),// Делим r_2(x) на r_l(x) с2qo(x) == х + 5,ro(x) == 2х+2,Уо(х) == У-2(х)- Y-l(x)qo(x)== -qo(x) == -х 2 - 5.r _1 ( х) == ro (х) ql (х) + r 1 ( х) ,// Делим r - 1(х) на ro(x) сql (х) == 4х,r1 (х)остаткомостатком== 3,У1 (х) == У- 1 (х)==-Уо(х )ql (х)21 + 4х (х + 5)== 4х3+ 6х + 1.2.
7.(IIIпоток) Конечные поля101Алгоритм заканчивает сво!о работу на Ш аге2,т. к .степень О очередного остатка r 1 ( х) == 3 равна степени многочлена в правой части ( *) : 1 - многочлен 0-йстепени.В результате работы алгоритма получено :(х23+ х + 3)(~х + 6х + ~) ==r1(x) == 3.V'Чтобы3- 17найтиу(х),нужноУ1(х)на5:у (х) == 5у 1 ( х) == 5 · (4хЗа д а чадомножитьВ поле2.21.3+ 6х + 1) ==!Гs[х] / (хF26х3+ 2х + 5.+ 3х + 3)'Найтиобраm'Ную 'К: .матри'ЦеМ==Р е ш е ни е.+43хх+3х3х+2+2•Для матриц размера 2х2 обратная матрицазаписывается в видеаЬс1.х2- 1dd1ad-Сначала вычислимЬс-с-Ь•аdet М == ad -Ьс с учётом== 2х + 2:+ 4)(3х + 2)- (х + 2)(х + 3)== 4х + 3х + 3 - х - 1 ==det М == (Зх22Глава1022.Конечные поля2== 3х + 3х + 2 == 3(2х + 2) + 3х + 2 == 4х + 3.2.Н айдём обратный к 4х+3элемент, решая уравнение2(х + 3х + 3) · х(х) + (4х + 3) · у(х) == 1.с помощью расширенного алгоритма Евклида:Шаг О.r -2(х) == х + 3хr - l ( х) == 4х + 3,2+ 3,// ИнициализацияУ- 2(х) == О ,Y- l(x) == 1.Шаг 1.Вычислим обратную матрицу3.м-r -2(х) == r - l(x)qo(x) + ro(x),// Делим r_2(x) на r_l(x) с остаткомqo (х) == 4х + 4,ro(x) == 1,Уо ( х) == У- 2 ( х) - Y-l (х) qo (х) ==== - qo(x) == - 4х - 4 == х + 1.1==(х+ 1 )+24х + 23х+33х + 44хх+34хПроверка :3х+ 4х+ 2х + 3 3х + 2(3ххх+34х13х+ 4)(х + 3) + 4х(х + 2)2(х + 3) + 4х(3х + 2)3х + 4 + 3х(х + 2)х + 3 + 3х(3х + 2)13х·(III поток) Конечные поля2.
7.+х+2+ 4х + 42(2х + 2) + х + 23 ( 2х + 2) + 4х + 422х2Зх103+ 4х + 4+ 2х + 33(2х + 2) + 4х + 44(2х + 2) + 2х + 32Зх24х1оЗадачао1•Разложитъ на неприводимъtе множите2.22.ли многочленР ешен ие.Сначала пытаемся найти корни1.лучимвIF 2f(O)f( x)вIF 2 : поf(1) == 1, и значит f (x) не имеет корней==т. е. не имеет линейных множителей .2. Далее ищем делители f( x) срединеприводимыхм ногочленов степени 2.Таковых над IF2 только один- х + х + 1.2При делении f(x) на х + х + 1, получаем2f (х)== ( хх2+ х + 1) х79863(х + х + х + х + х + х + х + х + 1).42g( x)Делим частное g(x) на хg(x) == х==98+ х + 1:+х +х +х +х +х +х +х+127264327432(х +х+1)(х +х +х +х +х+1)+х,Глава104не делится нацело, т. е .
хности3.2+х + 1 -2. Конечные поляделительf (х )крат1.Неприводим ых многочленов 3-й степени над3только два: х + х + 1 и х + х + 1.Пробуем поделить g(x) на х 3 + х + 1:х986232+х +х +х +х +х +х +х+123653( х + х + 1) (х + х + х + х + 1)743IF2h(x)-делится!Производя далее попытки деленияh(x)на веприводимые многочлены 3-й степени, получаемх6532+ х + х + х + 1 ==2233== (х + х + 1) · (х + х + х + 1) + х ,22265333х + х + х + х + 1 == (х + х + 1) · х + х + 1.Поскольку многочленh(x)б-ой степени не имеет делителей 3-й и меньших степеней , то он является веприводимым.Ответ: ВIF2 [х] справедливо разложение11f( x) == х + х + х + х + х + х + 1 ==223653== (х + х + 1) ( х + х + 1) (х + х + х + х + 1) .Задача2.23.98432Найти поле хараптеристипиром мпогочлепf(x) ==х3+х+2Е3,в пото IFз [x] распладываетс.я па липейпъtе мпо;;fсители.В даппом поле найти все порни данпого многочле на.2.
7.(IIIРешен и е.поток) Конечные поля1051. Найдём разложение многочленаf(x)нанеприводимые множители над 1Fз.• Ищем корни : f(O) == 2, f(1)П оскольку х - 2з х + 1, тоО.1, f(2)2f( x) == (х + 1 )(х + 2х + 2).2• Пробуем разложить многочлен g(x) == х + 2х+ 2:он не имеет корней в [F з, его сте пень == 2 ==> оннеприв одим .2• Окончательно: f( x) == (х + 1 )(х + 2х + 2) Е 1Fз[х] .2. Известно , что если g(x)- неприводимый многочлен степениn над [Fр, то он:• в поле своего расширения F == [FР [ х] 1(g (х)) раскладывается на n линейных множителей -g (х ) ==(х-а) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
