Г.З. Шарафутдинов, Е.Д. Мартынова - Поляризационно-оптический метод исследования напряжений (1125733), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

где - момент инерции поперечного сечения балки, – ее высота ( см). При чистом изгибе приведенные выше гипотезы, а, значит, и равенство (24) выполняются точно.

На рис. 6 изображена схема нагружения балки, средний участок которой находится в условиях чистого изгиба, , (а = 2см). В этой области напряжения, вычисленные по формуле (24), изменяются по линейному закону.

Рис. 6

Картина полос для некоторой части балки представлена на рис.7. Цифры справа от фотографии указывают порядок полосы. Так как на линии нулевого порядка главные напряжения совпадают, такой линией в данной задаче, очевидно, является ось балки: вдоль нее . На рис.8 представлена эпюра напряжений, вычисленных по основной формуле метода фотоупругости

(25)

Рис. 7 Рис. 8

Величины этих напряжений для построения эпюры отложены в масштабе на прямых, продолжающих полосы. Максимальная величина напряжения на контуре балки находится экстраполяцией прямой, проведенной через экспериментальные точки до пересечения с линиями, продолжающими контур. Эпюра найденных из эксперимента (в центральной части балки) напряжений подтверждает прямопропорциональную зависимость от , полученную в формуле (24).

По картине полос на рис.7 нетрудно видеть, что в локальной области, непосредственно примыкающей к месту приложения нагрузки (левая верхняя часть фотографии полос), распределение напряжений существенно отличается от имеющего место при чистом изгибе и определяемого формулой (24). Наблюдаемое вдали от этой области распределение напряжений, совпадающее с распределением при чистом изгибе, наглядно иллюстрирует принцип Сен-Венана, согласно которому вдали от области приложения нагрузки напряженное состояние в упругом теле определяется не конкретным способом приложения сил, а только их главным вектором и главным моментом. Два вида приложенной на краях балки нагрузки: пара сил, действующая в эксперименте, и распределение напряжений на торце, соответствующее теоретической формуле (24), -- являются, очевидно, статически эквивалентными при . Поэтому вдали от краев, в соответствии с принципом Сен-Венана, напряженное состояние в этих двух случаях должно совпадать, что и показывает картина полос. По картине полос можно также оценить размер области, внутри которой для нахождения напряжений нельзя заменять нагрузку на статически эквивалентную.

Приравнивая напряжения, полученные из эксперимента по формуле (25) и вычисленные по теоретической формуле (24) при , найдем величину силы Р, приложенной к балке

.

В этой формуле и надо брать, соответствующие одной и той же точке балки.

4.Одноосное растяжение плоского образца. Такой эксперимент является одним из наиболее распространенных видов тарировочных опытов в силу исключительно простой процедуры определения компонент тензора напряжений. Единственная отличная от нуля компонента тензора напряжений равна отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения. Вместе с тем легко вычисляется и при помощи метода фотоупругости. С этой целью в процессе растяжения подсчитывается количество затемнений m, возникших в центральной части образца. По формуле

определяется напряжение в рабочей части образца. Эксперименты на одноосное растяжение особенно удобны для реализации в автоматизированных системах научных исследований (АСНИ).

Определение компонент тензора напряжений в плоской модели. Описанный выше метод измерения напряжений позволяет найти направления главных осей тензора напряжений и разность его главных компонент. Для отыскания каждой из главных компонент в отдельности требуется дополнительное исследование.

Известно достаточно большое количество методов разделения напряжений. Эти методы можно условно разбить на две группы:

1) методы, требующие постановки дополнительных экспериментов;

2) методы, использующие дифференциальные уравнения теории упругости.

К первой группе относятся наклонное просвечивание, измерение поперечных деформации, метод электроаналогии и другие.

Способ наклонного просвечивания заключается в просвечивании модели под некоторым углом к ее поверхности. Если в некоторой точке модели измерить относительную разность хода при просвечивании ее по нормали к поверхности и под некоторым углом к нормали, то этого будет достаточно для определения компонент тензора напряжений в рассматриваемой точке.

Измерения поперечной деформации модели позволяют при помощи закона Гука найти сумму главных напряжений , поскольку в случае плоского напряженного состояния имеет место формула

,

где – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона. Для измерения деформации , применяются интерферометрические методы. При интерферометрических измерениях разность между порядками интерференционных полос до нагружения и при нагрузке характеризует изменение толщины модели. Следует отметить, что с помощью картин интерференционных полос можно определить величины деформации по всей исследуемой области.

Методом электроаналогии получают величины деформации , задавая на контуре листа токопроводящей бумаги, вырезанного по чертежу модели, разности потенциалов, соответствующие величинам деформации на контуре модели. Методы аналогии вообще базируется на формальном совпадении уравнений, описывающих разные физические явления, в данном случае, распределение электрического потенциала и суммы главных напряжений в плоской модели.

Из второй группы методов разделения напряжений наиболее известен метод разности касательных напряжений, связанный с численным интегрированием уравнений равновесия плоской задачи в различных системах координат.

В прямоугольной системе координат Х, Y уравнения равновесия плоской задачи (при отсутствии объемных сил) имеют вид

, . (26)

Интегрируя первое уравнение из системы (26) вдоль основного сечения – прямой, совпадающей с осью Х (рис. 8), получим

_,

Рис. 9

где – напряжение в начальной точке интегрирования.

Первый способ численного интегрирования уравнения равновесия связан с выбором основного сечения и одного дополнительного сечения . Такой способ требует меньшего объема экспериментальной информации и вполне пригоден для оценки напряженно – деформированного состояния вдоль выбранного сечения исследуемой модели. Однако более точен второй способ интегрирования, использующий два дополнительных сечения и . Рассмотрим его подробнее.

Проведем две вспомогательные прямые, параллельные ОХ. Приближенное значение в любой точке прямой можно получить, составив выражение

,

где – расстояние между дополнительными сечениями по вертикали. Напряжения с индексами I и II вычисляются на прямых I и II на одной вертикали. В рассматриваемом случае первое уравнение (26) заменим конечно-разностным уравнением, разрешая которое относительно сеточных значений , получим

,

где – постоянна, а величина выбирается произвольно, в зависимости от необходимой точности вычислений.

Величины касательных напряжений в точках прямой ОХ и на вспомогательных прямых (рис. 9) вычисляются по формуле [8]

.

При этом используются данные, получаемые поляризационно-оптическим методом.

Напряжение в начальной точке интегрирования обычно берется на свободном контуре модели, где

,

где в данном случае – угол, образованный осью X и касательной к контуру, – главное напряжение, действующее на площадке, нормаль к которой совпадает с касательной к контуру (нормальное напряжение на свободном контуре равно нулю). Последняя формула легко выводится из соотношений между компонентами тензора напряжений в системе координат X,Y и в главных осях [8]

,

,

.

Действительно, полагая в первом из них , получим искомое выражения для граничного значения напряжения .

Компонента тензора напряжения определяются по найденным значениям из выражения

.

С помощью метода разности касательных напряжений можно найти распределение напряжений вдоль любой прямой, параллельной одной из осей координат, а при увеличении числа сечений – во всей исследуемой области.

Ко второй группе методов разделения напряжений также относятся методы, использующие численное интегрирование уравнений равновесия вдоль одной из линий главных напряжений (метод Файлона), интегрирование уравнений Лапласа, уравнений совместности деформаций, и ряд других.

В качестве критерия правильности полученного решения задачи о распределении напряжений в исследуемой модели можно использовать интегральные условия равновесия части модели. Если мысленно отбросить часть модели и заменить ее действие системой найденных напряжений, то площадь эпюры этих напряжений для оставшейся части модели должна равняться приложенной к ней внешней нагрузке.

Характеристики

Список файлов книги