Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В $ 2.2 был приведен пример 2.2.3 нерегулярной задачи с ограничением типа равенств. Приведем пример такой задачи с ограничениями типа неравенств. Пример 6. Рассмотрим задачу 1(и) = — и - 1п1(и ~и У = [и ~ [Х,: у(и)= и'< 0)), где [Хо = (и ж Е'. 0< и<а), а>0— фиксированное число (возмоягпо, а = ). Здесь ХХ = (0) = ХХэ, Уэ = О, Ы(и, Л)= — Л,и+Ли', Ы.(и, Л)= — Л, + 2Ли.
Система (8) — (10) запишется в виде ( — Лэ+ 2Ли)(и — и))0 Ъ'ге= [О, а), Ли'= О, и(0, Л)0, Л)0, Л + Лз~о. Отсюда видно, что и = О. Тогда первое неравенство системы дает -Лов>0 при всех 0<э<а, что возмоясно только при -Ло > О. С другой стороны, Ло > О. Следовательно, Л,=О, т. е. рассматриваемая задача пе является регулярной.
В качестве множителей Лагранжа здесь можно взять Л=(0, Л) при лю- бом Л> О. 3. Доказательство теоремы 1. Проведем его с по- мощью принятого в [21, гл. 4, $ 2) метода, простого и очень изящного. Введем множество Хэ = (О 1(([<т, у,(иэ) = О[ но- меров активных в точке иэ ограничений (возможность 1 = 8 не исключается) . Определим множества А = [а=(а; аи [~ ХА, 'ат+и ..., а,): аэ = <Х'(иэ), и — и„); а; =(д;(иэ), и — и.„Л г~ Хэ, 1= и+ 1, ... э; ия г! ХХ,[, В= (Ь= (Ь; Ьь БАХ; Ь н, ..., Ь): Ь <О; Ью<0, [е— = 1~~ ь +, = о, ..., ь, =- о). Нетрудно видеть, что эти множества выпуклы.
злвмвнты Вьшуклого Анддлиза [гл. 4 Покажем, например, выпуклость А. Пусть ад=(а„; ае, $ ы ур; а +в, ..., а„) (1=1, 2) — две любые точки из А. Это значит, что сУЩествУют точки и„и,агд'Уо такие, что азт=(У'(ир), пд — и >, ап = (д;(ир), и; — ир)(д~7р, д = т+ 1... з, 1= =1, 2). Возьмем любое а~ [О, 1) и положим а =аа, +(1 — а)а„и„ =аи,+(1 — а)иь Из выпуклости г10, (см. теорему 1.11) следует, что и„дв и' 7У,. Далее, из линейности функций (Г (и ), и— — и,„), (д;(и ), и — и„) переменной и имеем (Г (а ), и„— и„,) = = а (У' (ир), и,— ир) + (1 — а) (.д" (и ), ид — и„,,'д = аащ+(1 — а) Х Р Хор, — — ср„; аналогично ~дд (ир), ив — ир) = аадд+(1 — а) адз — — ада (д = т+ 1, ..., г).
Это означает, что а диА. Выпуклость А доказана. Аналогично доказывается выпуклость В. Покажем, что А ЙВ = Яд. Возьмем несущее подпространство Ь=1шУ, множества П. (см. определение 1.3). Пусть е„ ер — базис подпространства Ь-д, ортогонального Ь. Тогда Ь = (й ди Е": (еь й> = О, д = 1, ..., р). Может оказаться, что Р' система векторов д +д(ир), ..., з,(ир), е„..., ер линейно зависима, т. е. существуют числа Л,„+„..., дд„адд ..., ар, не все равные нулю и такие, что ~.~д~.д~~.д(и ) +... + й,'д',(ир) + адед +... + арер — — О.
(15) Ф р Среди чисел й +„..., ь, найдутся отличные от нуля числа, так как в противном случае из (15) следовала бы линейная зависимость векторов ед, ..., ер. Кроме того, из (15) следует, что йд (бд(и„), й) = — „~~~ адд',ед, й) = О Уй~ д 1п6',. Но БшУ, = аНУ вЂ” ир, поэтому предыдущее равенство можно переписать в виде йд (д; (ир), и — и„,) = О дт и я д.д, с аП У,.
=-+д ' р Ф Отсюда следует, что набор чисел йэ = (йр — — О, йд= О, ..., )д = О )дт+д, ..., й ) удовлетворяет условиям (5) — (7). Таким образом, равенство А О В ~д можем доказывать, Ф предполагая, что система векторов д,+д(ир),, бд(ир) зм °" зр линейно независима. Болев того, можем считать, что эта система образует базис в Е", так как в противном случае дополним ее до базиса каким-либо способом; тогда р = и — р+ лд.
з 8! пРАВило множитклея лАРРАнскА 23( Допустим, что А 0 В Ф )2(. Это аначит, что найдется такая тОЧКа йснт( Уе Чтс аа = (Г (и ), и — и ) < 0; ас = (дс (ие), и — и / < О, с ен У„,; (16) ас = (бс (и„), и — и .) = О, Обозначим Ь = и — и; введем функции Яг, С)— = д +с(и +Сй+г) (с=1, ..., г — т), /;(г, С)= <е... г> (с=а — т+1, ..., и = р+ +г — т), /(г, С)=(1,(г, С), ..., 1 (г, С)) и рассмотрим систему п уравнении /,(г, С)= О, ..., /'„(г, 1)=0 (17) относительно и неизвестных г = (г„ ..., г„).
Для исследования системы (17) воспольауемся известной теоремой о неявных функциях [10, 160, 165, 233). Прежде всего заметим, что 1,(0, 0)= О, ..., /„(О, 0)= О. Далее, функции 1,(г, С) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (О, 0), причем с учетом (16) д/С(0, 0) , д/С (О, 0) = Фи+с (™е)1 с = (Ко+с (ие)т й) = 01 с=1,..., г — т; д/С (О, 0) д/С (О, 0) Таким образом, якобиан д(/о ..., У„)/д(г„..., г„) системы (17) в точке (О, 0), представляющий собой определитель квадратной матрицы д/(О, О)/дг со строками д,.+с (и„), ..., д, (ие), е„..., ею образующими базис в Е", отличен от нуля.
Все условия теоремы о неявных фунсщиях выполнены. Согласно этой теореме существуют непрерывно дифференцируемые функции г=г(С)=(г,(С), ..., г„(С)), определенные при всех С ((1! ( С,), где С. — достаточно малое положительное число, и удовлетворяющие системе г(0) = О, /(г(С), С) =— О, (1! ( 1,. Дифференцируя последнее тождество по 1, получаем д/(г(С), С), д/(г(С), С) г'(С)+ д, ' =0 ()С!<С,) Отсюда при 1=0 с учетом равенства д,' — — 0 будем иметь ' г' (0) = О. д/(О, 0) д/(О, 0) Однако матрица д/(О, О)/дг невырожденная, поэтому г'(О)= О.
Это значит, что г(С) = г(0)+ Сг'(0)+ о(С) = о(С), т. е. 1сснг(С)/С = С О О, Таким образом, найдена вектор-функция г(1)=(гс(1), ~гл. о 232 злвмвнты выпгклого анализа ..., г„(1) ) ([1! ( Со), для которой до(по + Х(и — ио) + г(о)) =О, о = т+ 1, ..., з, (си г(о)) = О, (18) 1 = 1, ..., р = и — з + т, ! З ! ~ 1„1[ш г (1)!1 = О с о Покажем, что по кривой и(1) = и„+ г(и — и„) + гЯ меж но двигаться, оставаясь в множестве ХХ при всех Ф, 0(Ф( со где 1, — достаточно малое число. Вторая группа равенств (18) означает, что г(г)~ Бш ХХ„поэтому й+г(о)го~ аН (Хо. Напоминаем, что йонг[ ХХ, а поскольку 1[шгЯ(с = О, то й+г(1)Дж о. о т ХХ, прп всех малых 1.
Тогда, учитывая выпуклость ХХ„имеем и (~) = ио + г (и — ио) + г (~) = 1(и + г (о)~1) + (1 — ~) ио ~ (Хо при всех малых о (О ( о ( 1) . Далее, первая группа равенств (18) означает, что я,(и(г)) = 0 (о = т+ 1, ..., з, О < о < Ь ) . Пусть 1 < 1 < т. Если 1 ен Хоо то д,. (и. ) = 0 и с учетом (16) имеем го (и (1)) = до (ио) + (йо (и ), а (и — и. ) + г(1)) + о; (г) = = о ~(д(и„), и — ио)+ (уо(и„), г(Е)/й) + о;Я/~1<0 при всех малых 1~0.
Если1фХо, 1<1<т, то «о(ио)<0 в в силу непрерывности я,(и) неравенство до(и(З)) = д,(ио + + о(и — ио) + г(о)) <О сохранится при всех малых Ф. Таким образом, существует достаточно малое число 1, (О (1, ( ( шш(й,; 1)) такое, что и(1)ов ХХ при всех г (0<1< 1,). Беря при необходимости ~, еще меньшим, с учетом (16) имеем Х (и ( с)) — Х (и ) = = о [(У' (и ), и — и ) + (Х' (и ), г(й)!1) + о(Ю)!С) < О, 0 <1 <1 . Однако иЯ-о.и при 1- 0 и и(1)жХХ (0(1(1) и последнее неравенство противоречит тому, что ио †точ локального минимума в задаче (1), (2).
Следовательно, А 0 В = И. По теореме 5.2 тогда существует гнперплоскость (с, а> = "[ с нормальным вектоРом с = (Л,; Ло, 1 ~ Х„,; Л,+н ..., Л ) чь О, отделЯющаЯ множества А и В, а также А и В = (Ь = (Ьо: Ьь 1 е- =Хо' Ь +н ..., Ь,): Ьо (~0; Ь; < О, 1 ен Х, Ь,о+о =О,..., Ь, = 0). Это значит, что а (с, Ь) = ЛоЬо+ ~2„'', Л~'Ь|+ ~ч", Л; Ьо<у<(с, а) = оно* о=та+1 в = Лоао+ Х Л";ао+ ~ Лоао (19) ое1 ° о о~+1 при всех ажА, ЬонВ. Я 81 пРАВилО множителеи лАРРАнжА 233 Разделив (19) почленно на Ь, < О, где у = 0 или 1 ~ 7е, и устремив Ь, — — при фиксированных остальных Ьо а, получим г.; ) 0 при у = 0 или 1ен 1е.
Далее, полагая в (19) а,= (.7' (и ), и — ие), аг= (уг(ие), и — ие) ((нн1е, 1= т+ 1, ..., 8), где ие а=г1 У„Ь = 0 гн тт, будем иметь Ле'(Х'(ие), и — ие,'г + ~ Х; (д; (ие), и — и ) + гоге + ~ Х; (бг(ие), и — ие))0 Чираг(Уо. 1 т+1 Отсюда, взяв Хг = 0 при 1 ф 1е, 1 < 1 < т, получим < Х,Х'(ие)+ ~~'„', Х;д;(ие), и — ие ~)0 чин= г15'з. 1=1 Для получения неравенства (6) здесь остается совершить предельные переходы с учетом того, что 77, =' Г, =гг У, (теорема 1 13).
Справедливость условий (5), (7) следует из определения множества уе, постРоениЯ Хе = (х,, А„..., А, ), включениЯ и ен (,г. 4. Заметим, что если функция 2'(и, Хе) переменной иге О', выпукла на У„то согласно теореме 2.3 из условия (6) следует, что Ы(и, Хе) достигает своей нижней грани на у, в точке ие, и условия (5) — (7) можно переписать в виде АеЧАО, Х,)0, ..., Л,"„)О, 2'(ие, Ае)(У(Ц Хе) т(и Я5то; (20) Х~д,(и ) = О, В 4 9 будет показано, что для выпуклых регулярных задач (1), (2) условия (20) являются необходимыми и достаточными условиями оптимальности.
Условия оптимальности (необходимые и достаточные), использующие вторые производные функции Лагранжа Б;(и, Х), рассмотрены в (21]. Различные обобщения и модификации правила множителей Лагранжа см. в 11, 2, 8, 17, 21, 24, 29, 66, 67, 91, 116, 137, 146, 152, 156, 166, 167, 201, 219, 254, 255, 264, 278, 283, 290, 299, 308, 330, 341).
У яр а ж н е н н я. 1. Сформулировать правило множителей Лагранжа для задачи д(и) -~ зпр (я ш (Г), где множество ст определено посредством (2). Указание: рассмотреть задачу 7(и) = — у(и)-ьш1 (язн(Г) н воспользоваться теоремой 1. 2. С помощью правила множителей Лагранжа исследовать задачи: а) 7(и) = з-~ш1 (я ш сГ), где сГ= (и = (л, у) ан Ез = сгс. аз+ уз < 1, за<у, я+у<0), нлн ()=(ягнят: аз+у'<1, я'+уз=1), нлн Гà — (я Нят Р+Уз<1 а<у<аз). 234 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА 0'Л.
Ь б) 7(п) = ) и — а [э-~ ш1 [-~ зпр) (и зв У), где У = (и — (п1, ..., пх) ев Е; а' + аз -)- ... + и" = О), плв У = (а зв Е~+. ) а (э ~ (1) (а — заданная точка из Е"); в) 7(а) = 2х-з + 4х'у з-+(в1 (а ж У = (а = (х, у) зв Еэ: х > О, у > О, х-4у~ ( Ц) г) 7(а) = а+ у-'э-и'-+1п1 (пзв У= (в = (х, у, з) ев Е'. х > О, у > О, э>О,х 'у+х 'э(1)). 3. Исследовать задачи из примеров и упражнений к 1 2.2, к гл. 3, пользуясь правилом множителей Лагранжа. 4. Доказать равносильность условий (13) для Уз =Е+ я (14) дла У, вз (3) условию (8).
5. Пусть в теореме 1 У,— аффиппое множество, Доказать, что тогда условие (8) равносильно условию (Ы„(а», Х*), Ь)=0 прп всех Ь ~и ).ш У,. 6. Пусть пе еэ У вЂ” точка локального минимума в задаче (1), (2). У, — выпУклое множество, ие ж 1пт Уэ; фУнкЦии 7(а), Ю(а), ..., Уа(а) дважды дпфферевцируемы в точке ае; функции у, (и) (1 ш 7ее = =(1: 1(1(э, уг(ае) =0)) непрерывно дифферевцвруемы в некоторой окрестности точки ае, причем градиенты у; (ае) (зш 7 „) линейно яеззввспмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
