Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 53
Текст из файла (страница 53)
15. Пусть функция У(и) сильно вйпукла на Е . Доказать, что для любого с ж Е" существует такая едянствевлая точка и(с) ы Е", что с ж дУ(и(с) ). Указ анке: рассмотреть точку мянямума функции д(и) =У(и)— — (с, и) на Е". 5 7. Равномерно выпуклые функции 1. Рассмотренный в з 3 класс сильно выпуклых функций обладает замечателы]ым свойством — для функций этого класса имеет место теорема 3.1. Однако этот подкласс выпуклых функций недостаточно широк н не содержит, например, такую выпуклую функци[о, как У(и) = и' (и ж Е'), которая, между прочим, достигает своей нижней грани на любом выпуклом замкнутом множестве из Е', причем в единствепяой точке.
Хотелось бы выделить такой подкласс выпуклых функций, для которого была бы верна теорема типа теоремы 3.1 и который был бы шире класса сильно выпуклых функций. Оказывается, таким классом является класс равномерно выпуклых функций. Определение 1.
Функцию У(и), определенную на выпуклом множестве (У, называют равномерно выпуклой на (У, если существует неотрицательная функция 6(1), определенная при всех 1(0<1<[)1аш(У= зпр (и — о)), 6(0)=0, 6(сс))0 при и,е П некотором 1, (О ( 1, ( йаш 1У) и такая, что У(аи+(1 — а)о)(аУ(и)+(1 — а)У(и) — а(1 — а)6()и — о() (1) при всех и, ож(У, аы[0, 1). Функцию 6(1) называют модулем выпуклости функции У(и) на 6[, а функцию р(1) = ]и !и аУ [и) + (1 — а) У [е) — У (сси+ [1 — а', и) О<и<] [и — е[=-[,и,ежп а (1 — сс) точным модулем выпуклости У(и) па (У. Коли равномерно выпуклая функция имеет модуль выпуклости 6(1)) 0 при всех С (0(1(с)[аш(У), то такую функцию называют строго равномерно выпуклой на (У (92). Очевидно, всякая сильно выпуклая функция является строго равномерно выпуклой с модулем 6(1)= к[*.
Сумма равномерно РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 219 6 7! выпуклой функции с модулем б(С) и выпуклой функции будет равномерно выпуклой с модулем 6(с). Если Х(и) равномерно выпукла с модулем б(с), то функция у(и)=сХ(и) при любом с = сопз1 > 0 также будет равномерно выпуклой о модулем сб(с). Если )ъ(с) — точный модуль выпуклости равномерно выпуклой функции Х(и) на сУ, то любая функция б(1)()ъ(С) (О( < С < Йащ (У) неотрицательная, нетождественно равная нулю, б(О) = О, будет модулем выпуклости функции Х(и) на У. Следующая теорема является обобщением теоремы ЗЛ. Теорема ъ. Пусть (У вЂ” выпуклое замкнутое множество из Е" (например, П=Е"), а функция Х(и) равномерно выпукла и полунепрерывна снизу на У.
Тогда; ъ) множество Лебези М(о) = (и: и зн (У, 3 (и) < Х(о) ) выпукло, замкнуто и ограничено при всех еж зХ; 2) Хв = 1пГ Х (и) ) — оо, Уз = (и: и сн ТХ, Х (и) = Хв) Ф Я; 3) имеет место неравенство 6(~и — и !)(Х(и) — Х(и ) (2) при всех иж (У, иняз'к; 4) если, кроме того, Х(и) строго равнолзерно выпукла на ТУ, то (Уз состоит из единственной точки ин и всякая минимизируюсцая последовательность (и,): (из) зм (У, )пп Х(иь) = Хн, сходится а з к тачке ин. Для доказательства этой теоремы нам понадобятся следующие две леммы о свойствах точного модуля выпуклости.
л е м м а 1, пусть и(с) — точный модуль выпуклости равномерно выпуклой функции У(и) на вынуклсл множества Г Тогда р (сс) > сзр (с) (3) длн всех с>1, с>О,О< ос <зйащ П. Доназа тельство. Сначала рассъютрнм случай 1(с < 2. По определению и(сО длн любого е > О существуют точки ии из за УУ н число а (О < а < 1) такие, что ! и, — из) = сс н р (сс) < сзУ (и ) + (1 — сз] Х(и ) — У(ии) < р (сс) + е, и (1 — а) где и„= пи| + (1 — а) из.
Отсюда имеем а1(и,) + (1 — а)1(и,) — 1(и„) (а(1 — а)р(сс) +а(1 — а)е. (4) Можем считать, что О (а(1/2, так как в противном случае в (4) точки и, н из можно поменять ролями. Тогда с учетом 1( с < 2 можем сназать, что О < а (ас < 1. Кроме того, 112 ( 1/с < 1, поэтому из = (1Ус)и| л- (1 — 1Ус)из ж П, причем ~из — из! = (из — из(/с = с.
Заметим также, что и =асиз+ (1 — ас)из. Тогда 1(из) ( (1)с)1(из) + (1 — 1Ус)1(из) — (1/с) (1 — 1)с)Сз(сс), 1(и ) (ас1(из) + (1 — ас)1(из) — ас(1 — ас)Сз(с). Сгл. а 220 элимннты ВыпуклОГО АнАлизА Умножим первое из зтих неравенств на ас и сложим со вторы . у тывая неравенство (4), получаем ас(1/с) (1 — 1/с))с(сс) + ас(1 — ас)р(С) ( ( а1(иь) + (ас — а)1(иг) — (1 — ас)1(и,) — 1(и„) = а/(и~) + (1 — а)!(иг) — 1(ио) ( а(1 — а)р(сг) -(- сс(1 — а)з или а(1 — 1/с)р(сс) + ас(1 — ас)р(с) (а(1 — а)сс(сс) +ос(1 сс)з Поскольку здесь е ) 0 — произвольное число, то можем е устремить к +О. Будем иметь ссс(1 — ас))с(с) ( (сс/с) (1 — ас)р(сс) нли с'р(с) ( р(сс).
Неравенство (3) для случая 1( с < 2 доказано. Пусть теперь с > 1— п произвольное число, 0(сс(йаш О. Поскольку Иш зт с = 1, то найдется Ь (1 ( Ь < 2) такое, что с = Ь" при некотором натуральном и > 1. учитывая, что по дакаэанному р(ЬС) > ЬССс(С), получаем р(сг) = р(Ь»С) сс(ь ° ь"-'с) > ь'р(ь"-'с) > ь!я(ь» — 'с) >... > ь' р(с) = сср(с).
Л ем и а 2. Пусть р(С) — точный модуль выпуклости равномерно выпуклой функции 1(и) ни выпуклом многсвстве О. Тогда: 1) р(С) = 0(Р) при С- +О; 2) р(С) 0 при 0 ( С < т = ш1(С: П(С) > 0), р(С) строго монотонна при С < С ( СИаШ 0; 3) если 6)аш 0-» со, то Пш р (С) = со. СД о к а з а т е л ь с т в о. Из определения 1 следует, что р(С,)» О при некотоРом сс (О ( сг < йаш О). поэтомУ 0 ( с < йаш О. если т > О, то )с(с) = 0 при 0 ( с < т по определению с.
пусть с < с < а < йасп О. тогда с помощью неравенства (3) имеем сс(и) = р((п/с)с) > (в/с)гсс(с) ) р(с) > О, т. е. р(С) строго монотонна при т ( С ( йаш О. Далее, если т > О, то условие р(С) =0(Р) при с- +О выполняется тривиально. поэтому пусть т = О. тогда, фиксируя какое-либо с, (О ( с, ( ( 61аш О), для всех 0 < с < с, имеем р(сг) = р((сг/с) с) > (сг/с)'р(с) или р(С)(р(С ) с /сз = сопэь с, Это и означает, что д(с) =0(Р) при с- +О. Наконец, пусть йаш 0-» оо.
Тогда р(С) определена при всех с > О. ПУсть С ~> Са ) т. ТогДа Р(С) = П(СД»)С») > (С/С,)'Сс(гг) = сопзь Р. Это значит, что р(с) - оо при с-» со со скоростью не медленнее, чем Р. Заметим, что иэ неравенства 0(6(С) ( р(С),справедливого для любого модуля выпуклости равномерно выпуклой функции, и из леммы 2 следует, что условие 6(с) = 0(с') при с-»+О является необходимым для того, чтобы некоторая функция 6(С) могла служить модулем выпуклости для какой- либо равномерно выпуклой функции.
Доказательство теоремы 1. Если множество П ограничено, замкнуто, т. е. 0 компактно„то утверждения 1), 2) теоремы следуют из теорем 2ЛЛ, 2.10, Остается рассмотреть случай, когда 0 — неограниченное МНОжЕСтВО. ТОГда йащ П- оо И тОЧНЫй МОдуЛЬ ВЫПуКЛОСтн р(С) фуНКцИИ 1(и) будет определен при всех С > О. Пусть сс > 0 и р(с,) > О. Возьмем проиввольную точку ош 0 и рассмотрим шар Я=Я(о,сс) =(и: иш0, (и — о) ((Сг). Из теоремы 2.1Л следует, что 1п1 1 (и) = 1» > — со, так что 8 1(и)~1 =1(о) — ъ, к=1(о) — л >О, (б) при всех ига Я.
Воаьмем произвольную точку и си 0 ~ Я, т. э. )и — о) ) Сс 6 7] РАВНОЫНРНО ВЬГИУКЛЫН ФУНКЦИИ 221 Тогда, учитывая доказанную в лемме 2 строгую монотонность р(]) при г ) т, имеем 0 ( аг = (]г(]о)/]г Ц и — о) ) ) пг ( 1. (6) При а = аг иэ (1) получаем а»1(и) ))1(о+а»(и — о)) — (1 — аг)1(о) + сгг(1 — аг)]г(]и — о]). (7) 1(и) ) 1(о) + (с(о), и — о) + б(]и — о]), (е(и) — е(о), и — ог) 26(]и — о]) (9) (10) при всех е(о) вм д1(о), е(и) гн д1(и) и всех и, ива П. Из (6) и леммы 1 следует р (1 ) = аз () и — о )) = азр ((1/сг ) а ) и — о])=п )]г(сг ) и — о)) или ]ь(Н) )~]г(ае)и — о!). В силу монотонности ]г(]) ато означает, что ао]и — о) (гг. Тогда о+а,(и — о) щЯ и согласно (5) 1(о+ аг(и — о)) ) 1(о) — т.
Учитывая эту оценку, из (7) имеем аг1(и) ) сг»1(о) — т+ аг(1 — ао)]г((и — о(). Отсюда, сокращая на аг ) 0 и вспоминая определение (6) величины а„ получаем 1(и) ) 1(о) + (1 — ао) ]г((и — и() — т/аг = =1(о) + И(]и — о]) — ]»И(]и — о() (]]р(]г) + т/г/р(гг))- Применяя к последнему слагаемому неравенство иЬ ( (иг+ Ьг)/2, будем иметь 1(и) ) 1(о) + р(/и — о))/2 — (ур(]г) + т/)]р(]г))г/2 (8) для всех и ~ П~ 8.
На самом деле, неравенство (8) имеет место для всех и щ К Действительно, если иеи Я, то р()и — о)) < р(]г), а тогда т ( (у]г(ге) + т/ур(гг))г/2 — р(]и — о()/2. Отсюда и из (5) следует справедливость (8) и для иеиЯ. для всех и щ М(о) иа (8) имеем ]г(]и — о])]л — (уй(гг) +т/»/]»(]г))г(/2 < <1(и) — 1(о) < О, т.
е, р(]и — о)) < (ур(]г) +т/]/]г(гг))г при любом и емМ(о). Поскольку ]г(г) -ьсо при ]-» ео и только в этом случае, то иэ последнего неравенства следует ограниченность множества М(о). Выпуклость М(о) следует из теоремы 2.10, а замкнутость М(о) — иэ леммы 2ЛЛ. Из теоремы 2Л.2 имеем, что 1в ) — о», 1/в чь ]Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
