Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Далее, А и  — выпуклые множества. По теореме 2 множества А и В отделимы, т. е. существует е = (еь ..., с ) а Е, не все е» равны нулю и (е, а) > (е, Ь) прн всех а»н А, Ь»нВ, или «» т / »и „)', (е»» а»)~ )~~ (е»,Ь») =(ь~ е»,а»»»а»кА», 1=0,1, ...,ж. (10) »=1 » 1 »=1 Положим ее = — (с»+... + с ), так что равенство (8) будет выполнено. Тогда неравенство (10) принимает вид ;~~ (е, а») > 0»»а»»н А, » = О, 1, ..., »и. (11) »=о Если в этом неравенстве эафиксируем какие-либо а» = а»»м А» при всех » = О, 1, ..., т, кроме » = ь, то получим (е „ а„) ~ — ~ч~~ (е», а») = сопэФ »Фа для всех ае»м Аы Следовательно, (е,,и) ~ уа = Вт( (еа,а) > — со »»и »и А,, Ь = 1, ...,ю, (12) аыла Положим 70 — (7»+ "+Ты).
(13) Тогда, переходя в (11) к нижней грани по всем а» »и А» (1 = 1, ..., тл), «» получаем (е, а ) + ч', 7» —— (е, а ) — у ~0 для каждого ае»нА», или »-1 (ео,и)2ву т»и»иА. Вса соотношения (7) — (9) получены. 202 ЭЛКМКНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА [ГЛ. Е При некоторых дополнительных ограничениях на множества А,, Ан ... ..., Л теорема 7 обратима. А именно, верна Теорема 8. Пусть Аы Аи ..., Ан — непустые выпуклые множества иг Е", пусть все гти множества, кроме, быть может, одного, открыты.
Тогда для того чтобы Ае Й А» ()... () А = З, необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы сг, с», ..., сн»=Е", не все равные нулю, и числа Тг, 7н ..., Тьь для которых выполнены соотношения (7) — (9). Доказательство. Необходимость доказана в теореме 7. Достаточность докажем, рассуждая от противного. Допустим, что условии (7) — (9) и выполнены, но тем не менее существует точка о»п () АО Поскольку не »=о все с» равны нулю, то из (8) вытекает существование по крайней мере двух векторов с», с» (»Ф /), отличных от нуля. По условию все множества Аг, Аь .,., Аеь кроме, быть может, одного, открыты.
Поэтому можем считать с» ~ О, А» — открытое множество, т. е. А» = 1пг А». Согласно условию (7) (с», и) > 7» при всех и ш Л». В силу теоремы 4 тогда (с», и) > 7» для всех и»НА» =ш1А». В частности, для точкп о»н () А с А» также имеем (с», о) > 7».
Кроме того, для всех остальных /=о т номеров / ~ » также о ш А» и з силу (7) <ся о) > 7». Сложим все эти неравенства. С учетом равепства (9) получим (сг, о) + (сь о)+... + (соь о) > > 7г+7, +...-)-7 =О, т. е. (со+с»+...+с, о) >О. Однако это невозможно в силу равенства (8). Полученное противоречие показывает, что () А» = кг.
1=-о Приведенное выше доказательство теоремы 7 принадлежит В. И. Плотникову. Оно привлекает своей простотой и тем, что позволяет убедиться в справедливости теоремы 7 и в бесконечномерных гильбертовых (и более общих) пространствах — ее доказательство при атом остается неизменным, нужно лип»ь уточнить ссылки на соответствующие теоремы отделимости в бесконечномерных пространствах. 4. С помощью теорем 7, 8 можно получить условия совместности или несовкестности систем неравенств (321, 324).
Приведем некоторые из них. Л ем ма 1. Пусть Л = (и»п Е: (е, и) ( (») — открытое полупространство, А = (и ш Е": (е, и) (р) — гамьтание А; здесь е»ыЕ (е чь 0), р»н К, Тогда для того чтобы линейная функуия (с, и) была ограничена снегу на А (или А), т. е. (с, и) > у> — со ч»и»н А (или ч»и ш А), (14) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число Х>0, что с = — )»е, 7 ( — Ед. (15) Доказательство.
В силу теоремы 1.9 ограниченность функции <с. и) на А следует из ее ограниченности на А, и наоборот. Поэтому лемму достаточно доказать для множества А. Необходимость. Пусть выполнено (14). Если с = О, то нз (14) следует, что 7 ( 0 и в (15) можно взять Л = О. Пусть с Ф О. Возьмем на/(с, е) кую-либо точку ив ш Л, (е, и,) =(». Прямая и» вЂ” — из+ 1~ — 'г е — с (1»н В) ~ (е(г (с, е) принадлежит А, так как (е, и ) = (е,и ) +» — 'з (е, е) — »(с, е) = е (е)з =(е, и ) = )» (»ш К).
В силу (14) (с, и»)=(с, и )+1 ' — (с) )~у о прп всех с»НК. Разделим это неравенство на» > 0 и перейдем к пределу прп г-ь со. Получим (с(г ( <с, е)г/(е)г. С другой стороны, в силу неравенст- отдклимость выпуклых множкств 203 ва Коши — Буняковского (с, е)'< )с)г)е('. Отсюда и яз предыдущего неравенства следует равенство ((с, е)) = )с( ° )е). Однако при с Ф О, е Ф 0 в неравенстве Коши — Буняковского равенство возможно лить тогда, когда векторы с, е коллинеарны, т. е. с = ае (а ~ 0), Покажем, что а < О. Возьмем луч о, = ио — юе (ю ) 0).
Поскольку (с, о»)=(е, ио) — ю)е(~= = р — ю)г)г < р при всех ю > О, то луч принадлежит А, Согласно (14) тогда 7 < (с, о») = (ае, о») = ар — аю) е(г (ю ) 0). Разделим это неравенство на ю ) 0 я перейдем к пределу при ю-ьсо, получим 0 < — а)с)г, что возможно только при а < О, Положим Л = — а, так что с= — Ле (Х ) 0).
Тогда <с, и> = — Л<е, и» вЂ” Хр при всех и»в А, причем при и = ио здесь достпгаетсл равенство. Следовательно, !пю (с, и) = — Хр. Переходя в ива (14) к ния»ней грани при и ш Л, получаем — Хр = !и! (с, и) ~ 7, т, е. ива 7 < — Хж Соотношения (15) получены. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполнены условия (15) . Тогда для любь»х и ш Л имеем (с, и) = — Х(е, и) > — Лд > 7, т.
е. выполняется неравенство (14). Теор ем а 9. Пусть ваданы открытые или вамкнутыс полупрострапства А»=(ишЕ": <е», и> <р,) или Л»=(ишЕо» <е», и><р») (»=О, 1, ..., тп); пусть Ао П А» П .. ° П Аы — — 8. Тогда необходимо существуют такие числа Хг, Х», ..., Хт, что о» »п тп Л )О, Х ))О, „,Л )О, ~з Лю)0, ~ Люе»=0, ~~Р~ Л»Р»<<0, (16) »=о »=о »=о Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку пересечение выпуклых множеств А„Аь .. ч А пусто, то согласно теореме 7 существуют векторы со, сь ... ..., с, не все равные нулю, и числа Тю, 7ь, 7вь для которых справедливы соотношения (7) — (9). Согласно лемме 1 условия (7) могут выполняться тогда и только тогда, когда с» = — Х»е», 40 < — Х»р» при некоторых Х» > > 0 (ю = О, 1, ..., тп).
Поскольку е» Ф 0 и не все с» равны нулю, то ве все Х» равны нулю. Далее, из (8) следуе~, что ~ Х»в; =О, а из (9) имеем »=о тв тп — Х»рю) ~~ ую =О. Все соотношения (16) получены. »=о '=о Теорема 10. Пусть А» = (и»вЕтс (вь и) <р») (»=1, ..., ш), а Аг = (и»в Етс (ег, и) < Рг) или Ав = (и»в Екк (ео, и) < Рг). Тогда длк того чтобы А= П А, = ЕЮ, необходимо и достаточно существования таких »=о чисел Хг, Л», ..., Лпь которые удовлетворяют соотноше»*иям (16). До к аз ат ель ство. Необходимость доказана в теореме 9. Достаточность докажем, как и в аналогичной теореме 8, рассуждая от противного. Пусть выполнены (16), но пусть тем не менее существует точка о»в А. Поскольку не все Л» равны нулю, е» Ф 0 (Ю = О, 1, ..., тп), то из условия ~~ Хюею — — 0 следует существование по крайней мере двух чисел Х», Лю ) 0 »=о (ю чь !).
Тогда либо ювь О, либо ю чь О. Для определенности пусть ю ) О. Из условия и ш Л тогда следует, что о »в Л», т. е. (е», и) < ры Для остальных 7 Ф ю имеем (е», и) < р» (впрочем, равенство здесь возможно лп»пь при ю = 0). Умножая зти неравенства на соответствующие Хю ) 0 и суммируя по ю = О, 1, ..., т, получаем ч", Лю(ею, и) =( ~ Хюею, он>< ~~ Л»р»(~ О, 204 ЭЛЕМЕНТЫ ВЬТПУКЛОГО АНАЛИЗА [гл. а что противоречит равенству ~ )»»е» —— О.
Следовательно, А = 91, что и тре» а бовалось доказать. Нетрудно видеть, что в теоремах 9, 10 говорится об условиях несовместности систем линейных неравенств вида (е», и) ( р» или (е», и) ( р». Например, из теоремы 10 следует, что для несовместности систем неравенств <е»,и)(р», е»ФО, »=0,1,...,к» (17) (в (17) одно из неравенств может быть нестрогим), необходимо и достаточно выполнения соотношений (16). Опираясь на теорему 10 и рассуждая от противного, нетрудно дока- вать следующий критерий совместности системы (17).
Теорема 11. Длх тово чтобы система неравенств (17) была совместной (или, иначе, пересечение множеств Ае, Аь ..., Аю иа теоремы 9 было ненустым), необходимо и достаточно, чтобы длх любых чисел Хе) О, Х» > '> О, ..., )ч» >О, не все ив которых равны нулю, ив равенства ~~ )»»е, =0 »=о следовало неРавенство ~~ йьи» > О. »=о 5. Нереформулируем теоремы 7, 8 для случая, когда Ае, А», ..., А являются выпуклыми конусами в Е". Определение 4. Конусом (с вершиной в нуле) называется множество К, содержащее вместе с любой своей точкой и и точки Хи при всех Х > О. Если множество К выпукло, то К называют вь»иуклым конусом, если К замкнуто — вамкнутым конусом, если К открыто — открытым конусом.
Рассмотрим множество К» = (с ш Е": (с, и> ~) 0»У и»и К). Это множество всегда непусто, так как Ош К». Далее, если с»н К». то для Хс при любом )ь > 0 имеем (Хс, и) = Л<с, и) > 0 для всех и шК, т. е. лс жК*. Следовательно, К» — конус. Оп р од ел ени е 5. Конус К*, определенный посредством (18), нааывается двойственным (сонркженным) конусом к конусу К (рис. 417).
Например, если К = (и»н Еоч <а, и) = 0) — гиперплоскосттч то К» = (сшЕ»» с=Ха, )»»иК); еслн К (ишЕ»: <а, и> (О) — замкнутое полупространство или К = (и ш Еоч (а, и) ч. О) — открытое полупространство, то К» = (с»и Етч с = — Ха, )» > 0); если К = Е", то К» = (О); есчи К = (0), то К» = Е"; если .;.,4;;, К=(ижЕ-: и~О), то К»='(сш С помощью двойственных конусов удобно переформулировать теор рему 7 для случая, когда множества Ае, Аь ..., А„являются конусами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
