Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть У(и) — выпуклая функция на выпуклом множестве Г пз Е". Доказать, что 1(и) удовлетворяет условию Лнпшссца на каждом ограниченном множестве 1', замыкание которого принадлежит г1 Г, 30. Пусть 1(и) — выпуклая функция на открытом выпуклом множестве И' из Е". Доказать, что У(и) почти всюду на Ис дифференцируема. 31. Пусть Гс — выпуклое замкнутое множество из Е", у(и) — выпуклая функция на Гв, Г = (и сн Гвс у(и) ( О), Пусть (сск) сн Гв, (у(иь) ) -«О. Можно ли утверждать. что (р(ив, Г))-«О? Рассмотреть пример Г, = (и = = (х, у) снЕ'. х>1), д(и) = ус)х, ис,— — (Ус, т«Ь) (Ус=1, 2, ...).
32. Пусть à — выпунлое замкнутое множество из Е, Х(и) — выпуклая непрерывная функция на Г, Ув> — «о, Г«Ф Ы. Пусть (йк) ш Г, (У (ик))« -«У„. Можно яи ожидать, что (р(иь, Гв))-«О? Рассмотреть пример Г = =(и=(х,У)снЕ«:х)1),У(и) =УУх, иь — — (У,а Ус) (Ь=1,2,...). 33. Функция У(и), определенная на выяуклом множестве Г, называется кввгивмкуклов на Г, если 1(аи+ (1 — а)к) ( шах(1(и); У(в)) прп всех и, к сн Г, а ш [О, 1).
Доказать, что У(и) кзазивыпукла на Г тогда и только тогда, когда множество дУ(и) = (и св Г; 1(и) с 1(к)) выпукло прп всех и ш Г (ср. с теоремой 10). 3 3. Сильно выпуклые функции 1. Непрерывная выпуклая функция на выпуклом замкнутом множестве может не достигать своей нижней грани на этом мноясестве. Например, если 1(и)=1/и, ХУ=(ишЕ«с и>1), то Хе= = пс(Х(и) = О,но 1(и)>0 при всех иш П. Однако можно выдео лить подкласс выпуклых функг1ий, для которых подобная ситуация невозможна. Определение 1.
Функция Х(и), определенная на выпуклом множестве П, называется сильно вьспуклой на (Х, если существует постоянная н ) 0 такая, что Х(аи+(1 — а) п) ~ ау(и)+(1 — а)Х(п) — а(1 — а) н[и — о[с (1) при всех и, оси (Х и всех а (0<а(1). Постоянную н называют постоянной сильной выпуклости функции Х(и) на множестве Г. Очевидно, сильно выпуклая на ХХ функция будет выпуклой и даже строго выпуклой на ХХ. Примером сильно выпуклой функ- 182 элеъ|кнты ВыпуклОГО Ан.ьлнзА ИГЛ.
Ь цпи на всем пространстве Е" может служить функция 1)(и)= <и, и> = )и~с, ишЕ". Для этой функции неравенство (1) превращается в тождественное равенство с постоянной х = 1: ~схи+(1 — а)о!'=а~иГ+(1 — а)1о~' — сс(1 — сс)',и — о(с (2) при всех и, ослЕ", а~(0, 1). Линейная функция г(и)= <с, и> выпукла на Е", но не сильно выпукла.
Упомянутая выше функция г(и)= 1/и при и > 1 выпукла, но не сильно выпукла прн и~~1. Нетрудно видеть, что сумма двух сильно выпуклых функций на выпуклом множестве П будет сильно выпуклой функцией на П с той же постоянной х. Если г(и) сильно выпукла на с,с с постоянной х, то у(и)= сХ(и) прп любом с =сопзс) 0 будет сильно выпуклом па П с постоянной сх. Теорема 1.
Пусть лсноскество П выпукло и залскнуто, а фусскция г(и) сильно выпукла и полунепрерывна снизу на ьс. Тогда: 1) множество Лебези с)Х(о) =(и: иск (с, Х(и) <г(о)) выпукло, сомкнуто и ограничено при всех вы П; 2) Х„=сп1г (и)) — со, .сснохсество сс'з == (1: и а= ст, У(и) =- = а'з) непуссто и, более того, состоит из единственной точки и„; 3) имеет Асесто неравенство х!и — и )г(г'(и) — г (ие) Зси ~ П; (3) 4) .сюбая ссиссизсизирующая последовательность (и„): и„си о', й= 1, 2, ..., 1пп г'(иь) = Хз, сходится к точке ив.
Сформулированная теорема является обобщением теоремы Вейерштрасса 2.1.1. В отличие от теоремы 2Л.1, здесь на функцию накладывается более жесткое ограничение, но зато от множества П не требуется ограниченности. В частности, в теореме 1 возможно П=Е'. Доказательство. Еслп множество П ограничено, замкнуто, т. е. 1,1 компактно, то все утверждения теоремы 1, кроме неравенства (3), следуют нз теорем 2Л.1, 2.10. Поэтому пусть П вЂ” неограниченное множество.
Возьмем произвольную точку оси <с н рассмотрим шар Я=Я(о, 1)= (и: иы П, си — и) ( 1). Из теоремы 2Л.1 следует, что 1п1с (и) = У,з) — со,так что г (сс) ~ )У,з = г' (о) — т 'сс и я Б, ч = Х (о) — Х,в ) О. (4) ь83 сильно выл клык етнкции з з1 Возьмем произвольную точку ия ИБ, т. е.
и~в У/, [и — о! > 1. Тогда 0<а,=1/[и — в! <1. (5) При а =а, из (1) получаем а /(и) ~ /(в+ а,(и — о) ) — (1 — а,)/(о)+ а,(1 — а,) х[и — в!'. (6) В силу (5) а,[и — о! =1, поэтому в+а,(и — в)~к Я. Согласно (4) тогда /(о+ а, (и — в) ) ) У(о) — т. Учитывая эту оценку, из (6) получаем а,/(и) ~ а0/(о) — т + а,(1 — а,) х[ и — о!'. Отсюда, сокращая на а, ) 0 п вспоминая определение (5) величины а„получаем /(и) > /(в) + (1 — а„) х ! и — в [' — т/и, = =/(и)+ х[и — о!' — ([и — о[Ух) (Ух+ т/Ух).
Применяя к последнему слагаемому неравенство аб ((а'+ Ь')/2, будем иметь /(и) )/(о)+ х[и — оР/2 — (Ух+ т/Ух)'/2 (7) для всех и~и ЮЯ. Нетрудно видеть, что неравенство (7) справедливо и при и~пЯ. В самом деле, если и~и Я, т. е. [и — в! <1, то т((ух+к/Ух)'/2 — х[и — о!'/2. Отсюда п из (4) следует справедливость (7) н для и ~в У/. Таким образом, неравенство (7) имеет место для всех и~ Г. Для любых и ~ М(в) из (7) следует х[и — о!'/2 — (Ух + т/Ух)'/2 < /(и) — Х(о) ( 0 пли /и — о ! ( 1 + т/х у/и е= М (о). Ограниченность М(о) доказана.
Выпуклость М(в) следует из теоремы 2ЛО, а замкнутость М(в) — из леммы 2.1.1. Из теоремы 2.1.2 имеем Хь) — со, //зФ Я. Поскольку сильно выпуклая функция строго выпукла, то в силу теоремы 21 множество Пь состоит пз единственной точки иь. Докажем неравенство (3). Учитывая, что /(ие)( /(и) прп всех ие У/, из (1) имеем 0(./(аи + (1 — а)и ) — Х(и„,) < (а(Х(и) — /(и )) — а(1 — а)х[и — изр, или а(1 — а)х[и— — из!а~(а(/(и) — /(ие)) при всех а~[0, 1! и и~и У/. Деля на а) 0 и устремляя а- +О, отсюда получаем неравенство (3). Наконец, пусть (иь) ~ г/, 11вт /(ид) = Хз.
Полагая в (3) и = ь м = и„, получаем х[иь — ие!'( /(иь) —,/,„(к = 1, 2, ...). Отсюда при й - следует, что [и„— ие [-ьО. ИГЛ. 4 элемкнты ВыпуклОГО АнАлизА 184 'чи, о я П, а ен (О, 1). (8) Зто значпт, что у(и) выпукла на П. Достаточность. Пусть функция у(и) выпукла на П, т. е. выполняется (8).
Сложив (8) с равенством (2), умноженным на х ) О, придем к неравенству (1). Зто значит, что г (и) сильно выпукла на П. Те о р е и а 2. Пусть П вЂ” выпуклое множество, 7(и) ~ С'(П). Тогда для того чтобы функция 3(и) была сильно выпуклой на П, необходилш и достаточно существования такой постоянной х) О, что Х(и))У(о) + (Х'(о), и — о) + х~и — о~в 'чи, У~И. (9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что для сильно выпуклой функции П(и)= ~и~' неравенство (9) превращается в легко проверяемое тождественное равенство с постоянной х = 1: ~и(г= )УР+(2о, и — о) + )и — о(г 1ги, оеи П. (10) Теперь нетрудно доказать, что условие (9) равносильно неравенству у (и) ) д (о) + (д' (о), и — о) 'ч'и, и ен Ог, (11) где д(и)=У(и) — х|и~', у'(и)= 7'(и) — 2хи.
В самом деле, если умножить равенство (10) на х и сложить с (11), то получим неравенство (9) . И обратно: вычитая из (9) равенство (10), умноженное на х, приходим к (11). Из равносильности неравенств (9) и (11), пз леммы 1 и теоремы 2.2 следует утверждение теоремы. Замечание 1. При выполнении условий теоремы 1 утверждение о о'в) — со, Печь Ы остается верным для любого замкнутого (необязательно выпуклого) подмножества И' ': — П— это следует из замкнутости и ограниченности М(о)=(и: и~ Ит, 3(и)( г(о)) и теоремы 2 1.2.
2. Укажем критерии сильной выпуклости для гладких функций, аналогичные теоремам 2.2, 2.4, 2.5. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма 1. Пусть П вЂ” выпуклое мнозгество. Функция г(и) сильно выпукла на П с постоянной сильной выпуклости х) 0 тогда и только тогда, когда функция у(и)=Х(и) — х~и~' выпукла на П.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция г'(и) сильно выпукла на П, т. е. выполнено неравенство (1). Умножим равенство (2) на х ) 0 и почленно вычтем получившееся равенство из (1). Будем иметь неравенство, которое с помощью функции д(и) можно записать в виде д(аи + (1 — а) о)(ад(и) + (1 — а) д(о) сильно выпгклыв функции !88 а з1 Т е о р е м а 3.
Пусть П вЂ” выпуклое множество, г (и) ~ С'(П). Тогда для сильной выпуклости функции г(и) на П необходимо и достаточно существования такой постоянной и>0, что <Г(и) — Х'(о), и — о>)у[и — о[', 1ви, ое:-С'. (!2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что неравенство (12) равносильно неравенству (д'(и) — у'(о), и — о>) 0 1з'и, о ~ П для функции д(и)=г(и) — к[и[', где к = р/2. Отсюда и из леммы 1, теоремы 2.4 следует утверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
