Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Направление е — возможное в точке и„, так как из+ Сещ(/ при всех с(0(с(( =]и — иа], (о ) О). Из условия (15) тогда имеем /'(+О) ) О, где /(() = Х (и, + (е). 174 ЭЛЕЫЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛНЗА !ГЛ. Ь Ниже в теоРеме 13 бУдет показано, что Х(С) выпУкла на [О, Сс]. Из неРавенства (1.8.5) тогда следует, что Х(с) — НО) > ф(+0) С или Х(С) ) Х(0) при всех Х гы [О, Са].
В частности, при С = С„= ) и — и ] отсюда имеем Х (и) ~~ Х (и ), что и требовалось. В частности, если в точке ив сУществУет гРадиект Х'(ие), то ДлЯ е = = (и — и )!) и — и„] (и ж Н, и Ф ие) согласно формуле (14) имеем Х(иь))бе= <Х'(ие), и — ие)/] и — иь], и в атом случае условие (!5) превращается в условие (5). Таким образом, теорема 12 является обобщенном теоремы 3 на существенно более широкий класс функций.
Более того, условие (15) является наиболее естественным для класса выпуклых функций. Дело в том, что, оказывается, всякая выпуклая функция в любой внутренней точке множества имеет производные по всем направленияы. Зто вытекает пз следующих двух теорем. Т е о р е м а 13. Пусть П вЂ” выпуклое множество, функция Х(и) определена ка (Х. Для того чтобы Х(и) была выпуклой на (Х, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки и гм (Х и любого воглгожного направления е в точке и функция Х(С) = Х(и+Се) одной переменной С была выпукла на отрезке [а, Ь], где а = !п![С: и+ Се ги (Х), Ь = зпр(С: и+ Се г= Ц (ясно, что а (О ( Ь; если и+ ос ко (Х или и+ Ье Ф (Х, то функцию у(С) не слгду ет расслтотривать соответственно при С = а или С = Ь).
Доказательство. Необходимость. Пусть Х(и) выпукла на (Х. Возьмем произвольную точку и ги (Х, какое-либо возможное направление е в этой точке и составим функцию Х(с) = Х(и+ се) (а < С < Ь). Пусть Сь С, — пРоизвольные точки из [а, Ь] н и щ[0, 1]. ТогДа Х(иг, + (1 — п)СС) = = Х(а(и+ Пе) + (1 — и) (и+ С е)) < аХ(и+ Сре) + (1 — а)Х(и+ с е) = = а((С,) + (1 — а)Х(гг), что и требовалось.
Д о с т а то ч нос та. Пусть для всех и ги (Х н всех возможных направлений е в точке и функция Х(С) = Х(и+ Се) выпукла на соответствугощем отрезке [а, Ь]. Возьмем любые точки и, о щ Н и положим е = о — и — это возможное направление в точке и, так как и+ с(о — и) ги (Х прн 0 < с < !. Тогда нз выпуклости Х(с) = Х(и+ Се) получим Х(его+ (1 — сс)и) = Х(и) = = Х(а 1+ (1 — а) 0) < аХ(!) + (1 — а)Х(0) = аХ(о) + (! — а)Х(и) прп всех и щ [О, 1]. Теорема 14.
Пусть (Х вЂ” выпуклое многсество, функция Х(и) выпукла ка (Х. Тогда в любой точке и щ Н (Х функция Х(и) имеет ггроигводные по всем направлениям е щ Е!и (Х. В частности, если 1и! П чь кХ, то в точке и ги щ !пг (Х существуют производные фуню!ии Х(и) по всем направлени м е щ гы Е", [е] = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем каков-либо направление е щ ги !.!п(Х ()е] = 1) н точку и ги Н (Х.
Согласно определению 1.10 существует е-окрестность 0(и, е) = (о щ Е": ]о — и] < е) точка и такая, что пересечение 0(и, е) () аН (С целиком принадлежит (Х. Учитывая, что — е также принадлежит !.ш П, можем сказать, что и+ Се щ (Х длч всех С ([С] < С„ 0 < Сг ( е). Зто значит, что функция Х(С) = Х(и+ Се) определена на отрезке [ — Сс, С,] п согласно теореме 13 она выпукла на этом отрезке.
Поскольку с = 0 — внутренняя точка отрезка [ — С„С,], то по теореме 1.8.2 существует , (,) „„, Х(С) — Х(0) Н„Х(и+ ) — ХОП дХ() СЦО С СОО С де Если и щ (С 'г Н Н, то в такой точке у выпуклой функции производные по возможным направлениям могут п не существовать — об этои свидетельствует пример 1.8.2. 9. Прнвсдсиный выше пример 0 показывает, что существование производных по всем направлениям не гарантирует непрерывности функции. Но для выпуклых функций такая ситуация, оказывается, невозможна. 175 9 2) ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ Т е о р е м а 15. Пусть множество у выпукло и !и! У Ф 8, Тогда выпуклая функция 7(и) во всех внутренних точках множества (! непрерывна.
П частности, функция, выпуклая на всем пространстве Е", непрерывна во всех точках. Доказательство. Возьмем произвольные и«!п((7 и е>0. По определению внутренней точки существует число 6 > 0 такое, что и+ + й «У, и+ пй»е»»н У для всех й = (й»... й"), (й) < 67п; здесь е» = = (О, О, 1, О, ..., 0) (» = 1, ..., п) — базис в Е". Поскольку по теореме 14 функция 7(и) в точке и имеет производные по направлениям е», то она непрерывна в этой точке по направлениям е» (» = 1, ..., и).
Поэтому можно взять число 6 столь малым, чтобы (7(и+ пй»е») — 7(и)) < е нрп нсех Ь ((й) ( 67п, » = 1, ..., п). Тогда, пользуясь неравенством (2), получаем ( — ~~ (л (и + пй»е») — Х (и)) < е (16) »=1 для всех й ((й( ( 6,'и). В частности, для — Ь, удовлетворяющих неравенству ~ — й( < 67п, пз (16) следует 7(и — й) — 7(и) ( е.
По в силу выпуклости 7(и) вмеем 7(и) = 7((и+ й)72+ (и — !»)72) <(!(и+ й)+7(и — й))72, поэтому 7(и) — 7(и+ й) < 7(и — й) — 7(и) < з. Отсюда и из (16) следует )7(и+ й) — 7(и) ) ( е п)»и всех Ь ((Ь( ( 67п). Заметим, что если шг У = »о, то, рассмзтрквая лишь точки пз аН У, аналогично можно доказать непрерывность выпуклой на У функции во всех точках и «г! У.
В качестве базиса (е»), участвующего в доьазательстве, в этом случае нужно взять базис надпространства Е!и 65 В точках и « «У»»г! У выпуклая функция может терпеть разрыв — об этом говорит пример 1.8сй 10. Рассмотрпм выпуклые функции на выпуклом множестве (7, принадлежащие классу С" (Щ (см.
определение 2.3.3), т. е. гладкие выпуклыо функции, градиент которых удовлетворяет условию ) !'(и) — !'(о) ((Ь (и — о) Ь»и, о «!», Е = сопз!) О. (17] Для таких функций пмеют место неравенства О < (У'(»») — !' (о), и — о>( ! ( и — о( Ь»и, о«(!. (!8) В самом деле, левое неравенство следует из теоремы 4, а правое — из условия (17). Оказывается, эти два неравенства можно записать в виде одного равносильного неравенства (29), полностью характеризующего класс выпуклых функций из С" (У) с данной постоянной А > О. Теорем а 16. Пусть У вЂ” выпуклое множес~во иг Е". Для того чтобы функция 7(и) ив класса С»((») была выпуклой и удовлетворяла условию (17) с постоянной Тч необходимо и достаточно, чтобы ) г" (и) — !'(о)) (Е(У'(и) — л'(и), и — о) Уи, о«('.
(!9) Пв (19) следует неравенство 1 <! (и) — Х (о), о — и»г( 4 ь ( и — »о)~ ч'и, о, и»»н П. (20) Доказательство. Достаточность. Если выполняется неравенство (19), то из него, во-первых, следует, что (!'(и) — !'(о), и — о) > 0 (и, о «У), и выпуклость 7(и) гарантируется теоремой 4, и, во-вторых, применяя к правой части (19) неравенство Коши — Буняковского н деля на !ГЛ.
4 176 ЭЛЕМЕНТЫ НЫНУНЛОГО АНАЛИЗА [1'(и) — 1'(и) [, получаем условие (17). Из выпуклости 1(и) и условна (17) имеем неравенства (18). Таким обрааом, из (19) следует (18). Кроме того, из (19) имеем (Х' (и) — Х' (и), и — ю> = (1' (и) — Х' (и), и — ю) — (Х' (и) — Х' (и), и — и)~ < (Х'(и) — Х (и), и — и) — й [Х' (и) — Х'(с) [з = — ~ Ь г)з (Х' (и) — Х (и))— з 2 (и )[+4 [и [~4 (и [ Неравенство (20) установлено. Необходимость. Пусть функция 1(и) выпукла и удовлетворяет условию (17). Тогда, как было показано выше, справедливы неравенства (18). Остается нз (18) получить (19).
Сначала рассмотрим случай, когда !и! У = ю н 1(и) зи С'(У). Тогда 0 < (Х" (и) т, $) < Ь [$ [ Уи зи У (2!) при асех 3шЕ". В самом деле, из неравенств (18) с помощью формулы (2.3.4) в случае и ш !и! У имеем 0 < (Л(и+ зз) — 1(и), ей) = ет(1" (и+ Оз$) $, 2) < Ц $ [тзт или 0 < (1"(и+ Ое$)з, 3) <Ь[$[з (О< 0 <1) для всех з ([е[ < ев е, > 0). Отсюда при е — ~-+О получим (21) для точек и зи !из У. Если и ш ~ю Гр У, то оценка (21) доказывается с помощью предельного перехода от внутренних точек так же, как это делалось при доказательстве теоремы 5. Далее, пользуясь формулой (2.3.5), имеем 1 Х" (и + Ь) — Х' (и) = АЬ, А = ') Х" (и+ гй) Аг, Ь = и — и.
(22) е Разумеется, матрица А зависит от и, и, но эту зависимость мы для краткости не будем явно указывать. Согласно (21) 0 < (1" (и+ гй)$, 3) < Ь[$[т (О < ! < 1), откуда, интегрируя по д получаем 0 < (Аф, 3) < Ь[Ц[т, $ шЕ". (23) Таким образом, симметричная матрица А неотрицательно определена. Тогда существует симметричная неотрицательво определенная матрица А'" такая, что (Апг)' = А [93, 164!. Пользуясь оценкой (23) при $ = Антй, с помощью формул (22) имеем [1'(и) — 1'(и) [з = (Ай, Ай) = (ААп'й, Ап'Ь) < а[Аней[' = = Ь(АЬ, Ь) = Ь(1'(и) — 1'(и), и — и). Неравенство (!9) доказано при дополнительных предположениях 1п! У Ф Я и 1(и) ш С'(У). Наметим схему доказательства для случая, когда !и! У Ф !И, но 1(и) ш ш С'(У).
11остроим последовательность функций (Хь(и)) (и ш У) и последовательность (Уь) строго внутренних и выпуклых подмножеств множества У таких, что У= О Уь, УьшУь ~ (Ь = 1, 2, ...). Для всех Ь)1 и лиг всех т > Ь Функция 1 (и) выпукла на Уь, 1 (и) зн С'(Уь), ~ Хю (и)— — Х' (и) ~(С[и — и[ для любых и, ишУЬ, Нш 1 (и) = Х (и), Нш 1' (и)= Ь ги а ю = 1'(и) при всех иш Уь. В силу доказанного тогда ~Х,(и) — Х,(и) ~ ~ К Ь (Х (и) — Х (и), и — и) прн всех и, и ш Уь и всех ж ) й, Отсюда при ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 177 й 21 гп - оо получим неравенство (19) на множестве ХХ». Далее, при й - оо убеждаемся в справедливости (19) для всех и, о ~ ш1 ХХ. Наконец, для граничных точек множества П неравенство (19) доказывается с помощью предельного перехода от внутренних точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
