Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Нак построить упомянутые последовательности (ХХ») и (Х»(и))7 В качестве (Н») может быть взята последовательность подмножеств всех внутренних точек множества П, удаленных от границы П на расстояние не менее чем Зб», где )пп б» = О, 6» > 6»ы > 0 (й = 1, 2, ...). В качестве Х»(и) могут бьиь взяты средние функции Стеклова — Соболева (233), например, Х» (и) = ~ Х (ы) ы» (ы — и) ди, ю„(и) = Ь„"н 'ы (( и ( б~ '), Еп где ы(г) = ехр( — !/(1 — г')) прп (г) ( 1, ы(г) = 0 прп (г( > 1, н = 1 = ) ю(г) дг и функция Х(и) вне Н доопределена тоткдественным нулем. — 1 Если ш1 ХХ = Я, то аналогичные построения надо провести в и' ХХ. 11. Остановимся на одном замечательном свойстве выпуклых множеств, задаваемых ограничениями у(и) (с, где у(и) — выпуклая функция. Теор ем а 17.
ХХусть ХХ» — непустое вььпуклое замкнутое множество ив Е", функцил у(и) выпукла и полунепрерыена снизу на (Гр, пусть ЛХ(с) = (и: и еи (Хв, у(и) < с). уезда длн ограниченности множества ЛХ(с) при каждо»» с необзодимо и достаточно, чтобы при некотором а множество М(а) бь»ло непустым и озраниченным. Доказательств о. Необходимость. Она очевидна. Достаточность. Пусть М(а) чь Я и зто множество ограничено. Поскольку М(с) с М(а) при всех с < а, то М(с) ограничено при всех с ( а (пустое множество ограничено по определению).
Остается рассмотреть случай с > а. Предположим, что при некотором с > а множество М(с) не ограничено. Заметим, что ЛХ(с) выпукло и аамкнуто, что следует из леммы 2Л.1 и теоремы 10. Покажем, что существует вектор е Ф 0 такой, что и + Ге щ М(с) при всех 1 > 0 и всех и щ М(с) (такое направление, задаваемое вектором е, принято называть рецессивным направлением неограниченного выпуклого множества). Поскольку множество ЛХ(с) не ограничено по предположению, то существует последовательность (и») щ ЛХ(с) такая, что ) и»( -» оо при й -» со. Возьмем какую-либо точку й»ИМ(с) и построим вектор е» = (и» вЂ” й) р( л( (и» вЂ” й( ' (/с = 1, 2, ...). По теореме Больцано — Вейерштрасса нз последовательности (е») можно выбрать подпоследовательность (в»,„], сходящуюся к некоторому вектору е ()е) = 1). Возьмем произвольное с ( О.
Поскольку 0 < 1Х(и» вЂ” и( < 1 при всех й > йс, то в силу выпуклости М(с) имеем Х с и+Се,=,, и + 1 —, -~ ищМ(с), й>й. Ото»ода при й -» со получим й+ ге тп ЛХ(с), так как ЛХ(с) замкнуто. В силу произвольности 1 > 0 заключаем, что й+ »е с ЛХ(с) прп всех 1 > О.
Теперь возьмем лтооую точку и щ ЛХ(с) и покажем, что и+ ге щ М(с) прп кахсдом 1> О. По доказанному й+ де щМ(с) (р >0). В силу выпуклости М(с) тогда 1 — Х 1'1 — (и+ ре)+ 1 — — и= и+ге+ щ М(с) С (и — и) Р )» )» (ГЛ. 4 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА 178 при всех р ) С. Отсюда при р -».оо с учетом замкнутости дХ(е) получим и+ Се е М(с) прп каждом С > О. Зафиксируем какую-либо точку о гн М(а) с М(с).
В силу построения вектора е тогда о+ се ш м(е) (с > 0). по условию множество дх(а) ограничено, поэтому луч (о+ Се, С) 0) пересекает границу выпуклого множества М(а) в некоторой точке, или, точнее говоря, найдется число = епр(Сс о+ Се я М(а)) такое, что о+ Се тодХ(а) при всех С > Сг. Это значпт, что о+ се си х/е, но с ~ )б(о+ се) ) а ) д(о) для всех с ) се. ЗафИКСИРУЕМ КаКОЕ-ЛИбО С ) Св.
ТОГДа, ПОЛЬЗУЯСЬ ПРЕДСтаВЛЕНИЕМ о+се=Л~о+ е)+(1 — Л)о, 0<Л<1, Л Х(и)>)и — ие) е +Х» чтифЯе, Хя Хе Л (24) еде Х я — — ш1 Х(и))Хе, Грдв=(ишйв»; (и — иг»С=Л). ижгрд, Д о к аз ат ель ство. Возьмем лсобую точку и~ Ее. Поскольку и — ие В Л о=и +В и+~1— ив ш ГрЯв, )и — и ( )и — ие( '4 (и — и (/ то с учетом выпуклости Х(и) имеем Х сс(Х(о)( Х(и)+(1— В Л )Х(и ). (;и — и ) )и — ив) Отсюда сразу получаем требуемое неравенство (24). Согласно теореме 15 функция Х(и) непрерывна на Е", и в силу теоремы 2лй1 на замкнутом ограниченном множестве Гр Я она достигает своей нижней грани хотя бы в одной точке.
Отсюда и из того, что замкнутые множества Х/е н Грув не пересекаются, следует, что Х„к) Х . Тогда из оценки (24) имеем, что 11ш Х(и) = оо. Си)-» Отметим, что для функции Х(и) = ) и) (и ш Е') неравенство (24) превращается в тождественное равенство. Это значит, что оценка (24) на классе выпуклых функций является точной. и выпуклостью функции б(и), имеем б(о+ се) ( Лд(о+ (с/Л)е) + +(1 — ).)д(е), или д(о+ (С/Л)е)) (б(о+ се) — д(о))/Л+д(о) (О < Л <1).
Поскольку б(о+ се) ) д(о), то при Л -е+ 0 отсюда получим б(о+(С/Л) е)- ео. Тогда найдется число Ле > 0 такое, что б(о+ (С/Л)е) ) с при всех Л (О ( Л ( Лс). С другой стороны, по построению вектора е имеем о+ + (С/Л)е шМ(е) пли д(о+ (С/Л)е) ( с при всех Л (О < Л < 1). Полученное противоречие доказывает теорему. Отметим, что требование полунепрерывностп снизу функции в теореме 17 существенно (см. ниже упражнение 21).
12. Наконец, получим оценку снизу скорости роста выпуклой функции для случая, когда множество точек ее минииума ограничено. Теорема 18. Пусть Х(и) — выпуклая функция на Х/= Е", Хв = = )п(Х (и) > — со, П„= (и ем ЕЯ: Х (и) = Хеген й», причем Х/е — ограниЕп пенное многкеевв, т. е. ери/еетврет такое числе Л ) О, что Пе с Я = 1и гн Е"с ) и — и„) < Л), где ие — какая-либо фиксированная точка иг П Тогда 1!ш Х (и) = оо и, более того, верна оценка Сч) 179 ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦЫ11 й 2) Некоторые другие свойства выпуклых функций н множеств будут рас- смотрены ниже. Упражнения. 1.
При каких а, Ь, с функция У(и) = ах'+ 2Ьху+ + суз переменных и = (х, у) ш Е' будет выпуклой на Ет? Вогнутой па Ет? 2, Найти области выпуклости и вогнутостп функций 1(и) = = э(п (х+ у+ х), 1(и) = гбп(хт+ ут+ зт), 3. При каких?8 у функция 1(и) = х" уа будет выпуклой (или вогнутой) на множестве (? = (и = (х, у) ш ЕВ х ) О, у > 0)? Аналогичное исследо- вание провести для функции У(и) = х"у'ху на (Х = (и = (х, у, х): х ) О, у>0, х)0).
4. Если функция У(и) выпукла, то будет ли выпуклой функция (1(и) (? 5. Если функция 1(г) выпунла на Е, а А — матрица размера т Х п, то функция у(и) = У(Аи) выпукла на Е". Доказать. 6. Если У1(и), Хт(и) выпуклы, то будет лн их произведение выпуклой функцией? Рассмотреть приыер У1(и) = и, Хт(и) = ид Что изменится, если от функций 1,(и), Хт(и) потребовать неотрицательпостп? Или монотон- ности? ?.
Пусть функции Ха(и) выпунлы на выпуклом множестве (У прн всех й = О, 1, ... и пусть сузцествует предел )пп У (и) = У(и) пли сходится вряд ~ Уа(и) =У(и) прп всех иш(Х. Доказать, что функция 1(и) выа=.о пунла на П. 8. Выяснить, когда в неравенстве (2) возможно равенство, если У(и)— строго выпуклая функция. 9. Доказать неравенства: Я1— а) )?х ...а < — (х +...+х„,), х >О, ...,х„,)0; Указание: воспользоваться неравенством (2) для выпуклых функ- ций 1(и) = — )пи (и ) 0); 1(и) = и" (и>0, и>1); 1(и) = и ' (и > 0).
Выяснить, при наких условиях в этих неравенствах возможно равенство. 10. Пусть функция 1(и) (и ш Е") такова, что У(пи+ (1 — а) о) ( < оХ(и) + (1 — а)1(и) прп всех и, и ш Е", а ш В. Проверить, что аффпнная функция Х(и) = (а, и) + Ь (а ш Е", Ь ш Е') удовлетворяет этому неравен- ству. Существуют лп другие функции, обладающие этим свойством? 11, Для того чтобы функция 1(и) была строго выпуклой на выпуклом множестве (У, необходимо п достаточно выполнения неравенства (4) (а в случае 1(и) ш С'(и) — неравенства (6)), которое может обратиться в равен- ство лишь при и = и. Доказать. 12. Доказать, что если (Х вЂ” выпуклое множество, 1(и) ш Ст((У) п не- равенство (8) является строгш| при всех $ ш Ьйп (Х ($ чь 0), то функция 1(и) строго выпукла на (?.
Верно лп обратное утверждение? Рассмотреть пример 1(и) = и' (и зн Е'). 13. Пусть (У вЂ” выпуклое множество, функция 1(и) выпукла на (Х, 1(и) ш С'(П). Доказать, что тогда критерий оптимальности (5) равносилен неравенству (У' (и), и — и ) > 0 пря всех и ш (Х. 14. Пусть 1(и) — выпуклая функция ва выпуклом множестве (у, 1(и) ш ш С'(Г) и Уа = ш(У (и) > — со. Доказать, что длн того чтобы некоторая и последовательность (иь) ш (? была мпнимпзпру|ощей, т. е. )пп У (иа) = У„, ь необходимо и достаточно выполнения условия )пп (У'(и„), и — и 1>0 ь прк всех и ш (? (ср.
с теоремой 3) 180 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА [ГЛ. Ь 15. Пусть строго выпуклая функция Х(и) достигает на Е" своей нижней грани. Доказать, что тогда Нш з (и) = с». (и(-«ю У к а з а н и е: воспользоваться теоремами 1, 18. 16. Пусть функция 1(и) выпукча и полунепрерывна снизу на выпуклом замкнутом множестве (Г из Е", «'» > — с», (Г» нн Я, причем (7» ш Я» = = (и ш (Г: ) и — и«) < Е), где и« вЂ” какая-либо фиксированная точка пз (7». Тогда У (и) ) ( и — и«) " + з Уи ш (7, и ф 5 у,п Е где «' л — — (п( Х (и) ) з«, Гр Я» = (и ш (7: ( и — и ( = Е). Домазать, польГрн« зуясь схемой доказательства теоремы 18.
17. Выпуклая функция, отличная от постоянной, может достигать своей верхней грани на выпуклом множестве лишь в его граничных точках. До- кааать. 18. Для того чтобы функция р(и, (7) = ш( ) и — и) была выпуклой «ап па Е", необходимо н достаточно, чтобы вамыкание множества ГГ было вы- пуклым. Доказать. 19. Пусть (à — ограниченное множество из Е". Доказать, что функция б(с, 77) = зпр (с, и> переменной с ш Е", называемая опорной 1бункцией имп множества (7, выпукла на Е". 20.
Пусть (à — выпуклое множество иа Е", 0 ш (п1(7. Доказать, что функция р(и, П) = (п1 а, А„= (а: а) О, и/аш(7), называемая функаыяи сией Минковского, выпукла на Е". 21. Пусть 77 = (и= (х, у): х» О, у) 0) = Е+. Показать, что функция у(и) = у, х>0, у>0 илп 0<к<1, у=О, у=О, выпукла и полунепрерывна сверху, но не является полунепрерывной снизу на 77» Убедиться, что множество М(с) = (и ш (7», у(и) < с) ограничено прн с = 0 и не ограничено прп всех с > 0 (ср. с теоремой 17). Показать, что М(с) нс замкнуто прн каждом с ) О.
22. множество (г, = (и же": р(и) < с, 1 = 1, ..., ю), где р(и) — выпуклая функция па Е", будет ограничено при любых с тогда и только тогда, когда 77. ограничено хотя бы при одном значении с = с,. Доказать. 23. Пусть П вЂ” неограниченное замкнутое множество из Е". Доиазатгн что: 1] для любой точки и ш (7 существует ненулевой вектор е такой, что луч (и = к+ Се, Г ) 0) ш (7; 2) если луч (и = и+ ге, с >0) зн 77 при некотором иш(7, то луч (и = м+ се, с ) О) ш 77 при всех ю ш Гг. Показать, что требование замкнутости 77 существенно для обоих утверждений, рассмотрев множество Гг = (и = (х, у): 0 < х < 1) () ((О, 0) ).
У к а з а н и е: воспользоваться рассуждениями из доказательства теоремы 17. 24. Доказать, что функция )х )у, у~О, (О, у=О, выпукла на множестве П = (и = (х, у): у ) 0) () ((О, 0)) и полунепрерывна снизу на (7. Убедиться, что 1(и) не является полунепрерывной сверху в точке ис = (О, 0), и, более того, показать, что для любого числа А ) 0 сильно выпь клык еункции 3 з) 181 существует такая последовательность (ив) сн Г, (ик) -«О, что )пп 1(иь) = ь = А. 25. Пусть Г = (и св Е«п Аи ( Ь) — многогранное множество, функция 1(и) выпукла на Г. Доказать, что 1(и) полунепрерывна сверху на Г. 26.
Пусть функция 1(и) выпукла и ограничена сверху на Е+ —— =(и=(ит, ..., и") ы Е"; и ) О, ..., й>0). Доказать, что У(и) монотонна и не возрастает на Е" по каждой переменной. 27. Доказать, что если выпуклая функция У(и) на Е" ограничена сверху, то 1(и) постоянна. 28. Пусть 1(и) — выпуклая дифференцируемая функция на открытом выпуклом множестве И' из Е". Доказать, что тогда градиент 1'(и) = = (дХ(и)/дис, ..., д1(и)/ди") непрерывен на Ис. 29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
