Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Это значит, что экстремум функции Х(и) при ограничениях (18) может достигаться лишь в точках Р, и и,. Матрица вторых производных функции Лагранжа в найденных точках (гэ Л,), (Г„Л,) соответственно имеет вид с т!ио)е 9 1 1 — т(ио)е о о ги() и / — 2))' ~ о — га(/ и (+ 1) Отсюда ясно, что при )и,! >1 в точках Р, =(и,/!и,(, О) достигается локальный м2п2имум, а в точке Р, =( — и,/!и,1, О) — локальный максимум при ограничениях (18). Исключив переменную ю, отсюда получаем, что и,=и./(и,~ — точка локального минимума У(и) на единичном шаре, а и, = — и,/! и,! — точка локального максимума. Используя теорему 11, как и в примере 2, нетрудно убедиться, что в действительности в этих точках достигается глобальный минимум и соответственно глобальный максимум функции Х(и) на единичном шаре. Таким образом, искомой точкой будет иэ = из прп !из)~~1 и иэ = из/) и,( при )и,)>1.
Мы еще не раз будем возвращаться к задаче поиска экстремума функций при ограничениях типа (6), (16); в частности, в 9 4.8, 4.9 с других позиций будут получены необходимые и достаточные условия минимума, также использующие множители Лагранлза. В заключение заметим, что изложенный выше классический метод исследования задач на условный и безусловный экстремум может быть широко использован во всех тех случаях, когда достаточно просто удается выявить все подозрительные на экстремум точки и отобрать пз них точки локального минимума и максимума. Однако, как и в случае функции одной переменной, классический метод, к сожалению, имеет весьма ограниченное применение.
В общем случае отыскание точек, подозрительных на экстремум, из условий (5) или (10) само по себе представляет весьма серьезную задачу, сравнимую по трудности, быть может, с исходной задачей па экстремум. Дело осложняется также и тем, что в практических задачах иногда бывает непросто выписать даже сами системы уравнений (5) или (10), так как не всегда ясно, существуют ли требуемые для этого ПРЕДНАРПТЕЛЬНЫЕ СБЕДЕНПЯ »Гл. 3 производные и как их вычислить. Из сказанного ясно, что кро- ме классического метода необходимы также и другие численные методы поиска экстремумов функций многих переменных.
Уп р а ж н си п я. 1. Найти экстреыуыы функций: а) 1(и) = (х + у — 1)ехр( — (х' — ху + у')), где и = (х, у) ш Е»; б) 1(и) = ху'з'(1 — х — 2у — Зз), где и = (х, у, з) »= Е', 2. Найти точки экстремума функция 1(и) = зш(х+ у) — ып х — з»п у па ыпои»естве П, если: а] ()=Е» б) (»=(и=(х, у):х>0, у>О,х+у<2и).
3. Найти точки экстремума функций 1(и) = х+ у, 1(и) = [х[+ + [у — 1[, 1(и) = х'+ 2уз на множествах (», если; а) (» = (и = (х, у): 0 < х < 1, 0 < у < 1); б) (» = (и = (х, у): х > О, »1 > О, ах + Ьу = 1), где а, Ь вЂ” неотрица- тельные числа; в) (» = (и = (х, у): х — у»1 > О, х»+ у»1 < 1); г) (» = (и = (х, у]: х" — 4хэ+ 4хэ+ 1 - у < 1). У к а э а н и е: на плоскости нарисовать графики функций 1(и) = с для различных значений постоянной с (лпнпй уровня]. 4. Среди всех вписанных в данный круг радиуса Е треугольников най- ти тот.
площадь которого наибольшал. 5. Из всех параллелепипедов, име»ощпх ребра данной длилы, найти параллелепипед наибольшего объема. 6. Среди треугольных пирамид с данным основанием и высотой най- ти ту, которая имеет наименьшую боковую поверхность. 7. Пусть 6 = й(и„..., и ) — определитель матрицы (и», ..., и ), столбцами которой являются вектор-столбцы и» с координатам (и», ..., и» 1 (» = 1, ..., и). Найти панбольшее и наимепыпее аначелие величины опре- делителя»1 прп условии, что [и»[ = ао где ໠— заданные числа (» = 1, ... ..., и). Доказать неравенство лдаь»ара [й| < [и,[ ° ...
[и [. Дать геомет- рическую интерпретацию аадачн при п = 2, 3 (ср. с упрая»нениеы 5) ([165, ч. 1, с. 554 — 557)). 6. Найти наименьшее и наибольшее значение квадратичной форыы п У(и) = (Аи, и) = У а» и»и» прн условии и»п (» = (и; и»и Е", (и, и) »А=-1 = 1), где А — симметрпчпал матрица. Показать, что У» =ш!пУ (и) н У» = и =шахУ(и) представляют собой соответственно наименьшее и наибольшее и собственное число матрицы А ([164, с. 209]).
9. В множестве (» = (и: и»и Е", (с, и) = 1) или (? = (и: и ш Е", (с, и) < 1), где с — заданлый вектор из Е, найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до т данных точек и», ..., и шЕ" была бы мнпи- мальиой (ср. с аадачами иа примеров 1, 2, 4), 10. Может лп функция двух переменных па плосиости иметь беско- нечяо много точек локального ыинимума и ни одной точки локального мак- симуыа? Рассмотреть фупкцию 1(и) = хе" — (1+ е*)соз у. 11. Пусть в некоторой точке и» = (х», 1»»)»и Е' функция 1(и) пере- менных и = (х, у) имеет локальный минимум вдоль каждой прямой, про- ходящей через точку иь Можно ли утверждать, что в точке иэ реалиауется локальный мппиыуы функции 1(и]? Рассмотреть фуницню 1(и) = = (х — у') (2х — у') в точке и» = (О, 0).
12. Доказать, что если функция 1(и) имеет первые частные производ- ные, непрерывные в окрестности точки а, то 1(и) дифференцируема в точ- ке и. На примере функции 1(и) = ~ху[»»» (и = (х, у), и = (О, 0)) показать, что одно ллшь существование частпых производных в точке э еще не га- рантирует ее дифферепцпруеыость в этой точке. 01 Вспомоглткьтьные пггдложгния 13.
Доказать. что если и — точна локального минимума (максимума) дважды дяф4ьергнцььрузььой функции 1(и) на всем пространстве Е", то необходимо <1" (и) )ь, й> ) 0 (< 0) при всех )ь ьн Е". 14. Доказать, что если и„— точка локального минимума (ььаясямума) дважды дяффереяцяруемой функции 1(и) при ограничениях (6), а Л = (Л, Л, ..., Л",') — соответствующие множители Лагранжа, определенные из системы (10), причем Лз — 1, то Лх.'ии(и„Л~) Ь, Ъ) )О [(0) для всех 10 удовлетворяющих условиям (13) (ср. с условиями (13)).
15. Применять метод множятелей Лагранжа для поиска экстремума функцяя 1(и) = х па множестве У = (и = (х, у) ж Е'. хи+ у' = 0), где р, д — гатуральные числа. Вььььснять, при каких у, д задача является вырожденной в точках экстремума. 16, Применить метод множителей Лагранжа для поиска экстремума 1(и) = х яа множествах (1 = (и = (х, у) ж Е'. у — хььь = О), И = = (и: х)0, у — хььь=О). 17. Пусть 1(и) = х, (1 = (и = (х, у) ы Е'ь уь(и) = хь — у = О, уь(и) = = хь+ у = О, гь(и) = х = 0). Показать, что для точки минимума из = = (О, О) множителями Лагранжа Л = (Л„Ль, Ль Ль) ьюгут быть точки Ль = (О, 1, — 1, 0), Л, = (1, О, О, — 1), а также точки ахь+ рх„где а, р— любые действительные числа.
5 3. Вспомогательные предложения Ниже крпводнтся некоторые формулы и различные другие сведения, которые будут использованы в дальнейшем при описаьгпи п исследовании методов минимизация. 1. Е(ачнем с того, что введем классы функцпй Сь(У), С'(У).
Определение 1. Функцию 1(и) называют непрерывно диффервнь)ирувмой или гладкой на множестве У ж Е", если У(и) дифференцируема во всех точках и ~ У и, кроме того, (У'(и+ Ь)— — 1'(и) ! - О при (Ь( — О для всех и, и+Ььи К Множество таких функций принято обозначать через Сь(У). Определение 2. Функцию У(и) называют дважды непрерывно диьуьфврвнь)иругмой или дважды гладкой на множестве (1 якЕ", если Х(и) дважды дифференцируема во всех точках и ж У и У" (и+ Ь) — У" (и))) — О при 1Ь| — О для всех и, и+ Ь я ьн К Множество двалсды гладких на Еь функций обозначают через С'(У).
В определении 2 () А ~, '= зпр ) Ав ) — норма матрицы А. Заме- (и иь тим, что в определениях 2А, 2.2 требуется, чтобы дифференцируемая в точке функция была определена в неноторой окрестности этой точки, причем радиус е ) О атой окрестности может зависеть от рассматриваемой точки, самой функции и моькет быть очень малым. Зто значит, что если У(и)жСь(У) или 1(и) ж Сь(У), то либо множество У открыто, либо функция 1(и) определена на открытом множестве, содержащем Г Зто обстоятельство мы всегда будем подразумевать, говоря о классах функций Сь(У), С'(У). 92 ~гл. 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Возьмем какую-либо функцию Х(и), определенную на мномоестве 1Х ж Е".
Пусть точки и, и+ Ь ж У таковы, что Ь Ф О, и+2йоиУ при всех 2 (0<2<1>. Тогда можно рассматривать функцию одной переменной >(2)=Х(и+2Ь) при се[0, 1). Оказывается, если Х(и) ~ Со((Х) при р = 1 или р = 2, то Яс) ои ~ С [О, 1), причем 1'(1)= <Х'(и+ 2Ь), Ь>, )" (1)= <Х" (и+2Ь)й, й>, 0 < 2<1. (1) В самом деле, если, например, Х(и)~ С*(У), то, заменив в формуле (2.3) и на и+ 2Ь, Ь на 111Ь, получим 1(2+ Ьс) — 1(1) = Л2<Х'(и+ 2Ь), й>+ + —, (Ло)о <Х" (и + 2Й) й, Ь> + о([111[2). Такое разложение означает, что 1(2)ое С'[О, 1[, и указывает на справедливость формул (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
