Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 20
Текст из файла (страница 20)
п(и)— ько ближайшая к и точка из У. Доказательство. Пусть и — произвольная точка из Е". Рассмотрим функцию у(ю)= ~по — и~ переменной 1сжЕ". Ясно, что д(ю) непрерывна на Е'. Кроме того, д(ю)>!ю! — !и1, так Чта 1(П1 д(Ш) = сс. ТаКИМ ОбраЗОМ, у(ш) удОВЛЕтВОряЕт уСЛО- м1-~м виям теоремы 3 на любом непустом замкнутом множестве П вЂ” Е". Существование искомой точки о=о(и) теперь следует непосредствегшо из теоремы 3. Заметим, что такая точка о(и), вообще говоря, неединственна.
6. В заключение кратно остановимся на задаче максимиза- ции функции Х(и) на множестве П. Так как зпрХ(и) = — (п(( — Х(и)), о и а !! постАновкА звдАчи миниыизАции 77 то ясно, что любая точка максимума или любая максимизирующая последовательность для з(и) на У будет соответственно точкой минимума или минимизирующей последовательностью для функции ( — з(и)) на (7. Это значит, что любая задача максимизации функции з (и) на У равносильна задаче минимизации функции (-з (и)) на том же множестве У. Поэтому можно ограничиться изучением лишь задач минимизации. Предлагаем читателю, пользуясь указанной связью менгду задачами минимизации и максимизации, по аналогии с п.
2 сформулировать задачи максимизации первого и второго типов. Далее, учитывая, что полунепрерывность сверху функции Х(и) равносильна полунепрерывности снизу функции — з(и), нетрудно сформулировать и доказать аналоги теорем 1 — 3 для задач максимизации. У и р а нг н е и и и. !.
Вылепить, будет ли произвольная мипимизирую- щаи последовательность сходитьси к множеству точек минимума функции 7(и] па множестве Ь1, если: а) Г = (и = (х, у) еЕг, з ) О у ) О, х+ 2У < Ц, 7(з) = х -1- у; б] Е = Е", 7(и) = (и((1+ )з(т)-', в] 0 = Е" Х(и) = (и(Е 2. пусть множество (гз точек минимума функции 1(и) на (1 непусто и ограничено. Доказать, что дли сходимости любой минимизирующей после- довательности (иь) к Еа необходимо и достаточно, чтобы существовало чи- сло а ) О такое, что мнозкество Мо=(ьк и~к 11, з (и] < з"а+ а] ограни- чено.
3. Доказать следующие свойства верхнего и нижнего пределов число- вых последовательностей: а] 1пп са„= с 1пп а„, 1пп са„= с 1пп а„, 1!щ ( — са„) = — с П, а„, о>» з~» о ~ о ~ о» з 1пп ( — са„) = — с 1пп а„дли любых с = сопз! ) О; о-~» о» б) если аз< Ь (о = 1, 2,...), то 1пп а„< 1пп Ь„, 1пп а„< 1!щ Ь„; о, о и з» в) 1пп а„+ 1пп Ьз~ (1пп (а„+ Ьз) ~ (1пп л„+ 1!п1 Ьз. РассмотРеть о з» з» о» о пример а = ( — !)", Ь„= ( — !)" или Ь„= ( — !) "ы и убедиться, что здесь возможны строгие неравенства; г) 1пп а„+ 1пп Ь„~ 1пп (а„+ Ь„) < 1пп а„+ 1пп Ь„.
Привести приз с з» меры последовательностей, когда здесь возможны строгие неравенства; д) если существует 1!щ а„, то 1пп (з„+ Ь„) = 1пв а„+ 1пп Ь„, й» о о» о 1!щ (а„+ Ь„) = 1пп а„+ 1!т Ь„; о» п з»» е) если аз) О, Ьз> О (о = 1, 2, ...), то 1пп а„1пп Ьз< 1пп аозз~ о з < 1пп аз 1!щ Ь„; !пп а„1пп Ь„< 1пп а„Ь„< 1пп а„1!гв Ь„. Привез, о~о о, з» п а» з стп примеры последовательностей, когда здесь возможны строгие не- равенства; 78 пгкдвагпткльнын свкдвнпя !ГЛ. 2 ж) если а ) О, Ь,) 0 (и = 1, 2, ...) и существует 1пп а„, то 1пп а„Ь„= 1пп а„1шг Ь„, 1пп (а„Ь„) = 1!пг а„1пп Ь„.
и и и г и-не 4, Найтп верхний и ннжпнй пределы последовательности а, = и!и иа, где и — фиксированное число. 5, Пусть 1(и) = (1 — е '"')-' (и чь 0). Наг» надо доопределгжь зту функ- цию прн и = О, чтобы она стала полупепрерывной снизу нлн сверху на Е' = Н? б. Пусть У,(и], Уг(и] — две функции, полунепрерывные снизу па мно- жестве (У. Будут лп полунспрерывными снизу на (У следующие функцпн. а) 1(и) = а~У~(и) +а,У,(и) (рассмотреть случаи положительных и от- рнцательных оь аг); б] 1(и) = щ!п(У~(и); Уг(и)); в) У(и) = гоах(1~(и); Уг(и)); г) 1(и) = ~1~ (и) )? 7.
Пусть функция 1(и) определена на множестве (Г. говорят. что чнс- ло А является пиленим (еерхиигл! пределои отой фуикцгш в точке и по множоству П, и обозначают 1пп У(и) = А [1!ж У(и) = А, еслн: — ], и е ! а) для любой последовательностн (иг) ~ ГУ, сходвщейса к и, пмеот ме- сто неравенство 1пп У(и,)) А ( 1пп У(и,)( А~; ее [Ь б) существует последовательность (иг) еп (г, сходящаяеч к и и такав, что 1пп У (и,) = А, ь Доказать, что функция 1(и) полунспрерывна спнзу (сверху) в точке и, еслп 1!яг У(и) ) У (и) )1!Гя У (и]( (У (е)[.
[и е 8. Пусть (Г = Е", 1(и) = з!п(п)и) ') прн и Ф 0 и У(0) = а. ПГн ка. кнх а зта фувкцпя будет полупепрерывна снизу нлп сверху на П? Найти 1пп У(и), !пп У(и). Что взмолятся, если (Г = (и: ]и] = и — ', п = 1, 2, ...)? йз 9. Показать, что понятна верхнего н нижнего предела функция в точ- ке обладают свойствамп, аналогичными свойствам верхнего н нижнего предела числовых пе~следовательностейг, прпведепных в упражнения 3. й 2. хьлассичеекийг метод г(ак и в гл. 1, под классическим методом будеы подразумевать тот подход к поиску точек экстремума функции многих переменных (т.
е. точек локального минимума п максимума— см. определения 11.6, 1.1.10), который основан па днфферепциалыгом исчислении и обычно излагается в учебниках по математическому анализу !10, 160, 165, 233). Мы здесь лишь вкратце остановимся на этом методе. 1. Сначала напомним некоторые понятия и факты пз дифференциального исчисления функций многих переменных. Определение 1.
Пусть функция У(и) определена в некоторой е-окрестностп 0(и, е)=(ш пжЕ", (п — и) (е) точки и. Говорят, что функция У(и) дифференг(ируема в точке и, если существует вектор У'(и)енЕ' такой, что приращение функции клАссическиЙ метод 79 М(и) = Х(и+ Ь) — Х(и) (!Ь! ( з) можно представить в виде ггХ(и) = <Х (и), Ь>+ о(Ь, и), (1) где о(Ь, и) — величина, бесконечно малая более высокого порядка, чем ]Ь|, т.
е. 11пт о(11, и)]й! ' = О. Величина г(Х(и) ~~-в = <Х'(и), Ь> представляет главную линейную относительно Ь часть прпрагцения (1) и называется дифференциалом функции Х(и) в точке и, а вектор Х'(и) — ерадиентолг этой функции в точке и.
Условие (1) однозначно определяет градиент Х'(и), причем Х' (и) = (Х 1(и),..., Х „(и)), (2) где д«<и) . «(и+ аг;) — «(и) Х„г(и) = —, = 1нп диг а и есть частная производная функции Х(и) в точке и по переменной и', ег=(0, ..., О, 1, О, ..., О) — единичный вектор, у которого г-я координата равна 1, остальные координаты равны пулю. Всякая функции, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке. Для определения дважды дифференцируемой функции нам понадобится понятие квадратичной формы.
Напоминаем, что квадратичной формой называют функцию ~г ациги' переменных и=1 и=(и', ..., и")~Е, которая однозначно определяется заданием симметричной числовой матрицы А = ° = (ац] размера и, называемой матрицей квадратичной формы. Обознап чая через Аи вектор-столбец с координатами (Аи) = ~~ агги« г %~ 1=1 (1= 1, ..., п), квадратичную форму можно кратко записать в виде <Аи, и>. Определение 2. Пусть функция Х(и) определена в некоторой е-окрестности точки и. Говорят, что эта функция дважды дифференцируема в точке и, если наряду с градиентом Х'(и) существует симметричная матрица Х" (и) порядка п><п такая, что приращение функции в точке и можно представить в виде Х(и+Ь) — Х(и) <Х'(и), Ь>+(1/2)<Х" (и)Ь, Ь>+а(й, и), (3) где а(Ь, и)/]Ь]1- 0 при ]Ь! — О.
Квадратичную форму Иг«(и) <Х" (и)Ь, Ь> переменной Ь= =(Ьг, ..., Ь")гнЕ" называют вторым дифференциалом функции (гл. з ПРЯДВАРПТКЛЬНЫВ СВЕДЕНПЯ ье 1(и) в точке и, а матрицу 1" (и) — второй производной атой функции в точке и. Условием (3) матрица 1и (н) определяется однозначно, причем д У (и) д У (и) ди ди ди дии д У(и) д"У(и) (ди ) ди дии дэУ (и) (ди ) дУ(и] ди ди = [1~1„7 (и)1, (4) д У(и) дУ(и) д У(и] дииди дииди (ди") где 1 1; (и) = —. = —.
( —.) =- —. ( —,) — вторые частные д .У (и) д <дУ (и)) д 1дУ (и]1 ди1ди] ди1 ди) диз ди1 производные функции 1(и) по переменным и', й. 2. Пусть функция 1(и) диффоренцируема во всех точках пространства Е". Тогда точками локального минимума или максимума функции 1(и) на Е" могут быть лишь те точки о, в которых 1'(о)= О, что в силу (2) можно записать в виде системы уравнений — =О, ди' (5) 1 = 1, ..., П. Все точки о, удовлетворяющие системе (5), пааываются стационарными тонн ми функции 1(и).
Таким образом, поиск точек экстремума можно начинать с решения системы (5) и определения стационарных точек. Однако, к сожалению, пе всякая стационарная точка представляет собой точку локального минимума или максимума. Поэтому после нахождения стационарных точек проводят дополнительное исследование, и из них отбирают те точки, которые в самом деле являются точками экстремума.
Если функция 1(и) дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки и все вторые частные производные этой функции непрерывны в этой точке, то для такого исследования можно использовать второй дифференциал функции. А именно, если в стационарной точке о квадратичная форма о'1(о)= <1" (о)Ь, Ы положительно определена, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
