Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Предлагаем читателю доказать, что функция У(и) полунепрерывна снизу [сверху( в точке о ~и У тогда и только тогда, если для любого е > 0 существует б > 0 такое, что для всех и дн (и: и ш - =У, [и — о[ < б) справедливо неравенство У(и)>У(и) — е [Х(и)< < У(о)+ е).
Нетрудно убедиться, что функция непрерывна в точке и тогда и только тогда, когда она в этой точке полунепрерывна и снизу, и сверху. Пример 1. Пусть У=(и: ишЕ", [и[ < 1) — и-мерный единичный шар; пусть Х(и)= (и[ при 0<!и! <1 и з(0)=а. Тогда при а < 0 функция з (и) будет полунепрерывна снизу на У; при а > 0 — полунепрерывна сверху на У; при а = 0 — непрерывна на У. Пример 2. Пусть У=(и: ишЕ', — 1< и < 1); з(и) и при 0<и<1; Х(и)=1 — и ( — 1<и<0); У(0)=а. Нетрудно видеть, что при а < 0 эта функция полунепрерывна снизу на У; при а > 1 — полунепрерывна сверху на У, а при 0 <а < 1 в точке и=О опа не будет полунепрерывной ни снизу, ни сверху. П р и м е р 3.
Пусть и = (х, у) ш Е'; Х(и) = х'+ у' при х > О, у>0; У(и)=0 при х<0, у>0; У(и)=1 при х>0, у<0; г О постлновкл 3АдАчи минизпюзлции 73 г(и) = — 1 прн х < О, у < О. Нетрудно показать, что зта функция на множестве (7, = ((х, у): х > О, у > 0) непрерывна; на ьт, = = ( (х, у): у > 0) полунепрерывна снизу; на (7, = ((х, у): х < 0) полунепрерывна сверху; на (7, = ((х, у): х > 0) в некоторых точках полунепрерывна снизу, в некоторых — сверху. Установим связь между свойством полунепрерывности снизу функции и замкнутостью множеств М(с)=(и: игн(7, г(и)<с), с=сонг(, называемых множествами Лебега функции г'(и) на множестве (7. Л е м м а 1. Пусть б7 — замкнутое лгножество из Е".
Тогда для того, чтобы функция У(и) была полунепрерывна снизу на 17, необходимо и достаточно, чтобы множество Лебега М(с) было замкнутым при всех с (пустое множество считается залскнутым по определению). В частности, если з(и) полунепрерывна снизу на Ьт, то лгножество С'в точек минпмУма У(и) на Г7 залгкнУто. Доказательство. Необходимость. Пусть з(и) полунепрерывпа снизу на (7. Возьмем произвольное число с. Пусть М(с)чь 8. Возьмем какую-либо предельную точку ю мпоягества М(с). Тогда существует последовательность (и„)~М(с), сходящаяся к ю. В силу замкнутости (7 точна юы (7.
Из того, что У(и„)<с (й=1, 2, ...), с учетом полунепрерывности снизу 3(и) в точке и имеем з(ю) < 1ппУ(и„)< с, т. е. гоыМ(с). Замкнутость М(с) доказана. В частности, множество Гв = (и: и е= Г, й(и)(й = Ыз'(и)~ замкнуто. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть для некоторой функции г (и) множество М(с) замкнуто прп любом с. Возьмем произвольные е > О, иы (7 и последовательность (и,) ы (7, сходящугося к точке и. Пусть)(т з (из) = а = 1пп з (иь ). Тогда з' (иь )(а+ е, т. е. ь в т иь ~М(а+ е), для всех достаточно больших номеров (г . Но М(а+ е) замкнуто по условию, а точка и является пределом для (из ). Следовательно, иыМ(а+ е), т. е.
з(и)< а+ с. В силу произвола е > 0 отсюда имеем Х (и) ( а = ! Ип У (иь). Установим одно интересное свойство расстояния от точки до множества. Л е и и а 2. Пусть с7 — произвольное непустое множество из Е". Тогда расстояние р(и, (7) = 1п1 р(и, и) от точки и до мноасп жества с7 как функция переменной и непрерывна на Е" и, более того, удовлетворяет условию ~р(и, с7) — р(и, П) ~ <р(и, и) ч'и, ижЕ".
Доказательство. Прежде всего из р(и, ю) 1и — го( > О и р(и, (7) < 1и — ю~ (ю ~и (7) следует, что функция р(и, б7) пгкдвлгитяльныв свкдвнпя '>гл. 3 неотрицательна и конечна во всех точках и >и Е". Возьмем произвольное число е >О. По определению нижней грани (см. определение 1.1.3) для любых и, ожЕ" найдутся точки и„о,я У такие, что р(и, Ц)< р(и, и,)<р(и, У)+ е, р(о, У) < р(о, о,)<р(о, У)+ е. Поскольку р(и, У) < р(и, о,), то с помощью неравенства треугольника р(и, о.) < р(и, о)+ р(о, о,) имеем р(и, У) — р(о, У)» < р(и, о,) — р(о, о,)+ а < р(и, о)+е. Аналогично получается неравенство р(и, У) — р(о, У))р(и, и,) — е — р(о,и,)> — р(и, о) — з.
Объединяя два последних неравенства, имеем !р(и, У)— — р(о, У)~ <р(и, о)+е. Отсюда при е -+О получим требуемое неравенство. 4. Перейдем к формулировке теоремы Вейерп>трасса. Теорема 1. Пусть У вЂ” компактное л>нозксство, а функ>>ия У(и) определена, конечна и полунепрерывна снизу на У, Тогда У„= >п1У(и)> — со, л>нозаество Гь =(и: ия(>, У(и) =Хь) >ьепусто, компактно и любая минимивиру>ош>ая последовательность сходится и Ув. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную минимизирующую последовательность (и,): и,жУ (й=1, 2, ..., 1(п>У(и,)= =з ь).
Существование хотя бы одной такой последовательности следует пз определения 1.1.3 нижней грани функции. Так как У вЂ” компактное множество, то (и„) имеет хотя бы одну предельную точку и все ее предельные точки принадлежат ь>. Возьмем любую предельную точку и„этой последовательности. Тогда существует подпоследовательность(иь ], сходящаяся к точке ив. Пользуясь свойством нижней грани Х„п полунепрерывностью функции з (и) в точке ию имеем Хв ( У(ив) < Н>п У (и>, ) = Н>п У (иь) = У„, а ю ь т.
е. У (ив) = У . Отсюда следУет, что Хв ) — со, Пь чь 8. Более того, показано, что любая предельная точна любой минимизирующей последовательности принадлежат с>к. Некая>ем, что с>в компактно. Возьмем произвольную последовательность (оь) я с>ь. Так как (о,) >и ь> — компактное мпон>ество, то существует подпоследовательность (оь ), сходящаяся к некоторой точке о ~(>. Но (о,) — мппимиаирующая последовательность, так как Х(о>,) = Х„(>с=1, 2, ...). По вьппедоказанному тогда о„~= (>в. Компактность (> установлена. Полая>ем, что любая минимизирующая последовательность (иь) сходится к Пв. Так как р(иь, П„) = 1п1 р(иы и))0 (>с = сии, =1, 2, ...), то ясно, что (ппр(иь, (>.))О. Пусть(пир(иь, У.) = постАновкА ВАдлчи минимизлции Тб = 11ш р(из, Пв) = а(со.
В силу компактности ХХ из[и~ можно выбрать подпоследовательпость, сходящуюся к некоторой точке и . Не умаляя общности, можем считать, что сама последовательность (и„) сходится к ив. Согласно лемме 2 функция р(и, у ) непрерывна по переменной и, поэтому 11ш Р(иь Пв) = т = р(и, Пв) =- а.
Однако по доказанному и е= П . Тогда а = = р(из, (ХА) = О. Это значит, что 1пп р(и„, П ) =-1пп р(ию Ув) = А = О. Следовательно, чредел 1пп р (иь, Ов) существует и равен нулю. Теорема 1 доказана. Предлагаем читателю рассмотреть функции и мяожоства из примеров 1 — 3 (см. также примеры 11.1 — 1.1.5) и проворить, в каких случаях условия теоремы 1 выполнены и, следовательно, нижняя грань достигается, в каких случаях опа но достигается и в каких случаях нижняя грань достигается несмотря на то, что условия теоремы 1 нарушены.
5. Заметим, что в теореме 1 условие компактности множества У является довольно жестким. Например, такие часто встречающиеся на практике множества, как ХХ'=Е" — все пространство или П = (и: и' > О, ..., и" ~ О) — неотрицательный ортант, не являются компактными. Приведем две теоремы, в которых компактность мпо1кества У не предполагается, по зато функция, кроме полуиепрерывностп снизу, удовлетворяет некоторым дополнительным требованиям.
Т е о р е м а 2, Пусть У вЂ” непустое замкнутое множество из Е", функ1(ия 3(и) конечна, полунепрерывна снизу на У и для некоторой фиксированной точки о ~и У множество Лебега М(о) = (и: и ~ У, Х(и) ( Х(о)1 ограничено. Тогда зв > — оо, множеспгво П непусто, компактно и любая минизгизирвуюи(ая последовательность (и,), принадлежащая М(о), сходится к ХХ„.
Доказательство. По определению мпоя'ества ЛХ(о) имеем: Х(и) > Х(о) прн всех и ~ П1М(о) и Х(и) < Х(о) три всех и1ИЛХ(о). Это значит, что па П1М(о) функция У(и) не может достигать своей пнжпей грани на П и для доказательства теоремы достаточно рассмотреть У(и) па множестве ЛХ(о). Замкнутость множества М(о) вытекает из леммы 1. Из ограниченности и замкнутости М(о) следует его компактность. Применяя теорему 1 к функции Х(и) на М(о), получим все утверждения теоремы 2.
Попутно установили, что ХУз ~ ЛХ (о). Заметим, что в теореме 2 утверясдается сходимость к Пв только тех минимизирующих последовательностей и„которые принадлежат М(о). Если У(о) > Хе, то условие (и,) ~и ЛХ(о) можно не оговаривать, так как в этом случае для любой миними- пгедВАР11твльныв свкденпя 1гл. 2 аирующей последовательности (и,) найдется номер Й, такой, что Х(и„)<Х(о) ДлЯ всех 11~ 1см т. е.
изжМ(о) пРи 1с~йм Голи же Х(о) =Х, то П =М(о) и, как видно из примера 1.1.5, в атом случае могут существовать минимизирующие последова- тельности, которые не принадлежат М(о) и не сходятся н У . Т е о р е м а 3. Пусть У вЂ” непустое замкнутое множество из Е", функция Х(и) конечна, полунепрерывна снизу на П и для любой последовательности (и4) ен П, 1пп )иь~ = сс (если такие 4-ьс и4 существуют) имеет место соотношение 1пп Х(и„) = сс, 4- Тогда Хь) — сс, множество П„непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность (и,) сходится к Пь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если множество У ограничено, то все утверждения теоремы следуют из теоремы 1. Поэтому пусть П пе ограничено, т. е. существует хотя бы одна последовательность (о4) ж 7У такая, что Иш )о4~ = ос. Тогда согласно условию тео- ремы Игп Х(о4) = сс. Возьмем какую-либо точку о1н У такую, 4 м что Х(о)) Хв (например, можно принять и = о4 при достаточно большом (г), и рассмотрим множество Лебега М(о)=(и: и ж У, Х(и)<У(о)1.
Покажем, что М(о) ограничено. Допустим против- ное: пусть существует последовательность (1о4) ж М(о) такая, что 1пп ~1оь~ = сс. Тогда 1ппХ(шь) = сс, что противоречит не- 4 а 4 равенству Х(ю4) < Х(о) <, вытекающему из включепия ю4~ ~М(о) (й=1, 2, ...). Таким образом, множество М(о) огра- ничено. Отсюда и из теоремы 2 следуют все утвернгдения тео- ремы 3. Сл е д от в и е 1. Пусть У вЂ” непустое залгкнутое множество из Е". Тогда для любой точки и1иЕ найдется точка о=о(и)ж ~ П такая, что р (и, П) = ш( / и — 1с / = ) и — о(и) /, т. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
