Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Определение начальной о точки г,=(и„о,)жс не вызывает трудностей: достаточно взять какую-либо точку и, жЕ" и положитьо, = шах я,.(из). Для рег~з~пз шения задачи (3) может быть использован, например, метод возможных направлений. Итерационный процесс можно прекратить, как только обнаружится точка г=(и, с)ш С, для которой О~О. В том случае, когда множество (2) регулярно, т. е.
существует точка и ж Е", для которой д,(и)< 0 (~ = 1, ..., и), то ш1О(0, и ясно, что любой сходящийся метод минимизации в О задаче (3) позволит за конечное число итераций найти точку множества (2). 6. Интересно проанализировать доказательства теорем сходи- мости градиентного метода, методов проекции градиента, возможных направлений, условного градиента и т. д. Такой анализ показывает, что проводимые рассуждения опираются иа предположекия одного и того же типа, содержат много общих моментов, техника получеиия оценок скорости сходимости имеет общие черты. Возникает вопрос, нельзя ли создать общую методику исследования сходимости если и не всех, то хотя бы некоторых достаточно широких семейств методов минимизацииг Оказывается, это возможно. К настоящему времени сделаны весьма удачные и интересные попытки создапия такой методики, позволяющей единообразно исследовать сходимость широких классов методов минимизации, получать оценку скорости сходимости.
К сожалению, мы здесь не имеем возможности останавливаться на этих увлекательных вопросах и отсылаем читателя к работам 18, 11, 49, 140, 159, 214, 235, 248, 250]. Глава 6 ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В етой главе рассматриваются задачи оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот класс экстремальных задач существенно отличается от рассмотренных: если в задачах минимизации функции конечного числа переменных искомая точка минимума являлась точкой л-мерного пространства, то в задачах оптимального управления искомая точка минимума, вообще говоря, представляет собой функцию, принадлежащую некоторому бесконечномерному функциональному пространству.
Такие задачи имеют многочисленные приложения в механике иосмического полета, в вопросах управления злектроприводамк, химическими или ядерными реакторами, виброзащиты и т. д. Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина (1?), представляющий собцй необходимое условие оптимальности в таких задачах. Принцип максимума, открытый коллективом советских математиков во главе о анадемиком Л. С. Понтвягиным, представляет собой одно из крупных достижений современнои математики и является краеугольным камнем современной математической теории оптимального управления, Принцип максимума Понтрягина существенно обобщает и развивает основные результаты классического вариационного исчисления, созданного Эйлером, Лагранжем и другими выдающимися математиками прошлого.
Появление принципа максимума стимулировало последующее бурное развитие теории знстремальных задач и методов их решения. Из обширной литературы, посвященной различным аспектам современной теории оптимального управления и управляемых систем, их приложений, упомянем [1, 2, 5 — 9, 14, 17, 22, 28, 31, 32, 34, 36 — 38, 43, 50, 51, 59 — 70, 75, 77, 80, 81, 97 †1, 104, И7, И8, 120, 121, 124, 125, 136 †1, 142, 149, 161, 166, 167, 172, 174, 175, 181 †1, 192, 193, 199, 204 †2, 2г0 †2, 217, 2!8 †2, 222, 223, 226, 232, 234, 236, 243, 244 246, 248, 249, 252 †2, 260, 263, 268, 271, 273, 275, 280, 281, 285, 286, 289, 290, 293, 294, 300, 303 — 306, 308 †, 315, 317, 319, 325 †3, 339, 341, 342).
3 1. Постановка задачи оптимального управления 1. Сначала приведем несколько конкретных задач оптимального управления. Пример 1. Движение плоского маятника, подвешенного к точке опоры прн помощи жесткого невесомого стернгня (рис. 6.1), как известно, описывается уравнением 16+ 56+ шл1 з1п В = М(т), 422 ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ~ГЛ. О где 1 — длина жесткого стержня маятника, т — масса, сосредоточенная в конце стержня, 1= тР— момент инерции, д — гравитационная постоянная (ускорение силы тяжести), Ь ~ 0— коэффициент деьшфирования, т — время, М(т) — внешний управляющий момент, О=О(т) — угол отклонения стержня от точки устойчивого равновесия.
Если сделать замену переменной 1 = гутя||1, то это 1 уравнение можно привести к виду ~р + ~~р + з1п ор = и(о), (1) где ср = ор('о) = О(111|(тд() ), Р = Ъ|Ч1тд1, и(Г)=М(111|( Р())|(те(). Рис. 63 Обозначим х'(г) = ср(г) (угол отклоне- ния маятника), х'(Г)= ~р(о) (скорость маятника). Тогда уравнение (1) запишется в виде системы двух уравнений первого порядка: х'(1)=х*(1), х'(1)= — ~х'(1) — з1пх'(1)+ и(~). (2) Пусть в начальный момент 1= 0 маятник отклонился на угол х'(0) = х,' и имеет начальную скорость хо(0) = хоо.
Будем также считать, что функция и(г) — управляющий момент (выбор которого может влиять на движение маятника) — удовлетворяет ограничению !и(Е)) <'(, "(=сопз1>0, Г~ О. (3) Здесь возможны следующие постановки задач оптимального управления: выбрать управление и(г), удовлетворяющее условиям (3) так, чтобы: 1) за минимальное время Т остановить маятник в одной из точек устойчивого равновесия, т.
е. добиться выполнения условий х'(Т) = 2пй, х'(Т) = 0 (4) при некотором й (к = О, ~1, ...) (задача быстродействия); 2) за минимальное время Т добиться выполнения условия (х~ (Т) ) '+(хо (Т) ) ' ~ е где е ) 0 — заданное число; 3) к заданному моменту Т величина (х'(Т))'+(х'(Т))' или т т ~ (х" (Г))о оГ1, или ) ((хг(о))о + (хо(1))о) сИ, нли п1ах ) х'(1) !, или о о оиост шах шах() хг(г) (, ! х'(г) )) принимала минимально возможное значеоиьот ние, или ВН ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛВНИЯ 423 4) в заданный момент Т выполнялось равенство х'(Т).= О, а величина х'(Т) была максимально возможной (задача о накоплении возмущений), или 5) к заданному моменту Т добиться выполнения условий г (4) и минимизировать величину ~ из(С)с(С (выполнение условия о (3) здесь необязательно).
Если колебание маятника ограничено какими-либо упорами, то в перечисленных задачах нужно еще требовать выполнения условия вида ! х' (С) ! ( Сс, Сс = сопз1 > О. На управление и(С) вместо условия (3) (или наряду с условиями (3) ) могут накладываться ограничения вида ~ и' ( С) г(С ( Л, о где Л = сопз$ ) О. При изучении малых колебаний маятника часто полагают ЗСВ ср = ср, и тогда уравнение (1) и эквивалентная ему система становятся линейными н будут иметь вид ср + ~~р + <р = и (С) и соответственно х' (С) х' (С), х' (С ) = — рх' (С) — х' (С) + ™ ( С) . Пример 2.
Как известно 1121, с. 1291, движение центра масс космического аппарата и расход массы описывается системой дифференциальных уравнений г = и, д = др/6+ Р, 6 = — «д, 0 < С ( Т, (5) где С вЂ” время, г = т(С) =(г,(С), г,(С), г,(С) ) — радиус-вектор центра масс аппарата, и=и(С)=(и,(С), и,(С), и,(С)) — скорость центра масс, 6 = 6(С) — текущий вес апссарата, я — коэффициент пропорциональности между массой и весом, р = р (С) = (р~ (С), р,(С), р,(С)) — вектор тяги двигателя, д = д(С) — расход рабочего вещества, Р=Р(г, С)=(Р„РН Р,) — вектор ускорения от гравитационных сил.
В каждый момент времени С движение космического аппарата характеризуется величина~ми г(С), и(С), 6(С), называемыми фазовыми координатами. Пусть в начальный момент С = 0 фазовые координаты аппарата известны: г(0) = г„и(0) = и„6 (0) = 6,, (б) Величины д = д(С), р = р(С) являются управлением — задавая их по-разному, можно получить различные фазовые траектории [гл. з ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА (решения) задачи (5), (6). Конструктивные возможности аппарата, ограниченность ресурсов рабочего вещества накладывают на управление д(Г), р(1) ограничения, например, вида р .< ~р(1)~ <р .„д,.<с(~)<д„,„, 0<1 т, т нли ~ф(Т)31(77, Л=сопз1)0. Кроме того, на фазовые трао ектории задачи (5), (6) могут накладываться некоторые ограничения, вытекающие, например, из условий того, чтобы вес аппарата был не меньше определенной величины или траектория полета проходила вне определенных областей космического пространства (областей повышенной радиации) и др.
Здесь возникают задачи выбора управлений д(~), р(г) так, чтобы управления и соответствующие им траектории задачи (5), (6) удовлетворялк всем наложенным ограничениям, и кроме того, достигалась та или иная цель. Например, здесь возможны следующие задачи: 1) попасть в заданную точку или область космического пространства за минимальное время; 2) к заданному моменту времени попасть в заданную область пространства с заданной скоростью (совершить мягкую посадку, например) и с максимальным весом аппарата илп с минимальной затратой знергни; 3) достичь определенной скорости за минимальное время н т.
и. Болыпое число прикладных задач оптимального управления, связанных с механикой полета летательных аппаратов в космосе и атмосфере, с работой злектроприводов, химических и ядерных реакторов, с вопросами виброзащиты н амортизации, с математической экономикой и т. д., читатель найдет в (9, 14, 28, 35, 40, 43, 68, 69, 75, 118, 121, 124, 125, 188, 189, 192, 199, 202, 207, 208, 217, 218, 243, 257, 260, 261, 263, 290, 300, 303 — 305, 309, 310, 322, 323, 325 †32. 2. Приведенные в примерах 1, 2 задачи являются частным случаем более общей задачи оптимального управления, к формулировке которой мы переходим. Пусть движение некоторого управляемого объекта (течение управляемого процесса, изменение управляемой системы) описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями которые в векторной форме можно записать в виде й=)(х, и, 1), (7) где 1 — время, х (х', х', ..., х") — величины, характеризующие движение объекта в зависимости от времени н называемые фа- ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛКНИЯ 425 вовыми координатами объекта, и =(и', и', ..., и') — параметры управления («поло»кение рулей» объекта), выбором которых можно влиять на движение объекта, 7'=(~', )1, ..., ~"); функции 11(х, и, 1) (1= 1, ..., и), описывающие внутреннее устройство объекта и учитывающие различные внешние факторы, предполагаются известными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
