Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Нетрудно видеть, что если 1 ) — 1, то Ф ( — 1, 1) = 0 = р (7) . Если же 1< — 1, то при й) У-7 получим Ф( — й, 1)= шах( — й' — 7; 0)+ + я( — й)=д( — й)- 0 =р(7). Таким образом, адесь р(7)= 0 при всех 7 н согласно определению 1 гэ = — ». Пример 6. Переопределим функцию Х(и) из (7) в точках и = й ' так: 7(й ')= — й' (й= 1, 2, ...). Функцию д(и) и множество 77 оставим такими же, как в примере 5. Повторив прежние рассуждения, нетрудно убедиться, что минимальный корень уравнению (5) здесь будет равным» =,7е как при использовании функции (2), так и функции (6), В отличие от примера 5, здесь 7„= — оо, поэтому справедливо 7е =.7 . Любопытно посмотреть, что будет, если множество У из (1) пусто, но 77, непусто. В этом случае задача (1), конечно, перестает быть содержательной, но тем не менее функции Ф(и, 8), р(г) из (2), (4), (6) будут иметь смысл.
Пример 7. Пусть У(и)=1, 77= (иенЕ': д(и) =е»" (О). Здесь 77, =Е', 77 = и. Согласно формуле (2) Ф(и, ») = шах(1— — 7;О) + е "~, в~Е', поэтому р(7)=шах(1 — 7; 0) и 8„= 1. Если же воспользуемся функцией (6) Ф(и,1) = (1 — 7(+ е-е'з то р(1) = )1 — И и 8,„= 1. Если адесь ваять я(и) = е "' + 1, то получим р(1)=шах(1— — 7; 0)+1 для функции (2) и р(7)= (1 — 7(+1 для функции (6), так что минимальный корень уравнения (5) согласно определению 1 будет равен Ге = оо.
метод нАГРуженных Функц11н 401 З 161 Пример 8. Пусть Х(и)= и, П =(и~Е': д(и) = е о' 0), Здесь г, =Е', П = О. Согласно (2) Ф(и,г) = шах(и — О 0)+ е "° Так как прн и= — А.< Г Ф( — )с,1) = е — А'-э-0 при й-, то р (() = 0 при всех ( и (в = — оо. В случае функции (6) Ф(и, () = (и — 11+ е ' = ш1п( 1п1 Ф(и,г); (п1 Ф(и, Г)) ~) 11з — цел 1з — 11)1 ог )шш~ лп1 е; 1~ =с(1) ) 0 при всех ияЕ', поэтому р(1)) 11о-11 Л 1 >О при всех й Но 0 <р(Г)<Ф(г, 1)- 0 при 1- или 1- так что 1(шр(() = 11пл р(() = 0 и К„, = — оо.
1 1 Если же здесь взятьд(и) = е '+1,то Ф(и, г)~1, ишЕ' и р(г) > 1 при всех г, и поэтому 1„= оо. 3. Примеры 7, 8 подсказывают, что для того, чтобы единообразно охватить возможность, когда в задаче (1) П= И, целесообразно принять (8) Тогда справедлива следующая Теорема 1. Пусть функция р(1) определена формулой (4), где функции Ф(и, 1) взяты из (2) или (6).
Пусть гв — лшнимальный корень уравнения (5) в смысле определения 1, а величина ге определена согласно (8). Тогда г (зв. Доказательство. Если П=о, то зв = оо и утверждение теоремы тривиально. Поэтому пусть ПФ И. Так как мы условились рассматривать функции, принимающие лишь конечные значения в области своего определения, то Х (оо.
По определению зв, существует последовательность (и,1~в П такая, что 1ппу(иь) = У ) — оо. Если Х„.,) — оо, то 1ппФ(ими.) = ь ь ю = 0 = р (з ) и поэтому 1„( Хв. Если же Хь = — оо, то. взяв (л = У(и,), полУчим Р (Гл) = Ф (им (л) = 0 (й = 1, 2, ...) . Поскольку П,)- —, то отсюда следует 1пп р(1) =1ппр(гл) = О, так 1 ь-э что 1 = Хв = — оо. Теорема доказана.
Рассмотренные выше примеры показывают, что для выполнения равенства 1 = У важное значение имеет способ задания множества П1 ограничения, задающие множество П, должны быть как-то согласованы с минимизируемой функцией 1(и). Напоминаем, что в з 14 было введено понятие согласованной постановки задачи (1) на П, (см. определение 14.2), означающее, что для любой последовательности (и„) 1и П„ которая удовлетворяет условиям Пш у1~ (ид) = О, 1 = 1, ..., з, (9) ь а 403 методы минимизлции Функции многих пегеменных ~гл.
5 имеет место соотношение (10) Иш Х (иь) ) Хк. ь ~ю в случае непользования функции (2) и Иш !Х(ид) — г) вр(г))0, г(с,.„, (12) в случае испольаования функции (6). Покажем, что иа (11), (12) следует неравенство Иш Х(иь) ~) Й-~00 )1 =Х . В самом деле, при выполнении (11) для каждого Распространим это понятие на случай, когда У,чьИ, П И и согласно (8) Хе = оо.
Здесь следует различать две возможности: 1п1Р(и) = 0 и 1п(Р(и))0. Если 1п1Р(и) = О, то супе па по ществует хотя бы одна последовательность (и,) ж Уе удовлетворяющая условиям (9),— в этом случае скажем, что задача (1) имеет согласованную постановку на У„если для любой последовательности (и„) ж У,, для которой справедливы соотношения (9), имеет место равенство 1(шХ(иь) = оо = Хв. Кстати, это же ьравенство получается н из (10) при Хе =- оо. Наконец, если У,чьИ, П=О, 1п1Р(и))0, то по определению будем считать, ь/в что задача (1) имеет согласованную постановку на множестве У,. Оказывается, введенное понятие согласованной постановки задачи (1) играет важную роль при выяснении того, будет ли г =Хэ или гв<Х .
Т е о р е м а 2. Пусть функция р (1) определена формулой (4), где функция Ф(и, г) взята из (2) или (6), пусть 1е — минимальный корень уравнения (5), а величина Хе определена формулой (7). Тогда для выполнения равенства Г„= Х„необходимо и достаточно, чтобы задача (1) имела согласованную постановку на многкестве У,. Доказательство. Необходимость. Пусть г =Хе. Если Х = — оо, то постановка задачи (1) согласована, так как 1ппХ(иь)) — оо = Хв для любой последовательности (иь)гв У,. ь ю Поэтому пусть Хе ) — оо. Возьмем произвольную последовательность (и„1 ш У„удовлетворяющую условиям (9).
Согласно определению (3) функции Р(и) тогда Иш Р(иь) = О. Отсюда и из неравенств Ф(и„с)~ р(~)) О, справедливых для всех г< <Гг = Х„и й = 1, 2, ... при к — получим Иш шах(Х(иь) — 1; 0) ."р(г))0, 1(сгг (11) 31ЕТОД НАГ'РУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 403 $161 1(8э найдется номер 7с,= й,(8) такой, что шах(Х(ио) — 8; 0) ~ > р(1)!2 > 0 или Х(и,) — 1> р(1)/2 > 0 для всех й > йо. Тогда ИшХ(иь))З при любом 1(1 .
Устремляя 8-1-1 — О, отсюда А получим неравенство Иш Х (ид) ) 1 = Х.. А со Рассмотрим случай (12). Пусть Иш Х (ид) = Иш Х (из„) = а. о с Имеются две возможности: либо а)~1„, либо а(1э, Если а)) )1, то требуемое неравенство 1пп Х(ид))1 = Х установлено. Остается рассмотреть возможность а(гэ. В этом случае величина а не может быть конечной. Допустим противное: пусть — оо ( а ( 1„.
Тогда при о = а получим 1пп ( Х (и„) — а ) = ) 1пп Х (иА„) — а ~ = О, А оо ! о-осо что противоречит условию (12). Таким образом, если а(1э, то а = — со, т. е. ИшХ(иь) = ИшХ(ид„) = — оо. Тогда, взяв А-« о о ~„= Х (иа ) (г=1, 2, ...), получим 0( р (1„) (Ф (ид„, Х (иА,)) = = МР(иь„)-~0 пря г-о оо. Это значит, что 1ппр(1)=1ппр(1„)= о оо = 0 и согласно определению 1 1 = — оо.
Но по условию = Х, поэтому 1ппХ(ид) = Х = 8 = — со, дело свелось к ранее А-осо рассмотренному случаю. Тем самым установлено, что для любой последовательности (и,) ~ 0с„ удовлетворяющей условиям (9), справедливо неравенство (10). Наконец, если такой последовательности (и,) не существует, т. е. 1Й1Р(и) ) О, то задача (1) имеет согласованную ио постановку по определению.
Необходимость доказана. Достаточность. Пусть задача (1) имеет согласованную постановку на П,. Покажем, что тогда С„= Х„. Сначала рассмотрим случай, когда 1„= — оо. Это значит, что Иш р(1) = = Иш р(1д) = О, где (го) — — . По определению р(1,) согласно А-ооо формуле (4) следует существование точки и,он1Х, такой, что р(1,)(Ф(и„1,)<р(1,)+1й (й=1, 2, ...). Отсюда при йимсем Иш Ф(иа, 1А) = О. Это означает, что 1пп Р(ид) = 0 и А А Иш шах (Х (иА) — 1д, 0) = 0 в случае использования функции ь (2) и Иш(Х(иа) — 1А(=0 — в случае функции (6).
Но по по. А строению Н,) - —, поэтому последние два равенства возможны 404 методы минимизАции ФункциЙ многих пегеменных СГИ $ только при 1>ш Х (ид) = — оо = Са. С другой стороны, из д»» (Р(и,)) — 0 и формулы (3) следует выполнение условий (9). В силу (10) тогда11шХ(ид)~)Ха. Следовательно, Х =с = — оо, ПУсть тепеРь Са ) — со. В силУ теоРемы 1 тогДа Х ) С ) ) — оо. Возьмем произвольное С(Ха. По определению р(С) существует последовательность (и„) щ (тг такая, что 11ш Ф(ид, 1) = = р(С).
Может случиться, что Пш Р(ид) = с)) О. Тогда из д Ф(и„С) > ЛсР(пд) при )с - о следует, что р(С) ) )3И1(ш Р(ид) д = Мс) О. Если >кв 1(ш Р (ид) = 0 = 1пп Р (ид ), то 11ш Ес+ (пд„) = д »' »» т»» = 0 (1=1, .,г). В силу (10) отсюда имеет1(ш Х(ид,))~Ха)1. т с А тогда р(с) =Пш Ф(идюс))Л(Ха — С) ')О как в случае псе-» пользования функции (2), так и функции (б). Тем самым пока- вано, что р(С)>0 при всех С(Ха. Кроме того, в рассматриваемом случае с„) — оо по определению 1 11>п р(с))0.
Следовас тельно, С )Ха, что в силу теоремы 1 возможно только при С = Х . Теорема доказана. В 4 14 были приведены достаточные условия, гарантирующие согласованную постановку задачи (1) на 1>', (см. теорему 14.2, леммы 14.1, 14.5). 4. Подробнее остановимся на частном случае функции (2), когда Ф(и, с) = е шах (г'(и) — с; 0) + ИР(и), и щ бсг, (13) гдз Ь > О, Ы > О, а функция Р(и) взята из (3) при некоторых рс >1 (с = 1, ..., г). Оказывается, функция (13) и соотззтстзующаи зй функция р(с) обладают рядом полезных свойств, облегчающих поиск ыинимального корня уравнения (5).
Теор ам а 3. Функции Ф(и, с), р(с), определяемые формулами (13), (14), монотонно убывают (вообще говоря, не строго) при вограстании С и удовлетворяют неравенствам (Ф(и, с) — Ф(и, т) ) ( Цс — т(, (14) / р(с) — р(т) ) ( Л / с — т) (15) ири всех иш С>г и любых С, т. Если Хг =1п1Х(и) > — оо, то пг Ф(и, с) = — Ес+ьг(и) +ЫР(и)» р(с) = — Ес+ш1(йг(и) +ЫР(и)) (16) и» при всех См, Лгг — линейные функции по С. Д о к а з а т е л ь с т з о. Простым перебором возможных значений функции шах (а; Ь) легко доказываются неравенства шах(г(и) — с; 0) >шах(г(и) — т; 0), Сст, ион 1>г, (шах(г(и) — с; О) — шах (С(и) — т; 0)( ~ /с — т), иги П„ 405 МЕТОД НАГРУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 5 йс) Отсюда следует невозрастание функции Ф(и, с) по переменной С и неравен.
ство (14), Далее, для любых й( с имеем Ф(и, й) >Ф(и, т) > р(т) или Ф(и, с) ) р(т) при каждом и ш пь Отсюда, переходя к нижней грани по и сн Пг, получим р(й) ) р(т) при всех с ( т. Докажем неравенство (15). Зафнксйруем проиавольные С, т. По определению нижней грани при каждом е > 0 существуют точки и>, и,сп Пг такие, что Р(й) ~ (Ф(ии с) < Р(с) + е, р(т) < Ф(и„т) < р(т) + е, Тогда, учитывал уже доказанное неравенство (14), имеем р(й) — р(т) < < Ф(и„с) — Ф(и„с) + е(Цс — т! + е, р(с) — р(т) ) Ф(и>, с) — е— — Ф(и, т) ) — Цс — т/ — е, т.
е. (р(с) — р(т) ) < Цс — т/ + е при любом е ) О. Отсюда при е->-+О получим йеравенство (15). Формулы (16) следуют из того, что г (и) — С) г — С) 0 при всех и >и Пс. ТЕОРема 3 доказана. Если задача (1) имеет согласованную постановку на сйг и г » > — о», то опираясь на теорему 3 можно предположить следующий итерационный метод опРеделенил г . Сначала выбеРем А> так, чтобы Р(йс) ) 0 (напРимер, если г = >п1 г (и) ) — ю, то ь>ажно взять л>обую точку с <д»»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
