Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 58
Текст из файла (страница 58)
х Г " . Для элементов (точек) а=(ас... а ), 6=(Ьс,, Ь ) ОЕ определим сумму а+6=(а!+бы... ..., а + 6 ) и произведение на вещественное число па= (аас,..., аа ), где под а + Ь, и стас понимаются соответствующие операцки в Еьп л = 1,..., т, В результате получим вещественное линейное пространство Е, называемое прямым произведением линейных пространств 5"', .. ч 1"". Если Еь' = Е"' — эвклидовы пространства размерности пс, с' = 1,..., т, то в прямом произведении Е = Е'т х ... х Е" также можно ввести скалярное произведение (а ь)=(ас, ьс)+Г ..
6(а, ь ) и ноРмУ [а[=(а а) ~ =([а [ +...-1 [а [ ) с, где (ас, ь ) и[а [— соответственно скалярное произведение и норма в Е", Полученное евклидова пространство Е называют прямым произведением евкзидовых пространств Еч,..., Е""; размерность пространства Е равна пс + ., + и . Например, само евклидова прострайство е" является и прямым произведением тс одномерных евклидовых пространств: Е' = Е' х,. х Е .
Параллелепкпед [и = (и',..., и" ); ас < и' < Дс, с = 1,,, ч и) представляет собой прямое произведение отрезков [сс,, Дс), л = 1,..., и. Прямое пройзведение выпуклых множеств, очевидно, само выпукло. До к а за т е л ь ство те о р е м ы 7. Пусть Е =Е" х .,хŠ— прямое произведение т и-мерных евклидовых пространств. Тогда А = Ас х... х А б Е. Введем в Е сдиагональноел множество В = [Ь =(6с,..., 6,„): Ьс —— ...
— — Ьы = аз, ао б Ао)ЪетРУдно видеть, что пеРесечение П Ас пусто тогда и только тогда, когда А гсВ пусто. Далее, А и  — выпуклые множества. с=! По теореме 2 множества А и В отделкмы, т, е, существует с= (сс,..., с ) б Е, не все сс равны нулсо и (с, а) > (с, 6) при всех а б А, Ь я В, или ет точке и й П А, Поскольку не все с, равны нулю, то из (8) вытекает существование с=о по крайней мере двух векторов сс, с, с ф у', отличных от нуля По условию все множестве Ао, Ас,, А, кроме, быть может, одного, открыты.
Поэтому можем считать сс фО, Ас— открытое множ™ество, т. е. А, = 1п1 А;. Согласно условию (7) (сс, и) ) 7с йри всех и б А, В силу теоремы 4 тогда (сс, и) > 7с для всех и Н А; = 1п1 Ас. В частности, длЯ точки о Н П А С Ас также имеем (сс, о) > 7с. КРоме у=о того, для всех остальных номеров у зл1 также о б А и в силу (7) (с., о) > 7, Сложим все зти 1 В Г' неравенства. С учетам равенства (9) получим (со, о)-ь(сс, о)-1-...+(с, о) > ус+7!+...+ 7 =О, т. е. (со+ с! +...
+ с, о) > О. Однако это невозможно в силу р™авенства (8), Получе™нное противоречие поссазывает, что П А,. = !21. П с=о Приведенное выше доказательство теоремы 7 принадлежит В. И. Плотникову. Оно привле. кает своей простотой и тем, что позволяет убедиться в справедливости теоремы 7 и в бесконечномерных гнльбертовых (и более общих) пространствах — ее доказательство при этом остается неизменным, нужно лишь уточнить ссылки на соответствующие теоремы отделимости в бесконечномерных пространствах. 4.
Переформулируем теоремы 7, 8 для случая, когда А, Ас, .. ч А являются выпуклыми О с ° ° ° и конусами в Е . Напомнилс О п р е д е л е н и е 4. Конусом (с вершиной в нуле) называется множества К, содерлквщее вместе с любой сваей точкой и и точки Ли при всех Л > О, Если множество К выпукло, то К называют выпуклым конусом, если К замкнуто — замкнутьсм конусом, если К открыто— открытьсм конусом. Рассмотрим множество К~=[сбЕ".
(с,и))О тибК). (14) Это множество всегда непусто, так как 0 и К', Далее, если с н К', то для Лс при лсобом Л > 0 имеем (Лс, и) = Л(с, и) ) 0 для всех и б К, т, е. Лс б 11*. Следовательно, К" — конус. О п р еде л е н ив 5, Конус К', определенный посредством (14), называется дзойственньсм (сопрлженньсм) конусом к конусу К (рис. 4.17). Например, если К = [и б Е": < а, и >= 0) — гиперплоскость, то К' = [с б Е": с = Ла, Л б В); если К К = (и б Е" (а„и) < О) — замкнутое полупространство или К = [и й Е : (а,и) < 0) — открытое полупростисланство, то К" = (с б Е : с= -Ла, Л ) О); если К = Е , то к К" =[0]; если К= [0), то К* = Е"; если К= (иб Еч: и ) О), то К* = [с н Е"; с ) 0) С помощью двойственнйх конусов удобно переформулировать теорему 7 для случая, когда мновсества Ао, Ас,..., Аы являются конусами. Рис. 4.17 Теор ем а 9.
Пусть Ко, Кс,..., К вЂ” непустые выя пухлые конусы из Е (с вершиной в нуле), пусть 1<о гс Кс гс... гс К = хс. Тогда необходимо ы существуют векторы со, сс,..., с, не все равные нулю, с, и Кс, с = О,..., т, и такие, что +с! 4...Ч-с =О (15) До к аз а тельство. Согласно теореме 7 существуют векторы со, сс,, с, не все равные нулю, и числе уо, .гс,..., у, удовлетворяющие условиям (7)-(9). Воспользуемся тем, что рассматриваемые множества Ко, Кс, ..
ч К являются именно конусами, и покажем, что тогда Уз = 7! —— ...— -7 = О. В свмом деле, если (с,, и) ) 7с пРи всех и и кс, то (сс, ли) > 7,. или (с;, и) ) 7с/Л длв любых Л > 0 и и б К;. Отсюда пРй Л л+оо полУчим (сс, и) > 0 пРи всех Кроме того, если и б К;, то, взяв в неравенстве (сс, и) > 0 вместо и точку Ли при малых Л > О, получим сколь угодно малые значения функцйи (с,, и) на Кс и придем к равенству 1п( (сс, и) = О.
Согласно (12) это означает, что все веаичйны 7с, с = 1, .. ч т, участвующие О Кс в неравенствах (7), равны нулю. Из (13) тогда имеем 7Π— -О, Таким образом, если в теореме 7 множества АО,Ас,...,А являются выпуклыми конусами, то условие (9) выполняется трививльно, так как все тс = О, с = О,..., т, условия (7) означают, что сс б К,.', с = О, .. ч тп, а из (8) следует (! 5). С[ 197 $5. ОТДЕЛИМОСТЬ ВЫПУКЛЫХ МНО)КЕСТВ 196 Гл, 4.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА При некоторых дополнительных ограничениях на конусы Ко, К!,..., р ..., К тео емв 9 обратима. А именно верна Т е и з 1О, Пусть К, Еь,..., К вЂ” непустые гыиуклые конусы иэ Еч (с вгршиноб г нуле), пусть гсг эти конусы, кроме, быть может, одного, открыты, Тогда длл того б К К г!... и К = И, необходимо и достаточно, чтобы существовали гекторь! , с,, с, не есе равные нулю, с! 6К,*, ! =О,..., пт и удоглгтеорюощие ревене у( ).
тг 15. Д о, Необходимость доказана в теореме 9. Достаточность вытекает иэ Доказательство. ео хо нств (с и)>0 ЧиеХО, теоремы 8, если заметить, что условие с; 6 КГ равносильно неравенству (сг,и) м, и то отсюдв и из (15) следу!от условия (7)-(9) йри "!! — — ч! = ... — — у =О. П Приведенные в этом параграфе теоремы отделимости и их различные обобщения играют важйую роль в выпуклом анализе, в теории и методах математического программирования, оптимального управления, в теории уравнений и неравенств и т.
д. (см., например, (48-50; 54; 83; 192! 225; 278; 279; 613; 617; 752]). Упражнения 1. П сть А и  — выпуклые множества, не име!ощие общих внутренних точек. Можно ли утверждать, что А и В отделнмы7 Рассмотреть пример А = ( = (х, д): у=, ! ! ч В = (и = (х у): х = О, ]у] < 1) в Е .
2. Пусть Х вЂ” выпуклое множество из Е", !и! Х = И. Доказать, что любая гиперплоскость, опорная к Х и проходящая через точку у я о!Х, содержит Х, т. е, не является собственно опорной. 3. Пусть А — выпуклое мноькество иэ Е", причем А г!!и! и„" = Я. Доказать, что существует такой векторе=(с!,..чс„)фО, с! >О,...,с >О, что <с,а> р <0 и и всех анА. 4. Пусть А — выпуклое множество из Е", М вЂ” зффинное или многогранное множество из Е".
Для того чтобй А и М были собственно отделимы и разделяющая гиперплоскость не содержала А, необходимо и достаточно, чтобы М г! г1 А = Я. Доказать. 5. Пусть р(А,В)= ш! 1п! ]а — Ь] — расстояние между множествами Л и В. Доказать, что двв непустых выпукл ых выпуклых множества А, В иэ Е" сильно отделимы тогда и только тогда, когда р(А, В) > О, 6. Доказать, что всякое выпуклое замкнутое ограниченное множество нв Е" имеет хотя бы одну угловую точку (см.
определение 3.2.1). 7. Пусть Х вЂ” выпуклое замкнутое множество иэ Е" Доказать, что Х имеет хотя бы одну угловую точку тогда и только тогда, когда Х не содержит прямых, 8. Доказать, что выпуклое замкнутое ограниченное множество А из Еь является выпуклой оболочкой своих угловых точек. Показать, что без требования огрвниченяости множества А зто утверждение неверно. Рассмотреть пример Л = (о= (х, у) е Е: у > ]х]).
т ь 9. Е А,, А — выпуклые множества из Е", причем П г! А, ф Я, то П А! = сли г=! г= ! = П л!' г'( Й Л!) = () (п А!); ад( (] А!) = Г) (аВА!). Доказать, г=! ь-! ь=! г=! ь=! 19. Пусть К вЂ” произвольный конус из Е". Доказать, что тогда конус К* будет замкнутым и выпуклым. 11. Доказать, что если К вЂ” выпуклый конус, то конусы К, и К также выпуклы и К* = = (К)' = (и' К)'. г Ъ~ — А' 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
