Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Согласно критерию Сильвестра для положительной опрея!=1 деленности квадратичной формы (Ас, с) необходимо и достаточно, чтобы все главные угловые миноры матрицы А были положительны (см. замечание 2 2. 1). Пользуясь этим условием, для функции /(и) = х~+2аху+АУ'+сг4 (д'(и) — д'(е), и — е) > 0 Чи, е Е Х для функции д(и) = /(и) — к[и['/2, где к = р. Отсюда и из леммы 1, теоремы 2.4 следует утверждение теоремы. П Те о р е м а 4, Луста Х выпуклое множество из Е', /(х) е Сз(Х). Тогда для сильной выпуклости функции /(х) на Х необходимо и достаточно существования такой постоянной р > О, что 181 6 3.
СИЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКПИИ 18О Гл. 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА из примера 2.2 находим, что /(и) будет сильно выпукла на Е' тогда и толь- ко тогда, когда Ь вЂ” а' > О, с > О, Далее, для функции /(и) = (Аи, и)/2 — (Ь, и), и е Е", из примера 2.3 сильная выпуклость на Е" будет тогда и только тогда, когда А — положительно определенная матрица. Аналогично для функции /(и) = !Аи — Ь|2 из примера 2.4 сильная выпуклость на Е" будет тогда и только тогда, когда матрица АТА — невырожденная. 3. Рассмотрим теперь сильно выпуклые функции /(х) из класса С" (Х), т. е.
гладкие сильно выпуклые функции, градиент которых удовлетворяет условию 1/'(и) — /1(и)) < Е ~и — и), и, и Е Х. (15) Полезно установить связь между постоянными х, р, Х, из (1), (9), (12), (13), (15). Из условия (12) с помощью неравенства Коши — Буняковского и условия (15) имеем р < 5.
При доказательстве теорем 3, 4 было установлено, что р = х. Поэтому х < 5. Из определения 1 видно, что если неравенство (1) имеет место при некотором х, то оно будет иметь место и для всех меньших положительных значений х. Можно поставить вопрос об определении самой большой, точной постоянной х в (1). Очевидно, такой постоянной в (1) будет х = !пг !п( и/и +! — и/е — хи+ 1 — хе 2 Оса(1чееХ и(1 — а)(и — е! /2 Аналогично самые большие постоянные в (12), (13) соответственно имеют вид .~~~:.~'~.и=:: езде х !и — е! еех генах, 1РО Из доказательства теорем 3, 4 следует, что ра =/л! = х„причем для функций из С' 1(Х~ все эти постоянные не больше 5. Заметим, что для функции 0(х)=!х( на Е" имеем ра-— ,и, =хос«5 =2.
4. Продолжим рассмотрение сильно выпуклых функций /(х) е С' '(Х). Для таких функций из (12) и (!5) имеем неравенства р!и — е! ( (/'(и) — /'(е),и — е) ч Х !и - е!, и, е Е Х. (16) Оказывается, как в теореме 2.16, два неравенства (16) можно записать в виде одного равносильного (16) неаавенства [24; 234; 5251, полностью характеризующего класс сильно выпуклых функций из С' (Х) при 1п1 Х ~ Я с данными постоянными 5, р, 5 ) р ) О. Теорема 5.
Пусть Х вЂ” аьгпуклог множества из Е", !и! Х ф Ег и /(х) Е С'(Х). Тогда для того чтобьг функция /(х) бегли сильно выпуклой с постоянной х = р >О и удовлетворила условию (15) с постоянной 5 > О, необходима и достаточно, чтобгл !/'(и)-/'(е!'+Ар!и-е!'<(5+!1)(/'( )-/'(е),и-е) (17) при асах и, е е Х. Доказательства.
Необходимость. Пусть функция /(х) е С ' (Х) и сильно 1,1 выпукла на Х. Тогда справедливы неравенства (16). Введем функцию д(и) = /(и) — р!и!2/2, и Е Х. Имеем д'(и) = /'(и) — ри. Тогда из левога неравенства (16) следует (д (и) — д~(е), и — е) = (/г(и) — /г(е), и — е) — р!и — е)2 > О, Уи, е е Х, а из правого неравенства (16) получим (д'(и) — д'(е), и — е) < (Ь вЂ” р)!и — е! Чи, е Е Х, Объединяя оба полученных неравенства, имеем О Е (д'(и) — д'(е), и — е) < (Х вЂ” р)/и — е!2 Уи, е Е Х. Таким образом, функция д(и) удовлетворяет неравенствам вида (2.18). Согласно теоре- ме 2.16 эти двв неравенства равносильны одному неравенству !д~(и) — д (е)! < (Х вЂ” р)(д~(и) — д~(е), и — е) Уи, е Е Х. ! Подставляя сюда д 'и) =/ (и) — ри, после несложных тождественных преобразований полу.
чаем неравенство (! ). Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть некоторая функция /(х) е С (Х) и удовлетворяет неравенст- ву (17). Покажем, что тогда функция /(х) сильна выпукла с постоянной х = р и чдовлетворя. ет условию (15) с Х„где р, 5 взяты из (17). С помощью неравенства Коши — Вуняковскаго из (17) имеем !/ (и) — / (е)! -1- Х р!и — е! < (Х + р)!/ (и) — / (е)! !и — е!. приняв х = !/ (и)-/ (е)!, последнее неравенство можно переписать в виде хз-(ь+ р)!и- — е!х+ Ьр!и — е!2 < О. Квадратный трехчлен в левай части этого неравенства имеет карин х! = р!и — е!, «2 =5(и — е!. Поэтому х! ( х ( хл, т. е.
р!и — е! ( !/~(и) — /'(е)! Е Х /и — е! Уи, е с Х. (! 8) Тогда (/'(и) — /'(е), и — е) < 5!и — е! — правое неравенство (16) получено. используя левое неравенство (18), из (17) имеем р2(и — е!2 + 5 р!и — е)2 < (ь + р)(/'(и)— — /'(е, и — е). Поделив обе части этога неравенства на 5 + р > О придем к левому неравен- ству (16). Таким образом, из (17) получили неравенства (18) и (16). Левое неравенство (16) согласна теореме 3 означает сильную выпуклость /(и) с постояннои х = р, а правое неравен- ство (16) (или (18)) дает условие (15). О Иэ (17) вытекает неравенство (/'(и) — /'(е), е — ю) < 4(Х, + р)!и — и!~ — Р !и — е!л Уи, е, ю Е Х, Оно доказывается так лке, как и подобное неравенство (2.20), Упражнения 1.
При каких а, Ь, с функция /(и) = ахз+2Ьху+сиз переменных и =(х, у) Е Ез будет сильно выпукла нв Ез? 2. найти области сильной выпуклости функций /(и) = зш(х+ у+ «), /(и) = з1п(х + уз«л), 3. Рассмотреть функцию одной переменной х (1-1-ена(1а!х!)), ело ! О, х = О. При каких значениях параметра е и на каких отрезках аЕ х < Ь эта функция выпукла? Строго выпукла? Сильно выпукла? Нарисуйте график этой функции. 4.
Доказать, что функция /(х) сильна выпукла нз выпуклом множестве Х с постоянной сильной выпуклости х ) О тогда и только тогда, когда функция д(1)=/(е+1(и-е)) переменной 1, О ( 1 ( 1, при любых и е е Х сильна выпукла с постоянной сильной выпуклости х)и-е!2 1364!. б. Пусть функция /(х) сильно выпукла и дифференцируема на выпуклом множестве Х, Пользуясь теоаемами 1-Ь, доказать, что: а) /'(и) и / (е) Уи, е е Х, и ф е! Гл.
4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЪ|ПУКЛОГО АНАЛИЗА [Ае[Х+ йр[е[~ < (й+я)(Ае, е) Уе ЕЕ" и) Рис. 4,6 Рис. 4.7 (ю — и,п — ю)>О !УпеХ (ю — и, п — ю) = О )уп н Х. (2) б) [и — о] < — „[7"'(с)[~ при всех и е м(я) = (и е х; 7(и) < у(я)), я эх; в) 0< 7(и) — А < 4 [7'(я)[, [и — и,[ < 2 [7'(я)[ ™ е Х. 6, Для того чтобы симметричная матрица А порядка и х и была положительно определен НОй, НсвбХОДИМО И ДОСтатОЧНО СУЩЕСтВОВаНИЯ ПОСТОЯННЫХ гч Р, О < и < А, таКИХ, ЧтО Доказать. Убедиться, что в приведенном неравенстве в качестве д можно взять минимальное собственное число матрицы А, в качестве й — максимальное собственное число. У к а з а н и е: к функции 7(х) = (Ах, х)гг2 применить (17).
7. Пусть Х вЂ” выпуклое множество, 7" (х) е С (Х), Показать, что для того, чтобы функция 1 7(х) была сильно выпуклой и удовлетворяла условию (15), необходимо и достаточно выполнения неравенств (13) при каких.нибудь постоянных Ь, М, О < Р ( Ь. В. Можно ли утверждать, что сильно выпуклая функция обладает более лучшими дифференциальными свойствами по сравнению с выпуклыми функциямнр Рассмотреть функцию 7"(х) = (х, х) + д(х), где д(х) — выпуклая функция. 9. Пус~ь Х вЂ” выпуклое мнозкество, Пх, и) при каждом значении параметра и е А сильно выпукла нв множестве Х с постоянной сильной выпуклости и(п), !и| и(п) > и > О, Дока' *ел зать, что функция Пх) = впр 7(х, а) сильно выпукла на х с постоянной ио.
У к з з в и и е: ел воспользоваться схемой доказательства теоремы 4.2.7. 10. Функция 7"(х), определенная на выпуклом множестве Х, называется сильно квазивыпдклой на Х, если существует постоянная х > О, такая, что у(пи |-(! — х)и) ( шах(7(и);7(я)) — йп(! — п)х[и — я[ Уи, я е Х, Уп а [О, 1] (ср.
с упражнением 2.33). Доказать, что: ! а) функция д(1) = [1+ о[ сильно кввзивыпукла на любом отрезке [О, с] с х = —, но не является сильно выпуклой и†па вмет,а е Ж); б) функция д(с) = (с + о) + Ьз — оз сильно выпукла нв [О,с) с постоянной х = (Ьх— — оз)(шах(д(0), д(с))] з и сильно квазивыпуклв нв [О, с) с постоянной и =(шзх(д(0), д(с))) ~ (а, Ь вЂ” параметры, а, Ь е Ж); в)функция 7(х) = [х[, х Е Ея, сильно квазивыпукла нв любом ограниченном выпуклом множестве Х с постоянной х = —, где Л вЂ” радиус шара, содержащего Х, и не является сильно 1 В' квазивыпухлой иа неограниченном множестве Х, Функция 7(х) = ]х] не является сильно выпуклой ни на каком выпуклом множестве Х с !п1 Х ~ ЕГ [364]. 9 4.
Проекции точки на множество 1. При описании и исследовании некоторых методов минимизации ниже нам понадобится понятие проекции точки на множество. О п р е д е л е н и е 1. Пусть Х вЂ” некоторое множество из Е". Проекцией точки и из Е" называется ближайшая к и точка ю множества Х, т. е. точка ю е Х, удовлетворяющая услови|о [и — ю! = !п[ ]и — о]. тех Проекцию точки и на множество Х будем обозначать через Рх(и) = ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
