Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Построим последовательность функций (/С(х)), х й Х, и последовательность (Х!) строго внутренних и выпуклых подмножеств многкества Х таких, что Х = О Хс, Хь С Хь С, Л = 1, 2,..., дла всех Л > 1 С В! и всех т ) Л функция / (х) выпукла на Хь, / (х) н С (Хь), ]/ '(и) — / '(о)] < Ь]и — и] для лгобнх и, о н Хь, !ип /,„(и) =/(и), 1нп / '(и)=/'(и) при всех и 6 Х, В силу доках т чс ванного тогда ]/,„'(и) — /„,'(о)] < Ь(/,„'(и) — / '(о), и — о) при всех гь о 6 Х! и всех т ) Л. Отсюда прн т -ч со получим неравенс™тво (19) на множестве Хь. Далее, при Л -э со убеждаемся в справедливости (19) для всех ц о н !и! Х, Наконец, дяя граничных точек множества Х (неравенство (19) доказывается с помощью предельного перехола от внутренних точек).
Как построить упомянутые последовательности (Хь) и (/ь(х))7 В качестве (Хь]- моягет быть взята последовательность подмножеств всех внутренних тачек множества Х, удаленных от границы Х на расстояние не менее чем Збь, где Вш бь — -О„бь > бь ! >О, Л =1,2..., В качестве /г,(х) могут быть взяты средние функции Стеклова — Соболева [534], например, /ь(х) = 1 /(ю)хь(х — х)дю, юь(х»= бг, "х !и!(]х]бг, !), в" ! где ю(г) = ехр( — 1/(1 — гз)) при ]г] < 1, ю(г) =0 при ]г] > 1, х = 1 ю(г)дг и функции /(х) вне Х доопределена тождественным нулем.
С» — ! Приведем пример, показывающий, что условие !и! Х у'-С2г в теореме 16 существенно ]798]. Пример 8. Рассмотрим функцию /(и)=ху на множестве Х=(и=(х, у) 6Е ! у=О). я. Так как /(и) тО ти 6 Х, то ясно, что /(и) выпукла на Х. Далее, /!(и) = (у, х), так что /'(и) =(О,х) то 6 Х, Возьмем произвольные точки и=(х,О), о =(а,О) 6 Х, от'-о. Тогда ]/ (и)-/ (о)] = ]х — а], т. е, условие (! 7) выполнено с Ь =!.
Наконец, здесь ]/ (и) — / (о)]я = ]х— -а]я > Ь(/!(и)-/ (о), и-о) =0 Чгь о 6 Х, и!го, Как видим, неравенство (!9) не выполняется, Остается заметить, что здесь !и! Х = сд. 11. Остановимся на одном замечательном свойстве выпуклых множеств, задаваемых огра- ничениями у(х) ( с, где д(х) — выпуклая функция, Теорема 17. Пусть Хо — непустог выпуклое замкнутое множество из Е", функция у(х) выпукла и лолуненргрйэна снизу на Хо, пусть М(с) = (и! и 6 ХО, у(и) < с).
Тогда для ограниченности множества М(с) при каждом с необходима и достаточно, чтобы при некотором а множество М(а) было нзлустым и ограниченным. Доказательство. Необходимость. Она очевидна. Достаточность. Пусть М(а) ф с2С и это многкество ограничено. Поскольку М(с) с М(а) при всех с < а, то М(с) ограничено при всех с й <а (пустое множество ограничено по определению). Остается рассмотреть случай с > а, Предположим, что при некотором с > а множество М(с) не огра- ничено. Заметим, что М(с) выпукло и замкнуто, что следует из леммы 2,1,1 и теоремы 10. покажем, что существует вектор г фО такои, что и+ се 6 м(с) при всех с ) 0 и всех и й м(с) (направление, задаваемое таким вектором е, принято называть рецгссивным направлением неограниченного выпуклого множества).
Поскольку множество М(с) не ограничено по предположению, то существует последова- тельность (и,) 6 М(с) такая, что ]и„] — !со при Л -э со. Возьмем какую. либо точку й 6 М(с) и построим вектор е! — — (иь — й) х ]иа — и] С, Л = 1, 2,.... По теореме Больцано — Вейерштрас- са из последовательности (е!) можно выбрать подпоследовательность (еь ), сходящуюся к некоторому вектору г,]г] = 1, Возьмем произвольное С > О.
Поскольку 0 < С/]иь — й] < 1 при всех Л > Ло, то в силу вы- пуклости М(с) имеем й+ Сг! — иь -1- ~1 — )ййМ(с), Л > Ло. ]иь — й] ]и! — й]/ Отсюда при Л -чсо получим й+ Сг 6М(с), так как М(с) замкнуто. В силу произвольности С > 0 заключаем, что и+ Се С М(с) при всех С > О, Теперь возьмем любую точку и 6 М(с) и покажем, что и+ Се 6 М(с) при каждом С > О, По доказанному й+ ре 6 М(с), р > О. В силу выпуклости М(с) тогда С / СЛ С(й — и) р р(й+Сгг)+/1 — ~! +Се+ ( ] 6М(~) при всех и > С. Отсюда при и — ! со с учетом замкнутости М(с) получим и+ Се 6 М(с) при каждом С > О. Зафикснртем какую либо точку о 6М(а)СМ(с), В силу построения вектора е тогда и+Сей 6 М(с), С > О. По условию множество М(а) ограничено, поэтому луч (о+ Се, С > О) пересекает границу выпуклого множества М(а) в некоторой точке, нли, точнее говоря, наидется число С =ацР(С: о+Сг Н М(а)) такое, что о+ Се 6М(а) пРи всех С > Со.
Это значит, что о+СэйХо, о= но с ) д(о+ Се) > а ) д(о) для асех С > ц!. Зафиксируем какое-либо С > Со. Тогда, пользуясь представлением о+Се=Л(о+ лг)+(1 — Л)о, 0< А <1, С и выпуклостью функции д(х), имеем у(о+ Се) (и Лд(о+(С/Л)е)+(!-Л)д(о), илн у(о+(С/Л)е) л > (д(о+ се) — у(о))/Л + у(о), О < Л < 1. Поскольку у(о ч- Сг) > д(о), то при Л -!+О отсюда )7З 172 Гл. 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА б 2, ВЫПУКЛЫЕ б>УНКПИИ Упражненнн ","у>! получим д(и 4(2/Л)е) -> оо.
Тогда найдется число Ло >О такое, что д(и+ (2/Л)е) > с при всех Л, 0 < Л < Ло. С дРУгой стоРоны, по постРоению вектоРа е имеем и+ (С/Л)е Е М(с) или д(и+ (2/Л)е) < с при всех Л, 0 < Л < 1. Полученное противоречие доказывает теорему. П Отметим, что требование полунепрерывностн снизу функции а теореме 17 существенно (см. ниже упражнение 21).
12. Наконец, получим оценку снизу скорости роста выпуклой функции для случая, когда множество точен ее минимума ограничено. Теорема 18. Пусть/(х) — выпуклая функция на Х =Е", /, = Ш1/(х) > -со, Х, = Е" =(иЕЕЯ: /(и)=/,) Ф >?>, ПриЧЕМ Х„вЂ” ОграииЧгииаг Миажгетаа, т. Е, СущЕСтВуЕт таКОЕ число Я >О, что Х, с Я„=(иЕЕ".!и — и,)<Л), где и„— какал-либо фиксированная точка из Х„, Тогда !пп /(и) = со и, болев того, верна оценка !ь! сх у (и) ) !и — »,1-".ЕЛ -л + /„уи К Яю — / (24) гдг/„и — — !п1 /(и))/„ГР ь',=(иее"; !и — и,!=гь), вгр г. Доказательство Возьмем любую точку и((Ь;, Поскольку и — и Я г Я и=и,+Л * = и+11 — )и,еГр Я, !и — и,( 1и — и,! !и — и,)) * то с учетом выпуклости /(и) имеем /,л < /(и) < ) (/(и) + (1 — ) ))/(и„).
Отсюда получаем требуемое неравенство (24). Согласно теореме !5 функция /(х) непрерывна на Е", и в силу теоремы 2.1.1 на замкнутом ограниченном множестве Гр Ь"„ она достигает своей нижней грани хотя бы в одной точке, Отсюда и иэ того, что замкнутые множества Х, и Гр Ь; не пересекаются, следует, что /,л > /„, Тогда из оценки (24) имеем 1!ш /(и) = оо.П !ь! ь Отметим, что для функции /(и) = !и), и Е Е", неравенство (24) превращается в тождест- венное равенство, Это значит, что оценка (24) на классе выпуклых функций является точной, Некоторые другие свойства выпуклых функций и множеств будут рассмотрены ниже. Существуют более широкие, чем выпуклые, классы функций, которые нзследу>ат некотоРые важные свойства выпуклых функций [774, 808).
Некоторые такие классы приведены ниже в упражнениях 33, 34, 1. при каких а, ь, с функция /(и) = ахз+ 2ьху+ суя переменных и = (х, у) е ез будет выпуклой на Ея? Вогнутой на Ез? 2. Найти области выпуклости и вогнутости функций /(и) = з!п(х+ у+ з), /(и) = а)п(х + + у +аз). 3. При каких р, д функция /(и) = х" рт будет выпуклой (или вогнутой) на множестве Х = 2.
= (и = (х, у) Е Е: х > О, у > О)> Аналогичное исследование провести для функции /(и) = = х" узл" на Х = (и = (х, у, л): х > О, у > О, з > 0), 4. Если функция /(и) выпукла, то будет ли выпуклой функция !/(и)!? 5. Если функция /(х( выпукла на Е™, а А — матрица размера га х и, то функция д(и) = =/(Аи) выпукла нв Е . Доказать.
6. Если /1(и), Яи) выпуклы, то будет ли их произведение выпуклой функцией? Рассмо- треть пример /1(и) = и, /2(и) = и . Что изменится, если от функций /1(и),72(и) потребовать 2 неотрицательности? Или монотонности? 7. Пусть функции /,(и) выпуклы на выпуклом множестве Х при всех 6 = О, 1,... и пусть существует предел 1ип /ь(и) = /(и) или сходится ряд ~; /ь(и) = /(и) при всех и Е Х. ь а=о Доказать, что функция /(и) выпукла на Х, 8. Выяснить, когда в неравенстве (2) возможно равенство, если /(и) — строго выпуклая функция.
9. Доказать неравенства: а) >э/х>..",х < — (х1+...+х ),х >О,, „х )О; 1 б) (х> -1-... -1- х )" < га" (х!" -1-... + х" ), х! > О,..., х > О, и > 1; г) Я !аг!!61~ < ( ~ !а>!г) (~' !61!2) Уаг, 62 Ей, — + — =1, р> 1, д >11 д (а> ...а ) / +(61...Ь ) /хЕ((а>+61)...(а +Ь ))Пт Уаз)0, Ьа)0. ') щ к аз анйе> воспользоваться неравенством (2) для выпуклых функций /(и) = — !пи, и>0; /(и) =и", и > О, и > 1; /(и)= и ', и >О, /(и) =и", и ) О, р) 1; /(и) =!и(1+ в") прн подходящим образом выбранных а„х;, > = 1,..., т. Выяснить, при каких условиях в этих неравенствах возможно равенство. 10.
Пусть ~ункция /(и), и е Е", такова, что /(хи+(1 — а)и) < а/(и) + (1 — а)/(и) при всех и и е е, и е В. Проверить, что аффинная функция /(и) =< а и > +6, ае еь, 6 е е Е', удовлетворяет этому неравенству Существуют ли другие функции, обладающие этим свойством? И. Для того чтобы функция /х) была строго выпуклой на выпуклом множестве Х, необхо- димо и достаточно выполнения неравенства (4) (а в случае /(х) е С (Х) — неравенства (б)), 1 которое может обратиться в равенство лишь при и = я. Доказать.
12. Доказать, что если Х вЂ” выпуклое множество, /(х) е С (Х) и неравенство (8) является 2 строгим при всех б е 1>п Х, б р' О, то функция /(х) строго выпукла на Х, Верно ли обратное утверждение? Рассмотреть пример /(х) = х, х Е Е, А 1 13. Пусть Х вЂ” выпуклое множество, /(х) выпукла на Х и /(х) Е С (Х), Доказать, что тогда критерий оптимальности (5) равносилен неравенству (/'(и),и — и,) > 0 при всех и Е Х . 14. Пусть /(х) — выпуклая функция на выпуклом множестве Х, /(х) Е С (Х ) и /„ = 1 = !и(/(х) > -оо. Доказать, что для того чтобы некоторая последовательность (и,) Е Х бы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
