Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Х ла минимизирующей, т, е. !!ш /(иь) =/„необходимо и достаточно выполнения условия ь- 1!ш (/'(иь), и — и ) > 0 при всех и Е Х (ср. с теоремой 3). ь я !5. Пусть строго выпуклая функция /(х) достигает нэ Е своей нижней грани, Доказать, что тогда бш /(и) = оо, 64 х Указание; воспользоваться теоремами 1, 18, 16. Пусть функция /(х) выпукла и полунепрерывна снизу на выпуклом замкнутом множе- стве Х из Е", /„> — оо, Х, р' >Э, причем Х„С Я, = (и Е Х: 1и — и>1< Л), где и„— какая либо фиксированная точка из Х„. Тогда /(и) ) (и — и„~-28Л вЂ” ь -1-.1, >7ие Х, и ф6" > -/* где /„я — — !п( /(и) >/ю ГР >, =(иЕХ !и — и,~= Л).
Доказать, пользУЯсь схемой доказательгрг, ство теоремы 18. ПЦ Выпуклая функция, отличная от постоянной, может достигать сваей верхней грани на выпуклом множестве лишь в его граничных точках. Доказать. 18. Для того чтобы функция р(и,Х) = !п1 1и — и! была выпуклой на Е", необходимо и те Х достаточно, чтобы замыкание множества Х было выпуклым Доказать, 19.
Пусть Х вЂ” ограниченное множество из Е". Доказать, что функция б(с, Х) = ацр (с, и) ьЕХ переменной с е Е", называемая опорной функцией множества Х, выпукла на ЕЯ, 20. Пусть Х вЂ” выпуклое множество из Е", 0 Е !п1 Х. Доказать, что функция р(и, Х(х !и! а, А„= (а; и > О, и/и е Х), называемая функцией Минковского, выпукла на Е ел„ 21. Пусть Х =(и =(х, у)! х,) О, у > 0) = Ез. Показать, что функция у, х>0, у>Оили 0<а<1, у=О, д(и) = х — 1, х>1, у=О, выпукла и полунепрерывна сверху, но не является полунепрерывной снизу на Х.
Убедиться, [74 Гл. 4, ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА 6 2, ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ что множество М(с) =(и б Х: д(м) < с) ограничено при с=О и не ограничено при всех с > 0 (ср, с теоремой 17), Показать, что М(с) не замкнуто при каждом с > О. 22. Множество Х, =(и и Е"; д;(и) < с, т = 1,..., гп), где д;(и) — выпуклая функция на Е", будет ограничено при любых с тогда и только тогда, когда Х, ограничено хотя бы при одн м с = „,. Д « 23. Пусть Х вЂ” неограниченное замкнутое выпуклое множество нз Е". Доказать, что 1) для любой точки е с Х существует ненулевой вектор е такой, что луч (и = в-? ее, 1 > > О) ц Х; 2) если луч (и= и+ зе, 1 > О) цХ при некотором е ц Х, то луч (н=ю+ те, з >О) ц Х при всех ю и Х.
Показать, что требование замкнутости Х существенно для обоих утверждений, рассмотрев множество Х = (и = (х, д); 0 < х < 1) О ((О, 0)). Указа н не: воспользоваться рассуждениями из доказательства теоремы ! 7. 24. Доказать, что функция [ хэ/д, дфО [О, д=О выпукла на множестве Х=(м=(х, д): д>0)0((0, 0)) и полунепрерывна снизу на Х. Убедить. ся, что /(и) не является полунепрерывной сверху в точке оо — - (О, 0), и, более тою, показать, что для любого числа А > 0 существует такая последовательность (иь) с Х, (иь) -г О, что 1пп /(иь) = А, 25. Пусть Х = (и и Е; Аи < Ь) — многогранное мнозгество, функция /(и) выпукла на Х. Доказать, что /(м) полунепрерывна сверху на Х [6!7, стр, 10!] 29.
ПУсть фУнкциЯ /(х) выпУкла и огРаничена свеРхУ на Еь = (и =(и,..., и ) б Е: и > ! и ч ! > О, „ич > 0). Доказать, что /(х) монотонна и не возрастает на Е" по каькдой переменной. 27. Доказать, что если выпуклая функция /(х) на Е" ограничена сверху, то /(х) постоянна, 28, Пусть /(м) — выпуклая дифференцируемая функция на отрытом выпуклом множестве Иг из Е". Доказать, что тогда градиент /'(и)=(д/(м)/ди~,..., д/(и)/ди") непрерывен на й' [617, стр. 263] (см. теорему 6.7).
29. Пусть /(х) — выпуклая функция на выпуклом множестве Х из Е". Доказать, что '/(х) удовлетворяет условию Липшица на каждом ограниченном множестве ]г, замыкание ноторою принадлежит и'Х.[617, стр, 103], 30. Пусть /(х) — выпуклая функция на открытом выпуклом множестве И' из Е". Доказать, что /(х) почти всюду на Иг дифференцируема [617, стр. 262[. 31. Пусть Хо — выпуклое замкнутое множество из Е", д(и) — выпуклая функция на Х,, Х=(ц 6 Хо д(ц) <О]. Пусть (мь) ЕХо, (д(иь)) — гО.
Можно ли утверждать, что (р(и, Х)) ч — гО? РассмотРеть пРимеР Хо — — (и= (х д) ц Еэ; х > 1), д(и) = д /х, иь —— (й, чйй), й = 1, 2, 32. Пусть Х вЂ” выпуклое замкнутое множество из Е", /(и) — выпуклая непрерывная функция нз Х, /„> — оо, Х„~ ЕГ. Пусть (иь) 6 Х, [/(мь)] — г/,. Можно ли ожидать, что (р(п, Х,)) — чО? Рассмотреть пример Х = (и= (х, д) б Е: х > 1), /(м)= д /х, иь — — (й, чгй), й=1,2,.... ЗЗ. Пусть Х вЂ” выпуклое множество. Функция /(х) называется кзаэизыпуклой на множе- стве Х, если /(ах 4 (1 — а)д) < щах[/(х);/(д)) тх, де Хда 6 [0, 1].
Доказать, что [774; 806]: 1) если /(х) выпукла на Х, то /(х) квазивыпукла на Х. Показать, что функция /(х) = хз квазивыпукла на любом отрезке в < х < Ь, где а < О, но невыпукла на [а, Ь]; 2) функция /(х) квазивыпукла на Х тогда и только тогда, когда множество Лебегз М(х) = = (де Х: /(д) </(х)) выпукло при всех х 6 Х (ср. с теоремой 10); 3) унимодальная функция на отрезке [а, Ь] (определение 1.1,7) кваэивыпукла на [а, Ь]; 4) привести пример квазивыпуклой функции, имеющей разрывы во внутренних точках мно- жества Х (ср. с теоремой 15); 5) будет ли сумма двух кваэивыпуклых функций квазивыпуклой? Рассмотреть пример: Д(х) = хз, /з(х) = -Зх, х, 6 Х = Е', 6) если /(х) б С'(Х), то /(х) квазивыпукла на Х тогда и только тогда, когда для всех х, д 6 Х, для которых /(х) < /(д), справедливо неравенство (/'(д), д — х) > 0; 7) привести пример квазивыпуклой функции, для которой выполнение неравенства (5) не гарантирует, что х, б Х„ 8) можно ли утверэкдать, что точка локального минимума квазнвыпуклой функции /(х), х и Х, является точкой ее глобального минимума на Х? Рассмотреть пример; /(х) = 0 прн [х[ < 1, /(х) = †(х 1- 1) при х < — 1, /(х) = (х — 1) при х > 1, Х = Е'.
34. Пусть Х вЂ” выпуклое множество, Функция /(х) с С (Х) называется псездозыпуклой ! на Х, если для всех х, д и Х, для которых (/'(х), д — х) > О, справедливо неравенство /(д) > > /(х) (ср. с п. 6 упражнения ЗЗ). Доказать что [315 774 806]. 1) если /(х) выпукла на Х, /(х) ц С'(Х), то /(х) псевдовыпукла на Х. Указа ние; воспользоваться неравенством (4): (/ (х), д — х) </(д)-/(х) тх, д ЕХ. Показать, по функция /(х) = — х, х б Х = [х ц Е ', х < О) псевдовыпукла, но невыпукла на Х; 2) если /(х) псевдовыпукла на Х, то /(х) квазивыпукла на Х.
Показать, что функция /(х) = †х, х и Х = (х 6 Е '. х < 0] квазивыпукла, но не является псевдовыпуклой на Х; 3) если /(х) псевдовыпукла на Х, то для тою чтобы х„ б Х„, необходимо и достаточно, чтобы (/'(х,), х — х,) > 0 тх ц Х (ср. с теоремой 3 и с п. 7 упражнения 33); 4) всякая точка локального минимума псевдовыпуклой функции /(х) на Х является точкой ее глобальною минимума на Х (ср, с теоремой 1 и с п, 8 упраяснения ЗЗ); 5) будет ли сумма двух псевдовып]клык функций псевдовыпуклой? Рассмотреть пример; /!(х)=х +х,/э(х)=-х, хбХ=Е; 6) функция /(х) псевдовыпукла на Х тогда и только тогда, когда для всех х, д н Х, для которых /(д) < /(х), справедливо неравенство (/'(х), д — х) < 0; 7) если /(х) псеадовыпукла на Х С Е', то /(х) — унимодальная функция (определе- ние 1.1,7).
Верно ли обратное утверждение? 8) дробнорациональная функция /(х) = — й, ог? -Ьс ~0, псевдовыпукла на любом отрезах -1- Ь ох+ К' ке [и, Ь], не содержащем точку я = — —; д, 9) для гладких выпуклых функций йз (4) следует двойное неравенство (/'(х), д — х) < /(д) — /(х) < (/'(д), д — х) Ух, д и Х, Автор полагает, что левое из этих неравенств подсказывает определение псевдовыпуклой ункции, а правое — определение квазивыпуклой функции (в форме п, 6 упражнения ЗЗ) одумайте над этим эвристическим соображением. 35. Пусть /(х) е Ск '(Е") (см. определение 2.6.3).
Доказать, что [234; 525]. /„ = 1п1 /(х) < /(х) — — ]/'(х)[~ Чх ц Е", (25) Указание, в неравенстве (2.6.7) принять х= д — Е/(д). 1 36. Пусть функция /(х) ц С!' '(Е") и выпукла на Е". Доказать, что [234; 525] — ]/ (х) — / (д)] < /(х) — /(д) — (/ (д), х — д) чх, д ц Е (26) Указание: к функции д(х) =/(х) — /(д) — (/'(д),х — д) применить неравенство (25); убедиться, что д„= ]п] д(х) = д(д) = О. Сравните неравенство (26) с (4). аея" 37. Для выпуклых функций /(х) 6 С' '(Е") доказать неравенство (19), опираясь на нера.
венство (26) [234; 525] У к а з а н и е: в (26) поменять ролями х, д и сложить получившееся неравенство с (26). 38. Остается ли верной теорема 5, если функция /(х) в некоторых точках множества Х не имеет второй производной, но непрерывна в них? Рассмотреть примеры; /(х) = ([х] — 1)э, /(х) = — [х], х е Е 39. Доказать, что каждая дважды непрерывно дифференцируемая функция /(х) на компактном множестве представима в виде разности двух выпуклых функций. Указание рассмотреть функции /!(х) = /(х) -1- охз, /э(х) = ах, где и достаточно большое положительэ нос число. 40. Доказать, что всякая непрерывная функция на компактном мноэкестве является пределом равномерно сходящейся последовательности функций, представимых в виде разности двух выпуклых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
