Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть А — компактное мнохгестао кз Ех, И' — открытое аьтуклое множество аэ Е", функция О(и, а) определена иа ИГ х А, полунеярерыана сверху по а при каждом и е ИГ, выпукла ло переменной и е И" при каждом а е А. Тогда функция Ф(и) = шахС(и, а) выпукла на И' и ее субдифференциал имеет аад ел дФ(и)=со ( () дО(и а)), Л(и)= (а: аЕ А, О(и а)= Ф(и)), и Е И'. (!!) «ся(«) Доказательство может быть проведено по той же схеме, как и теорема 9, и представляется читателю. !2. Если А — выпуклое замкнутое ограниченное множество из Е", то функция Ф(и) = = шах(а, и), и е Ег', выпукла на Е", причем, как следует из (11) при 0(и, а) =(а, и), имеем ел дФ и)= (а: аеА, (а,и)=Ф(и)).
олее подробно о перечисленных и других правилах субдифференцирования, о различных свойствах субдиффереицизла, о различных обобщениях понятий субградиента и субдифференциала, о применении этих понятий для исследования и приближенного решения экстремальных задач см., например 1234; 251; 263; 264; 302; 314; 358; 434; 495; 499; 502; 542; 543; 604; 605; 613; 617; 670; 720; 795; 814). Упражнени)в 1. Найти субдифференциалы функций: а) /(и) = (и — 1(, и Е Е; б) /(и) =)и — 1(+ (и-~- 1(, и Е Е; в) /(и) = )х + у(+ (х — д/, и = (х, у) Е Е г) /(и) = шах(и, и+2), и Е Е; д) /(и) = гпах((и(1(и — 1!), и Е Е'! е) /(и) =((а, и) — Ь|, и Е Е'*; 2. Пусть функции /1(и), ч/ (и), и е Е", непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точни и.
Доказать, чт™о тогда функция /(и) = шах /1(и) в точке и имеет производные по любому направлению е, (е(= 1, причем -/(и) = шах (/,.'(и),е), 1(е) =(!': 1 < ! < га, /1(о) =/(и)). де !ец«) Установить связь между этой формулой и формулами (7), (10).
3. Найти субдифференциалы функций /(и) = шах (2 + хт + д(, /(и) = шах (х( + ут(, /(и) = шах (х+ !у|, и=(х, у) ЕЕ . 4. йусть А — замкнутое ограниченное множество из Е, функция д(и, а) непрерывна 0<141 пь по совокупности переменных (и, а) на Е" х А вместе с производной дд(и, а)/ди. Доказать, что тогда функция /(и) = шах д(и, а) во всех точках е е е«имеет производную по любому «ел направлению е, (е! = 1, причем шах (2(-г — ), е), Ао(и) = (а; а е А, д(и, а) = /(и)). -/(;) -.„,, Установить связь между этой формулой и формулами (7), (11).
5. Пусть /(и) — выпуклая функция одной переменной на отрезке (а, Ь). Доказать, что д/(и) = [/'(и — 0), Г'(и+ 0)) при всех и е (а„Ь), где /'(и — 0), /'(и+ 0) — левая и правая производные в точке и. Показать, что в точках и= а или и= 5 субдифференциал может быть пустым (рассмотреть пример /(и) = -тг 1 — и, (и( < 1). 2 6. Пусть /(и) — выпуклая функция на выпуклом множестве Х из Е". Доказать, что при всех и Е и' Х множество д/(и) непусто, выпукло, компактно, причем | —— швх (с, е) для всех е е Ъ(п Х.
7, Пусть Х вЂ” выпуклое множество, функция /(х) выпукла на Х. Доказатгь что д/(х) П г) !.|п Х Р' )2( при !!Гх е и' Х, т. е. субградиент всегда можно выбрать в !.|п Х. 8. Пусть функция /(и) определена на открытом выпунлом множестве ИГ с Е" и такова, что функция Ф(и) = (/(!«)( выпукла на И', Описать множество дФ(и), и Е И'.
9. Описать субдифференциалы фуннций р(и, Х), б(с, Х), ГГ(и, Х) из упражнений 18-20 к $ 4.2. 10. Пусть /(и) — выпуклая функция на открытом выпуклом множестве И' из Е", пусть субдифференциал д/(и) в некоторой точке и е ИГ состоит из единственного элемента с. До. казать, что /(и) дифференцируема в точке и, причем /'(и) = с, 20Б Гл. 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА 4 7. РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 207 П.
Пусть /(и), С(и) — выпуклые функции на открытом выпуклом множестве И' из Е", причем д/(и) = дС(и) при всех и е И'. Доказать, что тогда /(и) = С(и)+ сопз1, и е Иг, !2. Пусть функция /(и) выпукла на открытом выпуклом множестве И" из Е'. Доказать, что для того чтобы /(и) была сильно выпуклой на И', необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки а е И' существовал субградиент с(е) е д/(и) такой, что /(и) — /(с) > (с(а),и — а) + -х)и — и|' )уи е Иг, х = сопя( > О 1 13.
Пусть функция /(и) сильно выпукла на открытом выпуклом множестве Иг из Е" с постоянной сильной выпуклости х. Доказать; в) (с(и) — с(е), и — и) ) х|и — а(з для всех Чи, и е Ис, с(и) е д/(и), с(в) е д/(и); б) д/(и) г) д/(и) = О для всех и, ее Ис, и фа; в) для любой точки ее Ис справедливо неравенство )и-и) < — „пип |с) для всех и еМ(е) = ! = (и е И': /(и) < /(и)). еау( ) Опираясь на это утверждение, доказать теорему 3.1 для любого выпуклого замкнутого множества Х С Иг.
14. Пусть функция /(и) выпукла на открытом выпуклом множестве Ис с Е' и сильно выпукла на выпуклом замкнутом подмножестве Х с Иг. Доказать, что тогда О < /(и) — /, ( — пип )с), |и — и„) < — ппп )с| 1 2 ! 4х севу(т) * 2х е ау(т) где и„— точка минимума /(и) на Х, /, =/(и„). 15. пусть функция /(и) сильно выпукла на е', Доказать, что для любого с е е" существует такая единственная точка и(с) е Е", что с е д/(и(с)). Указание: рассмотреть точку минимума функции у(и) =/(и) — (с, и) на Е". !6.
Доказать, что оператор проектирования на выпуклое замкнутое множество является монотонным, замкнутым, компактным отображением. У к а з а н и е; воспользоваться теоре. мами 4.4.2, 4.4.3, неравенствам (4.4.4). 9 г. Равномерно выпуклые функции 1. Рассмотренный в $3 класс сильно выпуклых функций обладает замечательным свойством — для функций этого класса имеет место теорема 3.1. Однако этот подкласс выпуклых функций недостаточно широк и не содержит, например, такую выпуклую функцию, как /(х) = х(, х а Е', которая, между прочим, достигает своей нижней грани на любом выпуклом замкнутом множестве из Е', причем в единственной точке. Хотелось бы выделить такой подкласс выпуклых функций, для которого была бы верна теорема типа теоремы 3.1 и который был бы шире класса сильно выпуклых функций, Оказывается, таким классом является класс равномерно выпуклых функций.
Оп р е дел е н и е 1.Функцию /(х), определенную на выпуклом множестве Х, называют равномерно выпуклой на Х, если существует неотрицательная функция б(!), определенная при всех 1, 0<1< Йагп Х= зцр)и — и~, б(0)=0, б(!о)>0 при некотором 1„0<~< Йа(п Х, и такая, что ™ тех /((хи+ (1 — а)и) < сс/(и) + (1 — а)/(и) — сс(1 — сх)б(!и — и/) (1) при всех и, и е Х, ст е [О, Ц, Функцию б(1) называют модулем выпуклости функции 7(тл) на Х, а функцию а/ и -(- 1 — а е — / ам+ 1 — ст и О( ()(ь — т(=г,сс, ех а(1 — а) точна(м модулем выпуклости /(х) на Х.
Если равномерно выпуклая функция имеет модуль выпуклости б(1) > 0 при всех 1, 0 < 1 < Йагп Х, то такую функцию называют строго равномерно выпуклой на Х 11911. Очевидно, всякая сильно выпуклая функция является строго равномерно выпуклой с модулем б(1) = -х1'. Сумма равномерно выпуклой функции ! с модулем б(!) и выпуклой функции будет равномерно выпуклой с мо- дулем б(1).
Если /(х) равномерно выпукла с модулем б(!), то функция д(х) = с/(х) при любом с = сопз! > 0 также будет равномерно выпуклой с модулем сб(2). Если р(1) — точный модуль выпуклости равномерно выпук- лой функции /(х) на Х, то любая функция б(1) < /4(4), 0 < 1 < Йагп Х, неотрицательная, нетождественно равная нулю, б(!) = О, будет модулем выпуклости функции /'(х) на Х, Следующая теорема является обобщением теоремы 3.1. Т е о р е м а 1. Пусть Х вЂ” выпуклое замкнутое множество из Е" (например, Х = Е"), а функция /(х) равномерно выпукла и полунепре- рывка снизу на Х. Тогда: /) множество Лебега М(и) =(и: и е Х, /(тл) < у(и)) выпукло, замкну- то и ограничено при всех и е Х; 2) у„=! п1 /'(и) > — со, Х„= (и: и Е Х, /(и) = у".) ф Я; 3) имеет место неравенство б()и — и,!) < 7(и) — /(и,) (2) при всех и е Х, и„е Х.; 4) если, кроме того, /'(х) строго равномерно выпукла на Х, то Х„ состоит из единственной точки и, и всякая минимизирующая последо- вательность (иь); (иь) е Х, 1пп /(и ) = ~„сходится к точке и,.
Ь со Для доказательстве этой теоремы нам понадобятся следующие две леммы о свойствах точ- наго модуля выпуклости. Л е м м а 1. Пусть и(!) — тачньсй модуль выпуклости равномерно аьтуклой функции /(х) на аьспунлом множестве Х. Тогда м(сг) > с р(г) (3) для всех с>1, ! >О, О(с(<жатХ. Доказательство. Сначала рассмотрим случай 1 < с <2, По определению р(сг) лля любого г > О существуют точки и(, иэ е х и число а, О < а с 1, такие, что !и( — иг/ = сг и а/(и )+(! — а)/( ) — /(и ) а(1 — а) где и = аи(+(1 — а)их. Отсюда имеем а/(и() + (1 — сс)/(ия) — у(и„) < а (1 — сс) р(с! ) + а (1 — а) г.
(4) Можем считать, что О < а ( 1/2, так как в противном случае в (4) точки и( и из мох(но поменять ролями. Тогда с учетом ! ( с < 2 мажем сказать, что О ( а К (ас с 1. Кроме того, 1/2 < 1/с < 1, поэтому из — — (1/с)и(+(1-1/с)из еХ, причем |из — из|=|и) — из|/с = г. Заметим также, что и = асиз+ (1 — ас)из. Тогда /(и ) ( (1/с)/(и() + (1 — 1/с)/(иэ) — (!/с)(1 — 1/с)р(с!), /(и ) < ас/(из) -(- (1 — ас)/(щ) — ас(1 — ас)р(г). Умно4ким первое из этих неравенств на ас и сложим со вторым.
Учитывая неравенство (4), получаем ас(1/с)(1 — !/с)р(сг) + ас(1 — ас))с(() ( < а/(и() + (ас — а)/(иэ) — (! — ас)/(и)) — /(и ) = = а/(и )-(-(1 — а)/(их) — /(и ) < а(1 — а)М(с!) + а(1 — сс)г 209 208 8 1. РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ Гл. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
