Н.Ф. Степанов - Лекции (1124223), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Cnh (n/m) îäíà îñü n-ãî ïîðÿäêà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê ïëîñêîñòè ñèììåòðèè; çàìåòèì, ÷òî Cnh = Cn × Cs , è íàðÿäó ñ ïîâîðîòàìè èëè îòðàæåíèåì â ïëîñêîñòè ãðóïïàâêëþ÷àåò â ñåáÿ çåðêàëüíî-ïîâîðîòíóþ îñü Sn . Ïðè ÷¼òíûõ n äîïîëíèòåëüíî ïîÿâëÿåòñÿöåíòð èíâåðñèè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îñè ñèììåòðèè ñ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè.5. Dn (n22) îäíà îñü n-ãî ïîðÿäêà è n ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê íåé îñåé âòîðîãî ïîðÿäêà;ñèììåòðèÿ ïîâîðîòîâ (âðàùåíèé) ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïðèçìû. Äëÿ ãðóïïû ñèììåòðèèðîìáà (222) èíîãäà èñïîëüçóþò ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå D2 = V .6. Dnh = Dn × Cs (n/mm, n = 2k + 1; n/mmm, n = 2k) îäíà îñü n-ãî ïîðÿäêà, ÷åðåçêîòîðóþ ïðîõîäÿò n ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè, à òàêæå ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê ãëàâíîé îñè, â êîòîðîé ëåæàò n îñåé âòîðîãî ïîðÿäêà; ñèììåòðèÿ ïðàâèëüíîén-óãîëüíîé ïðèçìû. Âåðòèêàëüíûå ïëîñêîñòè ñèììåòðèè âíîâü (êàê è â ãðóïïàõ Cnv ) ðàçäåëÿþòñÿ íà σv è σd .7.
Sn îäíà çåðêàëüíî-ïîâîðîòíàÿ îñü n-ãî ïîðÿäêà; ïðè íå÷¼òíûõ n Sn = Dn , ïðè÷¼òíûõ n Sn = Cn/2 × Ci òàêèå ãðóïïû ìîãóò áûòü îáîçíà÷åíû êàê n̄.8. Dnd (n̄22) îäíà çåðêàëüíî-ïîâîðîòíàÿ îñü n-ãî ïîðÿäêà (n ÷¼òíîå), ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê íåé ïëîñêîñòü ñèììåòðèè è n îñåé âòîðîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíûê ãëàâíîé îñè è íå ëåæàò â σh .9. T ãðóïïà âðàùåíèé ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà (4 îñè òðåòüåãî ïîðÿäêà, ïðîõîäÿùèå÷åðåç âåðøèíû òåòðàýäðà è 3 îñè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ñåðåäèíû ñêðåùèâàþùèõñÿ ð¼áåð).
Td (4̄3m) ïîëíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà | Td | = 24(ïîìèìî ýëåìåíòîâ T Td ñîäåðæèò øåñòü ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè è òðè îñè S4 ). Îòìåòèìòàêæå ãðóïïó Th = T × Ci .10. O, Oh (m3m) ãðóïïà âðàùåíèé (3 îñè ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà, 4 îñè òðåòüåãî ïîðÿäêà è øåñòü îñåé âòîðîãî ïîðÿäêà) è ïîëíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî îêòàýäðàñîîòâåòñòâåííî (ê O äîáàâëÿþòñÿ 9 ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè, èíâåðñèÿ, 4 îñè S6 è 6 îñåéS4 , | Oh | = 48); Oh = O × Ci .11.
I, Ih ãðóïïà âðàùåíèé è ïîëíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî èêîñàýäðà.12. C∞v (∞m), D∞h (∞m)¯ ñèììåòðèÿ ëèíåéíûõ è ëèíåéíûõ ãîìîÿäåðíûõ ìîëåêóë ñîîòâåòñòâåííî: ñîäåðæàò îñü ñèììåòðèè áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà è áåñêîíå÷íîå ÷èñëîïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íå¼ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè; ãðóïïà D∞h òàêæå ñîäåðæèò ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ãëàâíîé îñè.13. K ãðóïïà âðàùåíèé øàðà (ñîäåðæèò âñå âîçìîæíûå ïîâîðîòû âîêðóã âñåõ îñåéñèììåòðèè, òî åñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî C∞ ); Kh = K × Ci ïîëíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè øàðà.Îáîçíà÷åíèå íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íûõ ãðóïï: îäíîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ îáîçíà÷àþò áóêâàìè A, B; äâóìåðíûå E, òð¼õìåðíûå F èëè T ; äëÿ ïðåäñòàâëåíèé áîëåå âûñîêîé ðàçìåðíîñòè èñïîëüçóþò àëôàâèòíûé ïîðÿäîê G(n = 4), H(n = 5), è48ò.
ä. Åñëè â îäíîìåðíîì ïðåäñòàâëåíèè χ(Cn ) = 1, òî èñïîëüçóþò áóêâó A; åñëè χ(Cn ) = −1 ñèìâîë B; äëÿ îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ χ(σh ) = 1 ê áóêâå äîáàâëÿþò îäèí øòðèõ,à äëÿ ïðåäñòàâëåíèé ñ χ(σh ) = −1 äâà øòðèõà. Íàêîíåö, ïðåäñòàâëåíèÿ ñ χ(i) = n (n ðàçìåðíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ) íàçûâàþò ÷¼òíûìè è îáîçíà÷àþò äîïîëíèòåëüíîé áóêâîég (gerade) â íèæíåì èíäåêñå, ïðåäñòàâëåíèÿ ñ χ(i) = −n íàçûâàþò íå÷¼òíûìè è îáîçíà÷àþò áóêâîé u (ungerade).Òàáëèöû õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íûõ ãðóïï: ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå òàáëèö õàðàêòåðîâ íà íåêîòîðûõ, íàèáîëåå âàæíûõ ïðèìåðàõ. Ïðè ïîñòðîåíèè òàáëèö õàðàêòåðîâ èñïîëüçóþò ñâîéñòâî õàðàêòåðîâ îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé(χD (gh) = χD (g)χD (h)), ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (òåîðåìà 2, 1.2) è òåîðåìó Áåðíñàéäà (òåîðåìà 3, 1.2).
Òàáëèöó õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïï ñòðîÿò êàê òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ òàáëèö äëÿ ïîäãðóïïñîìíîæèòåëåé, ðàññìàòðèâàÿ ýòè òàáëèöû êàê ìàòðèöû. Íàïîìíèì, ÷òî õàðàêòåð äëÿ åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà âñåãäà ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ.1. Cs , Ci . Ïîðÿäêè ãðóïï ðàâíû äâóì, ïîýòîìó åñòü äâà îäíîìåðíûõ íåïðèâîäèìûõïðåäñòàâëåíèÿ (ñèììåòðè÷íîå è àíòèñèììåòðè÷íîå), îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè.Cs (Ci ) e σ(i)A0 (Ag ) 1 1A00 (Au ) 1 −12. C3 . Ïîðÿäîê ãðóïïû ðàâåí òð¼ì, ïîýòîìó ñóùåñòâóþò òðè îäíîìåðíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ; îäíî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì. Ïóñòü äëÿ âòîðîãî χ2 (C3 ) = α ⇒χ2 (C32 ) = α2 , χ2 (C33 ) = α3 = 1, ïîñêîëüêó C33 = e; îòñþäà α = eiòðåòüåãî ïðåäñòàâëåíèÿ β =4πei 32π3= ε; àíàëîãè÷íî äëÿ= ε2 .C3A1A2A3e C3 C321 1 11 ε ε21 ε2 ε3.
C3v . Ãðóïïà ñîäåðæèò 3 êëàññà ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ: e, 2C3 , 3σv ; âñåãî 6 ýëåìåíòîâ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò äâóì îäíîìåðíûì è îäíîìó äâóìåðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Ïåðâîå èç îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì, âòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ïðèìåðîì χ2 (C3 ) = α, χ2 (σv ) = β; C3 σv = σv , ïîýòîìó αβ = β ⇒α = 1.
β = −1 îïðåäåëÿåòñÿ òðåáîâàíèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè è íîðìèðîâêè õàðàêòåðîâ.Ýòè æå òðåáîâàíèÿ îäíîçíà÷íî çàäàþò õàðàêòåðû äâóìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ χ3 (e) = 2,χ3 (C3 ) = γ, χ3 (σv ) = δ ⇒ 2 + 2γ + 3δ = 0, 2 + 2γ − 3δ = 0 ⇒ δ = 0, γ = −1.
Çàìåòèì, ÷òîòî÷íî òàêîå æå ïîñòðîåíèå (ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû σv íà C2 )ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî äëÿãðóïïû D3 .C3v (D3 ) e 2C3 3σv (3C2 )A11 11A21 1−1E2 −104. C2h = C2 × Cs ãðóïïà èìååò ÷åòûðå îäíîìåðíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ.C2 e C2Cs e σA 1 1 ⊗ A0 1 1B 1 −1A00 1 −149=C2hAgAuBuBge σh C2 i1 1111 −1 1 −11 1 −1 −11 −1 −1 15.
D3h = Cs × D3 . Âíîâü ïîñòðîèì òàáëèöó õàðàêòåðîâ êàê ïðîèçâåäåíèåCs e σA0 1 1 ⊗A00 1 −1D3A1A2Ee 2C3 3C21 111 1−12 −10=D3hA01A02E0A001A002E 00e 2C3 3C2 σh 2S3 3σv1 111111 1−1 11 −12 −102 −1 01 11 −1 −1 −11 1−1 −1 −1 12 −10 −2 106. D4h = Cs × D4 ñèììåòðèÿ ïëîñêîãî êâàäðàòà; ãðóïïà D4 ñîäåðæèò 5 êëàññîâ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ÷åòûð¼ì îäíîìåðíûì è îäíîìó äâóõìåðíîìóïðåäñòàâëåíèÿì.CsA1A2=D4hA1gA2gB1gB2gEgA1uA2uB1uB2uEuD4A1e σhA21 1 ⊗B11 −1B2Ee C21 11 11 11 12 −21 11 11 11 12 −2e C2 2C4 2C20 2C2001 11111 11−1 −11 1 −11−11 1 −1 −112 −2 0002C4 2C20 2C2001111−1 −1−11−1−1 −110001111−1 −1−11−1−1 −11000i11112−1−1−1−1−2σh1111−2−1−1−1−122S411−1−10−1−1110=2σv1−11−10−11−1102σd1−1−110−111−107.
T . Ãðóïïà ñîäåðæèò 12 ýëåìåíòîâ, ðàçäåë¼ííûõ íà 4 êëàññà ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ:e, 4C3 , 4C32 , 3C2 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òð¼ì îäíîìåðíûì è îäíîìó òð¼õìåðíîìó ïðåäñòàâëåíè2π4πÿì. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå C33 = e, íàõîäèì, ÷òî χ2 (C3 ) = ei 3 = ε, χ3 (C3 ) = ei 3 = ε2 ;íîðìèðîâêà òðåáóåò, ÷òîáû χ2 (C2 ) = χ3 (C2 ) = 1. Õàðàêòåðû òð¼õìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿîïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè.TA1A2A3Fe 4C3 4C32 3C21 1111 εε211 ε2ε13 00−18. Td .
Ýòà ãðóïïà íå ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîýòîìó íóæíî îñóùåñòâëÿòü ïîëíîå ïîñòðîåíèå òàáëèöû õàðàêòåðîâ; 24 ýëåìåíòà ðàçáèòû íà ïÿòü êëàññîâñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ e, 8C3 , 3C2 , 6S4 , 6σv , ÷òî ïîçâîëÿåò âûäåëèòü äâà îäíîìåðíûõ, îäíî äâóõìåðíîå è äâà òð¼õìåðíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ.
Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòèîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò õàðàêòåðû A2 (χA2 (C3 ) = 1, ïîñêîëüêó C33 = e). χE (e) = 2, ïîýòîìó,äëÿ ñîõðàíåíèÿ íîðìèðîâêè è îðòîãîíàëüíîñòè, χE (S4 ) = χE (σv ) = 0; õàðàêòåðû äâóõìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé îïðåäåëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíîñòüþ ê îäíîìåðíûì ïðåäñòàâëåíèÿì.50Íàêîíåö, χF1 (e) = 3, ïîýòîìó, èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé, χF (C3 ) = 0, à îñòàëüíûå χF ïîìîäóëþ ðàâíû 1.Td e 8C3 3C2 6S4 6σvA1 1 1111A2 1 11 −1 −1200E 2 −1−1 −1 1F1 3 0F2 3 0−1 1 −19.
O, Oh . Ãðóïïà O ñîäåðæèò 24 ýëåìåíòà, êîòîðûå ðàçáèòû íà 5 êëàññîâ ñîïðÿæ¼ííûõýëåìåíòîâ: e, 6C4 , 3C2 , 8C3 , 6C2 (3C2 ïîâîðîòû íà π âîêðóã îñåé C4 ). Òàêèì îáðàçîì, Oèìååò äâà îäíîìåðíûõ, îäíî äâóõìåðíîå è äâà òð¼õìåðíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ;ïîñòðîåíèå òàáëèöû àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ.
Oh = Ci × O, ÷òî èñïîëüçóåòñÿïðè ïîñòðîåíèè òàáëèöû äëÿ Oh ..OAe iB1 1 ⊗E1 −1F1F2CiAgAu=OhAgBgEgF1gF2gAuBuEuF1uF2ue1123311233e 6C4 3C2 8C3 6C21 11111 −111−12 02−103 1−10−13 −1 −1016C4 3C2 8C3 6C21111−111−102−101−10−1−1 −1011111−111−102−101−10−1−1 −101i11233−1−1−2−3−36σd1−101−1−110−113σh112−1−1−1−1−211=8S611−100−1−11006S41−10−11−1101−1Íåïðåðûâíûå ãðóïïû: ãðóïïû C∞v , D∞h , K, Kh íå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè, ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè, ïðåäñòàâëåííîéâ ãëàâå 1. Òåì íå ìåíåå, ïîëíîå ðàññìîòðåíèå òåîðèè íåïðåðûâíûõ áåñêîíå÷íûõ ãðóïï ïðèâåä¼ò ê êðàéíå òÿæ¼ëûì ïîñëåäñòâèÿì, ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ êðàòêîé ñâîäêîé îñíîâíûõå¼ ðåçóëüòàòîâ.Îïðåäåëåíèå ïðèâîäèìûõ è íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé áåç èçìåíåíèé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà íåïðåðûâíûå ãðóïïû; â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâ ïðåäñòàâëåíèé ïî-ïðåæíåìó ìîãóòâûñòóïàòü êîíå÷íîìåðíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà, à ïîòîìó, êàê è äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï,âñÿêîå ïðåäñòàâëåíèå â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óíèòàðíîìó.
Òàêèì îáðàçîì, ëåììû Øóðà âûïîëíÿþòñÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï. Ïî àíàëîãèè ñêîíå÷íûìè ãðóïïàìè ìîãóò áûòü ââåäåíû ôóíêöèè íà ãðóïïå è, â ÷àñòíîñòè, õàðàêòåðû;ïðè âû÷èñëåíèè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà ãðóïïå, ñóììà çàìåíÿåòñÿ íà èíòåãðèðîâàíèå ïî ãðóïïå, îñóùåñòâëÿåìîå â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåë¼ííûìèïðàâèëàìè, ðàññìàòðèâàòü êîòîðûå íå áóäåì. Âàæíî ëèøü òî, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõíåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé íåïðåðûâíîé ãðóïïû ñ÷¼òíî, à õàðàêòåðû ïîä÷èíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿì îðòîãîíàëüíîñòè, äîêàçàííûì äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï â òåîðåìå 2 (1.2).Íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ñëîæíîñòü òåîðèè, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû Kõîðîøî èçâåñòíû: îïåðàòîðû êîìïîíåíò óãëîâîãî ìîìåíòà Jx , Jy , Jz ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îïåðàòîðû áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ, òî åñòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè J2 ÿâëÿþòñÿ51áàçèñàìè ïðîñòðàíñòâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé K .
Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûåïðåäñòàâëåíèÿ K èíäåêñèðóþòñÿ îðáèòàëüíûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè l; îáû÷íî èõ îáîçíà÷àþò òàêæå, êàê îðáèòàëè àòîìà âîäîðîäà, íî ñ çàìåíîé ëàòèíñêèõ áóêâ íà ãðå÷åñêèå:Σ(l = 0), Π(l = 1), ∆(l = 2), Φ(l = 3), Γ(l = 4), è ò. ä.  ïðèíöèïå, ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû è ïîëóöåëûå l, îäíàêî äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ äåëàòü ýòîãî íå áóäåì. Êëàññîìñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ K ÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ïîâîðîòû íà çàäàííûé óãîë ϕ .
Äëÿâû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîâîðîò âîêðóã îäíîé èç îñåé íàïðèìåð,z; ïðîåêöèè íà ýòó îñü ñîîòâåòñòâóåò ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî m, à ïðåîáðàçîâàíèåâîëíîâûõ ôóíêöèé ïðè ïîâîðîòå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîñòûì äîìíîæåíèåì íà eim ϕ . Òîãäà,èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, çàïèøåìχl (ϕ) =lXeim ϕ = e−il ϕm=−l=1ei(l+ 2 ) ϕiϕe2−ei(l+1) ϕ − e−il ϕei(2l+1) ϕ − 1==ei ϕ − 1ei ϕ − 11e−i(l+ 2 ) ϕ−−eiϕ2=sin(l + 12 ) ϕ.sin ϕ2(5.2.1)Ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîãî ýëåìåíòà ñèììåòðèè öåíòðà èíâåðñèè â Kh óäâîèò ÷èñëîíåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, ïîñêîëüêó Kh = K × Ci ; ïîëîâèíà èç ýòèõ ïðåäñòàâëåíèéÿâëÿþòñÿ ÷¼òíûìè, ïîëîâèíà íå÷¼òíûìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
