Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В нашем примере она является функцией времени и координат обоих электронов. Обнаружив в какой-то момент времени один из электронов, принципиально иеэоэмогзсио решить, будет ли это электрон 1 или электрон 2. Невозможность принципиального решения того или иного вопроса означает, что самый вопрос поставлен неправильно. К таким искусственно поставленным вопросам с точки зрения квантовой механики относится и разбираемый нами вопрос о различении двух одинаковых частиц.
Если две одинаковые частицы поменять местами, то результат такого обмена никак, нельзя обнарулсить экспериментально. От всякой теории естественно требовать, чтобы два состояния, принципиально неразличимые никакими альпами, она рассматривала как одао и то эюе состояние. Именно так поступает квантовая механика, которая принимает, что при перестановке двух одинаковых частиц не возникает нового состояния системы: оно остается абсолютно тем же, что и до з 46) Тождественность частиц и принцип Паули 27! перестановки. Одинаковые частицы принципиально неразличимы или обезличень1. Можно говорить о состоянии системы одинаковых частиц только в целом, а не о состоянии каждой частицы в отдельности.
Это положение можно формулировать в виде принципа гпооюдественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке места и двух любых частиц. Этот принцип в квантовой механике является существенно новым, т.е. логически не вытекает из остальных основных положений ее, но можно доказать, что он не противоречит им. Его следует принять, поскольку он подтверждается всей совокупностью опытных фактов. 2. Состояние системы час гиц в квантовой механике характеризуется волновой функцией.
Какие же волновые функции допустимы, т.е. удовлетворяют принципу тождественности одинаковых частиц? Для решения этого вопроса достаточно ограничиться рассмотрением системы из двух одинаковых частиц. От зависимости волновой функции от времени 2 можно отвлечься и писать ее в виде Ч1(Ч1, Ч2). В случае бесспиновых частиц под Ч1 следует понимать совокупность трех пространственных координат первой частицы, а под Ч2 вгорой. Если же частица обладает спинам, то к тройке пространственных координат следует еще добавить спиновые координаты, которые могут принимать дискретный ряд значений. Например, в случае электронов проекция спина может принимать два значения: +1/2 и — 1/2.
Эти значения в рассматриваемом случае и являются спиновыми координатами. Переставив теперь местами частицы 1 и 2, получим функцию 2Р(Ч2, Ч1). Эту операцию можно рассматривать как действие на функцию !У(Ч1, Ч2) линейного оператора Р, называемого оператором перестановки: 2у(Ч2~ Ч1) = Ргр(Ч1, Ч2). Переставив рассматриваемые частицы вторично, получим исходную функцию ч (Ч1~ Ч2) Р!у(Ч2~ Ч1) Р ч'(Ч1~ Ч2) Отсюда Р2 = 1, а потому Р = х!.
Значит, допустимы волновые функции двух типов: ч'8(Ч1 Ч2) чч(Ч2 Ч1) (46.1) Ф 1Ч1 Ч2) Фа(Ч2; Ч1) (46.2) В первом случае волновая функция при перестановке частиц не изменяется. Она называется симметричной, а потому и снабжается индексом в. Во втором случае функция называется антис мметричной н снабжается индексом и. Антисимметричная функция при перестановке одинаковых частиц меняет знак. [Гл. ЪЧ Атомные системы со мног1 ми электронами 272 Полученные результаты обобщаются и для систем., состоящих из какого угодно числа одинаковых частиц.
В этом случае, как показываег опыт, симметрия или антисимметрия волновой функции имеет место при перестанонке любых двух одинаковых частиц. 3. Частицы, состояние которых описывается симметричными волновыми функциями, называются бозе- гастицами или бозонами. Частицы же, описываемые антисимметричными волновыми функциями, называются ферми-частицами или фермиопами. 'Гакие названия приняты потому, что системы, состоящие из бозонов, подчиняются статаистаике Бозе — Эйнштейна, а состоящие из фермионов — - статистпике Ферми — Дирака (см. т. 11, З 82).
К бозонам относятся фотоны, хи К-мезоны — вообще все частицы с нулевым или целым свином. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные частицы и античастицы с полуцелым свином. Связь между спином и статистикой, установленная сначала эмпирически для фотонов и электронов, была в 1940 г. распространена теоретически Паули на все элементарныс частицы и античастицы. Паули установил эту связь, исходя из самых общих принципов квантовой теории —- релятивистской инвариантности, неотрицательности полной энергии, причинности и т.п.
Указанная связь между спином и статистикой справедлива и для сложных частиц, построенных из элементарных, т.е. для атомных ядер, атомов и молекул, если только рассматриваюгся явления при достаточно низких энергиях, в которых каждая из сложных частиц ведет себя как целое. Принадлежность сложной частицы к бозонам или фермионам определяется ее спином. Например, атом водорода состоит из двух ферми-частиц; протона и электрона, спин каждой из которых равен 1/2. Суммарный механический момент, т. е.
спин атома водорода в нормальном состоянии, может быть равен либо О (спины протона и электрона антипарвллельны), либо 1 (спины параллельны). В обоих случаях атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном. Приведем второй пример, Ядро атома гелия ~зНе, т.е. ст-частица, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Спин этого ядра равен нулю, т.е.
оно является бозоном. Бозоном будет и сам атом ~~Не в нормальном состоянии. Но ядро зз Не состоит из нечетного числа (3) частиц со спинами 1/2: двух протонов и одного нейтрона. Спин этого ядра нечетный, т, е, оно является фермионом. Фермионом будет и сам атом ~~Не. Ядран атомы ~~Не подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, ядра и атомы ' Не — статистике Ферми — Дирака.
Это проявляется в том, что оз вблизи абсолютного нуля температу.ры лзНе обладает сверхтекучестью, в то время как ззНе не обладает (уточнение дается в з 61, п. 7). 4. Применим принципы симметрии и антисимметрии к системе одинаковых частиц, не взаимодействующих между собой. При этом сначала будем рассуждать так, как если бы эти частицы не обладали спинами (уравнения для волновых функций при наличии спина в этом 6 46) Тохсдестеенность частиц и принцип Паули 273 курсе не рассматриваются), а затем обобщим полученные результаты на случай наличия спина.
Начнем с простейшего случая, когда система состои г всего из двух одинаковых частиц, декартовы координаты которых обозначим соответственно через х,, уы хг и хг, уг, гг. Если Й вЂ” оператор Гамильтона всей системы, а Й~ и Йг — каждой из частиц, то Й = Й, + Йг.
Уравнение Шредингера для системы частиц в стационарных состояниях будет ЙУ=-(Й +Й.)6 =Ч, (46.3) где оператор Й„поскольку частицы не взаимодействуют между собой, зависит только от координат первой частицы, а Йг — только от коор- динат второй частицы, а именно: йг /' дг дг дг 'г Нг = ~ г+, г+ г) +гг(хыУыег)) 2т ~ дхг дуг дгг) дг /дг пг пг Нг = — —, м, +, +П(хг;уг,ег) — ду,) (46.4) Оба оператора Й, и Нг совершенно одинаковы, так как одинаковы сами частицы, но эти операторы зависят от разных координат.
Для решения уравнения (46.3) применим тот жс метод, какой был использован в 3 26. Так как оператор Н, действует только на координаты хы уы хы а оператор Йг — только на координаты хг, уг, ег, то уравнение (46.3) распадается на два: Йгу=йгУ, Йгд =~гУ, (46.5) Нгуга(1) = агуг (1) и Нг7д12) = с гугд12). (46.6) Таким образом, функция гг (1) описывает состояние первой частицы с энергией й'м а функция угу(2) состояние второй частицы с энергией йг, Соотношение )п = 1м + йг означает, что энергия системы двух невзаимодействующих частиц равна сумме энергий этих частиц, как этого и следовало ожидать. Решение уравнения (46.3) принимает вид гд = уг„(1)угу(2), т, е, оно является, как принято говорить, решением с разделлгощимисл переменными.
Уравнения (46.6) по существу одинаковы. Они отличаются одно от другого только обозначениями независимых переменных и значениями где йг и 1еег постоЯнные, УдовлетвоРЯющие Условию йг + )гг = К'. Решение первого уравнения (46.5) имеет вид угу х (1), где для краткости совокупность координат хы уы ег первой частицы обозначена цифрой 1. Аналогично, совокупность координат хг, уг, ег второй частицы будем обозначать цифрой 2. В общем случае коэффициент угу может зависеть от координат 2, т.е.
угу = рд(2). Функцию угу(2) следует выбрать так, чтобы удовлетворялось и второе уравнение (46.5). Для этого должно быть [Гл. Ъ'1 Атомные системы со мног ми электронами 274 постоянных йг и 32. Конечно, собственному значению бг могут соответствовать несколько независимых решений первого уравнения (46.6). В общем случае под р„(1) следует понимать их линейную суперпозицию с постоянными коэффициентами, которая также является решением уравнения (46.3). То же относится к функции рр(2).
Прежде чем идти дальше, учтем наличие спина. Для этого достаточно понимать под 1 и 2 совокупность не только пространственных, но и спинооых координат частиц. По-прежнему находится функция ~о (1)сэр(2), являющаяся решением уравнения, заменяющего уравнение Шредингера при наличии спина (такое уравнение называется уравнением Паули). В силу тождественности частиц функция еоо(2)еод(1) является решением того же уравнения. Она получается из функции 1о (1)рд(2), если поменять местами частицы 1 и 2, т.е. произвести перестановку их пространственных и спиновых координат.
Однако ни одна из этих функций не удовлетворяет принципу симметрии или антисимметрии. Но из них можно составить линейные комбинации с постоянными коэффициентами, которые также являются решениями уравнения типа Шредингера. Среди этих комбинаций есть симметричная функция (46.7) 1о, = со„(1)~рр(2) + 1о (2)сэр(1) и антисимметричная ф = ~р (1)еэд(2) — со„(2)сэр(1). (46.8) Состояние, описываемое функцией гр,, может действительно реализоваться в природе в случае системы двух одинаковых бозонов, а состояние, описываемое функцией еро, в случае системы двух одинаковых фермионов. б. Приведенное рассуждение без всяких затруднений распространяется на случай системы, состоящей из произвольного числа % тождественных частиц.
Прежде всего получается волновая функция ф = ф (1)фр(2)ф (3)...ф (Д') с разделяющимися переменными, в которой сохранены прежние обозначения. Отсюда, последовательно меняя местами каждые дво частицы., получаем новые волновые функции с разделяющимися переменными; ф' = фо(2) фр(1) ф,,(3)... ф„(%)., фо = гр„(3)ерз(2)ф. (1)... ф„(Х) и т. д., которым соответствует то же значение параметра б. Состояние с таким значением ее М-кратно вырождено. Однако ни одно из этих состояний не реализуется в природе. В случае базанов реализуется только их симметричная комбинация (46.9) 6 46) Тоэкдественность частиц и принцип Паули 275 где Р— оператор перестановки координат двух частиц, причем сумма распространяется на всевозможные перестановки. К числу таких перестановок относится и тождественная перестановка, не меняющая координаты всех частиц, при которой функция ф нс изменяется.
Таким образом, сумма (46.9) содержит % слагаемых. В случае фермионов реализуется антисимметричная комбинация (46.10) причем знаку плюс соответствует четное число транспозиций (т.е. перестановок двух частиц), а знаку минус — нечетное. Таким образом, антисиммегричная функция может быть записана в форме определителя Ф (1) губ(1) ... ггы(1) Ф (2) Фв(2) " Ф (2) (46.11) Мд') фв(ю) Ф (д') Обычно волновые функции (46.10) и (46.11) нормируют, умножая их на определенные числовые коэффициенты. Однако в разбираемом нами вопросе нормировка не имеет значения и поэтому не производится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
