Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 68
Текст из файла (страница 68)
8) где Ьз Е.=- — Ь 2ш, — оператор кинетической энергии, а лапласиан дз дз дз зз = — + — + —. дхз др' дл' Вместо ш, нужно брать приведенную массу системы гп»М т„+М где М вЂ” масса конечного ядра, образующегося в результате а-распада.
Тогла, представив радиальную волновую функцию частицы в виде ~(г) =- Ф(г) = — "„", в(г) прихолим к одномерному уравнению Шредингера ь2 Аз — — — + зг(г) и(г) = Ев(г). 2(а е(гз (7.9) Для простоты рассмотрим случай прямоугольного барьера шириной А = Еа — 22 (рис. 7.6). Уравнение (7.9) надо решить для областей 1, 2, 3. Пусть частица проходит барьер слева направо. Тогда искомое решение должно иметь вид распространяюшейся вправо плоской волны Ае'»" в области г > Ео и суммы зз — Я го 1 О В В 0 Я В г Рие. 7.6. Прохожление частицы через прямоугольный барьер 345 В 2. Альфа-распад падающей на барьер и отраженной' от барьера волн (падающие и отра- женные частицы) в области г < В: Ае'~", г > Ве п(г) = +Ее ь, г< В.
(7.10) Здесь й = -„',,/2рЕ. Внутри барьера (область 2) волновая функция имеет внд 1 и(г) = Сер+ 27е г", а = — 27г(Уе — Е), (7.! 1) Ь причем нефизическое решение Се'", давшее растущую вероятность найти частицу по мере продвижения вглубь барьера, должно быть подавлено. Поэтому С/Р ж О. Вероятность (коэффициент) прохождения через барьер Р есть отношение вероятностей обнаружить частицу в точках Ве и В. Для этого достаточно знать волновую функцию и(г) в области барьера (область 2): Р = = г1л' 1 = — 2р(Ув — Е) . (7.12) Зля определения вероятности проникновения через барьер произвольной формы необходимо выполнить интегрирование (27 Р = ехр ~ — — / 2р(У(г) — Ц г(г (7.13) е е гг 2Г г Л се га,— Р = га„— ехр — — 3( 427л(У(г) — Е) йг .
(7.14) гВ "2В ~ д,г У Скорость а-частицы в ядре можно оценить, исходя из ее кинетической энергии Е, + К, внутри ядерной потенциальной ямы, что дает в в (0,1-0,2)с. Уже из этого следует, что при наличии в ядре а-частицы вероятность ее пройти сквозь барьер Р < 1О '1 (для самых короткоживуших относительно а-распада тяжелых ядер). где пределами интегрирования являются границы барьера, т.е. той области, в которой кинетическая энергия отрицательна. Вля того чтобы рассчитать постоянную распада Л, надо коэффициент прохождения умножить, во-первых, на вероятность га того, что а-частица образовалась в ядре, и, во-вторых, на вероятность того, что она окажется на границе ядра. Грубую опенку этой последней вероятности можно получить, заметив, что если а-частица в ядре радиуса В имеет скорость в, то она будет полходить к границе в срелнем е/(2В) раз в секунду. Отсюда для постоянной распада получаем выражение 34б Глава 7.
Родиоаклзивногть Грубость оценки предэкспоненциального множителя не очень суше- ственна, потому что постоянная распала зависит от него несравненно сла- бее, чем от показателя экспоненты. Главной чертой формул (7.13), (7.14) является то, что в них постоянная Планка й стоит в знаменателе показателя экспоненты.
При перехоле к классике, т. е. при Ь вЂ” О, будет Р— О, Л вЂ” О, !Пз — оо, так что распал становится невозможным. Если система близка к классической, то период полураспада становится чрезвычайно большим. Именно эта ситуация и встречается в а-распаде. Чтобы убедиться в этом, оценим !Оз по формуле (7.!3) в приближении прямоугольного барьера.
положив К вЂ” Е = 20 МэВ, д = 2 10 'з см. Показатель экспоненты в этом случае по абсолютной величине равен 2 2пз (ьт — Е) и' 84, й е так что для коэффициента прохождения получим Р = е м 10 зе. Пред- экспоненциальный множитель (при ея, - 1) равен о (0,1-0,2)3 10'е см/с з, — 3 10'с 2Н 2 7 !О 'зсм Отсюда для периода полураспада 102 согласно (7.14) получается значение 0„693 и 102 = — 2 ° !О с а !О лет.
Л Это вполне разумная цифра, примерно равная периоду полураспада ~уз!13. Пример. Оценить вероятность лля шарика массой М = 1 г преодолеть порог высотой Н = 0.1 иы и такой же толщины я' (чуть выступающее лезвие безопасной бритвы). Решение.
Здесь лля показателя экспоненты получается значение - т/2лтяНо' = 1О", Ь тяк что коэффициент прохождения Р оказывается равным е " Для кулоновского потенциала интеграп в (7. 14) может быть вычислен точно. Мы не будем проводить выкладки, а лишь укажем, что из их результата прн Е « г~, непосредственно следует закон Гейгера — Неттола ( 2) Из формулы (7.!4) видно, что период полураспада сильно зависит от радиуса ядра, поскольку радиус Я входит не толысо в предэкспоненциальный множитель, но и в показатель экспоненты, как предел интегрирования.
Поэтому из данных по а-распаду можно довольно точно определять радиусы ядер. Полученные таким путем радиусы оказываются на 20-30% больше найденных в опытах по рассеянию электронов, Это различие связано с тем, что в опьпах с быстрыми электронами измеряется радиус З47 э 2. Аль|а-распад (7.15) Пусть спин вылетающей частицы нулевой, как у а-частицы. Тогда ее полный момент совпадает с орбитальным (У =- У). Движению частицы со скоростью в и орбитальным моментом Ь (например, по орбите радиуса г вокруг центра ядра) отвечает классическая энергия (энергия вращения Е,„), которая определяется соотношением У,з В 2 2тг" (7.16) где 1 = тгз — момент инерции частицы, а ы =- в/г — ее угловая скорость и использовано равенство Ь = твг.
Мы считаем М„>) т. В противном распрелеления электрического заряда в ялре, а в а-распаде измеряется то расстояние между центрами ялра и а-частицы, на котором перестают действовать ядерные силы. Наличие очень малой величины — постоянной Планка — в показателе экспоненты (7.14) объясняет сильную зависимость периола полураспала от энергии. Даже небольшое изменение энергии приводит к значительному изменению показателя экспоненты и тем самым к очень резкому изменению Л, т.е. периода полураспада. Именно поэтому энергии вылетающих а-частиц жестко ограничены. Для тяжелых ядер а-частицы с энергиями выше 9 МэВ вылетают практически мгновенно, а с энергиями ниже 4 МэВ живут в ялре так долго, что распал не удается зарегистрировать.
Для редкоземельных а-радиоактивных ядер обе цифры снижаются за счет уменьшения радиуса и высоты барьера. При радиоактивных распадах конечное ядро может оказаться не только в основном, но и в одном из своих возбужденных состояний (см, рис. 7.2). Однако очень резкая зависимость вероятности а-распада от энергии а-частицы приводит к тому, что распады на возбужденные уровни конечного ядра обычно идут с очень низкой интенсивностью, потому что при возбужлении конечного ялра уменьшается энергия а-частицы. Экспериментально удается наблюлать только распады на вращательные уровни, имеющие относительно низкие энергии возбуждения. Распады на возбужденные уровни конечного ядра, как отмечалось, приводят к возникновению тонкой структуры энергетического спектра вылетающих а-частиц.
Мы убедились в том, что основным фактором, определяющим свойства а-распада, является прохождение а-частиц сквозь кулоновский барьер, Другие факторы проявляются сравнительно слабо, но в отдельных случаях дают возможность получить интересную информацию о структуре ядра и механизме распада. Один из таких факторов обусловлен центробежным барьером. Рассмотрим более подробно причину образования центробе:кного барьера. Если частица вылетает из ядра, имеющего спин,У;, и по условиям распада должно образоваться конечное ядро со сонном,Уу, то частица может унести лишь полный момент количества движения У определяемый соотношением Глава 7. Радиоакшивность случае вместо нз надо использовать приведенную массу глМ„ гц+ М„ 1 барьер 1 «тл + Еьа.
(7.17) Точно так же, как и в случае кулоновского барьера, частица с Е < Е, может пройти сквозь центробежный барьер за счет квантово-механического туннелироваиия. Для того чтобы в выра:кенни (7.16) перейти от классической энергии вращения к квантово-механической, достаточно пронести замену Ь~ — Л~1(1 + 1).
В итоге получаем Л~1(1+!) Ееа(кв. мех) = 2 те' Высота центробежного барьера, как правило, значительно ниже высоты кулоновского барьера. Пример. Оценить высоту центробежного барьера лля а-частицы с 1 = 3, вылета- ющей из тяжелого ядра. Решение. Радиус тяжелого ядра 71 м 7 Фм н высота центробежного барьера Л21(1+!) Е (кв, мех) = — ш 1 Мзй. згв Яз (7.19) Искажение формы барьера за счет центробежной энергии довольно незначительно, главнтам образом из-за того, что центробежная энергия спадает с расстоянием значительно быстрее кулоновской (как 1/г', а не как 1/г). Однако, поскольку это изменение делится на постоянную Планка и попадает в показатель экспоненты, то при больших 1 оно приводит к изменению времени жизни, выходящему за пределы, обусловленные стеценью неопределенности теории.
Более существенным фактором, способным резко перераспределить вероятности различных ветвей а-распада, может оказаться необходимость значительной перестройки внутренней структуры ядра при испускании а-частицы. Представим себе, что начальное ядро сферическое, а основное состояние конечного ядра сильно деформировано. Тогда, для того чтобы эволюционировать в основное состояние конечного ядра, исходное ядро Таким образом, для того чтобы унести из ядра угловой момент Ь, частица с точки зрения классической физики должна иметь как минимум кинетическую энергию Е не меньше энергии вращения, т.
е. должно быть Е > Е, . Итак, для частицы с Е < Е,в возникает центробежный барьер. Добавляясь к кулоновскому барьеру (г„, лля положительно заряженных частиц, он увеличивает результирующий потенциальный барьер на пути таких частиц до 349 8 2. Аль03а-распад сг-распад = 20.
г ь г и Е а г 0,26% !38 кэВ 0.7 % 83 6,6% 0,7% 42 40 0,8% 90% "эвк 97 Щ При а-распаде конечное ядро может оказаться не только в основном но и в одном из возбужденных состояний. Распады на возбужденные состояния приводят к тонкой структуре энергетическою спектра вылетающих гг-частиц. Исключительно резкая зависимость вероятности а-распада от энергии о-частицы привцдит к тому, что распады на возбужденные состояния конечного ядра происходят с очень низкой интенсивностью, потому что при возбуждении конечного ядра уменьшается энергия а-частнцьь Экспериментально удается наблюдать распады на вращательные уровни, имеющие относительно низкие энергии возбуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
