А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Обозначим Ь',(+) = 1/2 и Ъ,( — ) = — 1/2 значения проекций сливов на а и, аналогично, 5г(+) = 1/2 и ог( — ) = — 1/2 — на Ь. Тогда (5,) = 5г(+)Р~(а) + 5,( — )Р (а) = О, (5г) = 5г/+)Ре(Ь) + Бг( — )Р (Ь) = О, (5г) = 5,(+)Р,(а) + 5г( — )Р (а) = !/4, (76.6) 1 79. Квантовые корреляции 419 (5гг) = 5г(+)Р+(а) + 5гг( )Р (Ь) 1/4 (5, 5 у = 5,(+)5 (+)Р „(а, Ь) + + 5,(+)5,( — )Р, (а, Ь)+ + 5,( — )5г(+)Р,(а, Ь)+ + 5,( — )5г( — )Р (а, Ь) = О, где для вероятностей Р.
(а,Ь) использованы значения (76.2). При учете закона сохранения необходимо для Р„(а, Ь) пользоваться формулами (76.4). Тогда (5,5 У = — 1/4 (76.7) и, следовательно, коэффициент корреляции 71г (76.8) т. е. имеет место полная антикорреляция, выражающая взаимную зависимость проекций спинов на а и Ь при а.Ь = аЬ. По формулам квантовой механики аналогично можно вычислить коэффициент корреляции при произвольном угле между а и Ь и сравнить результаты с экспериментом. Расчет этих корреляций нетрудно провести с помощью формул 9 36, в частности формул (36.24).
Однако нет необходимости приводить здесь соответствующие расчеты и описывать опыты, поскольку наиболее точные последние опыты были произведены в самом начале 80-х годов не со спинами, а с поляризациями фотонов. В теоретическом отношении вопросы о корреляции поляризаций фотонов и спинов совершенно эквивалентны, но в экспериментальном отношении исследование корреляций поляризации фотонов более эффективно и позволяет получить несравненно более надежные результаты. Схема эксперимента типа ЭПР е поляризациями. Разлетающимися в разные стороны нчастицами» являются фотоны с частотами ог, и отг (рис. 151 Схема зксперимснта типа ЭПР с поляризациями в качестве измеряемых пинамичсских пе- ременных 151), испускаемые парами из небольшой области А. Клаузером, Хорном, Симони и Хольтом было показано (1969), что подходящие коррелированные по поляризации пары фотонов испускаются при некоторых каскадных переходах в атомах.
На рис. 152 дана схема каскадного перехода атома кальция, при котором полный момент испульса 1 атома изменяется в последовательности (У = 0) -+ (У = 1) — (7 = 0), т. е. в резузгьтате излучения двух фотонов полный момент атома остается неизменным и, следовательно, суммарный момент двух фотонов равен нулю. Этот каскадный переход очень удобен для анализа поляризаций испущенных пар фотонов в схемах счета совпадений, потому что время жизни атома в промежуточном состоянии очень малое и составляет примерно 5 нс. Для анализа поляризации полученных в каскадном переходе фотонов необходимо рассмотреть свойства промежуточного состояния с 7 =!. Проекция полного момента 7 = 1 на произвольную ось может принимать значения пгг = 1, О, 1 гсм.
(37.31)1. Таким образом, переход (,У = 0)— (.У = 1) — (7 = 0) осуществляется по трем различным ну~ям через промежуточные состояния иг = — 1, О, 1 (рис. 152,6). В промежуточном состоя ии !рг полный спин атома 5 = О 4Ю 1б. Концептуальные вопросы квантовой механики 4Р"5, 58! 4з4р ~ Зь! =т! 406 4Р5, и) Ю) 152 Дауяфотоннос возбуждение каскадного излучения а кальции и, следовательно, 7 = Е., т, = т,. Приняв в качестве выделенной ось 2 на рис. 151, вдоль которой распространяются фотоны, мы видим, что при т = + 1 электроны, обусловливаюп!йе отличие 7 от нуля, движутся в плоскости ХУ, а при т = 0 — в плоскости, в которой лежит ось х,. Из принципа соответствия следует, что при переходе (./ = О) — (3 = !) вдоль оси х, испускаются фотон с левой или правой круговой поляризацией (при т = + 1) или линейной поляризацией (при т, = 0), которая может быть представлена в виде суперпозиции левой и правой круговых поляризаций.
При переходе (7 = 1) - (.I = О) на втором шаге каскада фотон испускается с такой же поляризацией, как и на первом. С помощью коллиматоров и фильтров можно отобрать пары фотонов по определенному направлению движения и частоте, в результате чего получается схема, изображенная на рис. 151 (коллиматоры и фильтры там не показаны). Закон сохранения момента импульса при излучении с учетом требований сохранения четности позволяет представить поляризационную часть вектора состояния пары фотонов (оз„ отз) в виде !оз,, озз) = (!Яп 24з) + !).н ).з))/ /2,(763) где А,. и,Е,.— символы правой и левой круговой поляризации фотона с частотой оз,. (!' = 1, 2). Состояния круговых поляризаций )Я) и )Ц можно выразить в базисе линейных поляризаций )х) и )у).
В результате для поляризационной части вектора состояния фотонов (озз, оз ) находим выражение !'Р(озо озз)) = (1)ч~У2) ()х1 хз) + !уоуз)), (76.10) где !.х) и )у)-линейные поляризации по осям Х и У; индексы означают принадлежность к фотонам оз, и оз,.
Напомним, что фотон с частотой оз, движется в направлении отрицательных значений оси х, (см. рис. ! 51), а с частотой оз, -положительных. Из (76.10) следует, что фотоны с частотами оз, и озз, движущиеся в противоположных направлениях, линейно поляризованы в одинаковых направлениях. Физическое содержание этого утверждения в классическом понимании поляризации очевидно и не требует пояснений. Однако в применении к фотону в квантовом понимании состояния дело существенно осложняется. Из (76.10) следует, что каждый из фотонов с частотами го! и цт, находится в суперпозиции состоянйй линейной поляризации по осям Х и У, т.е.
не имеет определенного направления линейной поляризации, как зто также очевидно из исходной формулы (76.9), в которой вектор состояния представлен по базисным векторам круговой поляризации. Тем не менее утверждение об одинаковой линейной поляризации фотонов оз, и оз имеет вполне определенный смысл, который выявляется в результате измерения. Измерение линейной поляризации фотонов.
В 5 4 было подробно рассмотрено измерение линейной поляризации фотона с помощью двояко- 1 76 Квантовые коррепяции 421 преломляющего кристалла. На выходе из кристалла образуются два луча (обыкновенный и необыкновенный), поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти лучи могут быть использованы для анализа поляризации фотонов.
В призме Николя лучи разделяются и один из них до выхода из призмы поглощается. Имеется большое число двоякопреломляющих призм и других оптических устройств, которые могут образовывать лучи с взаимно перпендикулярными линейными поляризациями. Все они могут использоваться в качестве анализаторов поляризации фотонов. Ориентировка анализаторов на рис. 151 характеризуется векторами а и Ь, которые одинаково фиксированы относительно соответствующих оптических осей анализаторов, например коллинеарны им.
Оптические оси анализаторов лежат в плоскостях, перпендикулярных линии движения фотонов. Взаимная ориентировка анализаторов описывается углом между векторами а и Ь. Результат измерения поляризации фотона, падающего на анализатор Е определяется поляризацией выходящего из анализатора фотона. Если его поляризация коллинеарна а, то результату измерения поляризации приписывается некоторое числовое значение, например + 1; если его поляризация перпендикулярна а, то результат измерения равен — 1. Аналогично обозначают результаты измерения поляризации фотона с часготой то, анализатором П, ориентировка которого характеризуется вектором Ь. Взаимные ориентировки а и Ь произвольны в плоскостях ХУ.
Вычисление коэффициента корреляции поляризаций. Для вычисления коэффициента корреляции необходи- мо найти вероятности результатов измерений каждой из возможных поляризаций и совместных результатов измерений каждой из пар возможных результатов, т.е. вероятности Рв(а), Ре(Ь), Р„(а, Ь) при произвольных ориентировках векторов а и Ь.
Это можно сделать с помощью вектора состояния (76.10) обычными квантово-механическими методами. Однако для большей наглядности получаемого при этом физического результата целесообразно вспомнить, что исходным физическим фактом при разработке измерений линейной поляризации фотона был закон Малюса (см.
~ 4) в такой формулировке: если известно, что линейная поляризация фотона направлена по вектору а, то вероятность того, что она будет в результате измерения направлена по вектору Ь, равна сов~(а, Ь), где символом (а, Ь) обозначен угол между а и Ь. Другими словами, условная вероятность Р(Ь|а) появления поляризации по вектору Ь при измерении, если известно, что она направлена по а, равна Р(Ь|а) = совт(а, Ь). (76.11) При произвольной ориентировке вектора а получение значений + 1 и — 1 в измерении поляризации фотона равновероятно и равно Р (а) = Р (а) = 1/2. Аналогично, (76.12б) Р (Ь) = Р (Ь) = !/2.
Для вычисления вероятностей совместного появления результатов одновременного измерения поляризаций пары фотонов воспользуемся обозначениями рис. 153. Поскольку линейные поляризации фотонов одинаковы, можно написать: Р~,(а, Ь) = Р„(а)Р(Ь(а) = ',',сов'(а, Ь), 422 15. Концептуальные вопросы квантовой механики 153 К расчету коэффициента корреляции поляри- заций Р, (а, Ь) = Р+(а)Р(Ьс/а) = '/, соз'(а, Ь) = = '/т созт(а„Ь„) = '/т йпэ(а, Ь), (76.13) Ь, (Ь. Аналогично, Р (а, Ь) = '/~ соз'О, Р,(а, Ь) = = '/,з)п'О, (76.14) где Π— угол между а и Ь. Формулы (76.12) — (76.14) являются кваэгговомеханическими результатами вычисления искомых вероятностей. Обозначая динамические переменные поляризации фотонов пээ и оэ соответственно 5, и 5т.
а их числовые значения при измерениях 51(+) = ! 51( ) = 1 5э(+) = 1 5,( — ) = — 1, (76.15) находим: (5,) = 5,(+)Р (а) + 5,( — )Р (а) = О, (5,) =5,(+)Р,(Ь)+5,( — )Р (Ь) =О, <5г) 5э(+)р (а)+5э(-)р (а)=1, <5т> 5э(+)Ре(Ь)+ 51( — )Р (Ь) = 1, (76.16) (5,5,) =5,(+)5,(+)Р„(а, Ь)+ + 5,(+)5,( — )Р, (а, Ь)+ +5,( — )5 (+)Р.
(а, Ь)+ + 5,(-/5,(-) Р (а, Ь) = = соз'Π— з!пэО = соз 20. Следовательно, в соответствии с (76.5) коэффициент корреляции между результатами измерений при произвольных направлениях а и Ь анализаторов равен <5э5т) — <5 > <5.> у(а, Ь) = ./<',>(5,> (76.17) Видно, что при О = О и 0 = я/2 коэффициент корреляции равен 1 и — 1, т. е. при этих углах наблюдается полная корреляция, а равенства (76.13) и (76.14) имеют вид Р,,(а, Ь) = Р (а, Ь) = 1/2(0 = 0), Р, (а,Ь)=Р „(а,Ь)=0(0=0), Р,,(а, Ь) = Р (а, Ь) = 0 (О = и/2), Р (а, Ь) = Р т(а, Ь) = 1/2 (О = к/2). (76.18) Следовательно, зная результат поляризации фотона то, на а при О = О, равный, например, 1, можно утверждать, что результат измерения поляризации фотона оэт на Ь наверняка равен 1. Аналогично, с полной достоверностью при 0 = О и 0 = к/2 связаны и другие результаты измерений, хотя измерение поляризации отдельного фотона дает случайный результат с вероятностями (76.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
