Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 3
Текст из файла (страница 3)
= 1u =мас12122−24сы атома C ≈ 931,5 МэВ/c = 1,66 · 10г,1 Фм (Ферми или фемтометр) = 1 Fm = 1 fm = 10−13 см == 10−15 м.Важные формулы релятивистской физики:1/2E = p 2 c2 + m 2 c4= T + mc2 .(1.1.2)Здесь T — кинетическая энергия частицы с массой покоя m и модулемимпульса p. Отсюда для импульса частицы получаемp=T 2 + 2T · mc2c 1/ 2.(1.1.3)В субатомной физике, особенно в физике высоких энергий широкоиспользуется система единиц, в которой h̄ = 1 и c = 1. В этой системеформулы релятивистской физики имеют более простую и удобнуюформу:E 2 = p2 + m2 = (T + m)2 ;(1.1.4)p2 = T 2 + 2T m.В системе h̄ = c = 1 энергия, импульс и масса измеряются в однихи тех же энергетических единицах — МэВ (MeV) или ГэВ (GeV).Значительное упрощение в решении задач можно получить, используя константу конверсии h̄c = 197,337 МэВ · Фм ≈ 200 МэВ · Фм.12Гл.
1. Теоретический обзорЗадача 1.1.1. Рассчитать кинетическую энергию электрона,имеющего длину волны 1 Фм.Длина волны электрона равнаλ=h2πh̄c2π · 200 MэВ · Фм=≈1/2 ≈ 1 Фм.ppcT 2 + 2T · mc2Отсюда T 2 + 2T · mc2 ≈ (2π)2 (200 МэВ)2 . Поскольку энергия покояэлектрона составляет всего около 0,5 МэВ, второй член в знаменателе предыдущего выражения меньше первого на три порядка, отсюдакинетическая энергия электрона с длиной волны де Бройля в 1 Фмсоставляет T ≈ 1260 МэВ = 1,26 ГэВ.Задача 1.1.2.
Сравнить приведенные длины волн электронаи протона с одинаковыми кинетическими энергиями 100 МэВ.Для электронаλ– e =λe=2πh̄cT + 2T · me c22 1/ 2 ≈ 200 MэВ · Фм≈ 2 Фм. 1/ 210 + 2 · 102 · 0,511МэВ4Для протонаλ– p =λp=2πh̄cT + 2T · mp c22 1/ 2 ≈ 200 MэВ · Фм≈ 0,45 Фм. 1/ 210 + 2 · 102 · 938МэВ4Длина волны протона с той же кинетической энергией, что и у электрона, почти в 5 раз меньше!Проведенные нами расчеты доказывают, что для исследованияструктуры ядер и частиц необходимо использовать пучки частиц высоких энергий, что и определяет необходимость создания ускорителей.Задача 1.1.3.
Определить полную E и кинетическую энергию Tэлектрона, приведенная длина волны которого равна 10−2 Фм.Приведенная длина волны частицы определяется выражением−1/2h̄h̄cλ– = == h̄c E 2 − m2 c4.ppcОткудаh̄c200 МэВ · ФмE 2 − m 2 c4 = – ≈= 2 · 104 МэВ = 20 ГэВ.λ0,01 ФмПоскольку энергия покоя электрона всего 0,511 МэВ, то при высоких энергиях (E > 500 МэВ) его полная и кинетическая энергиипрактически совпадают (их разность при условиях задачи меньше0,1 %). Поэтому окончательный ответ имеет вид:E ≈ T ≈ 20 ГэВ.§1.2. Распады и реакции13Энергии электронов 20 ГэВ и выше были достигнуты на ряде электронных ускорителей высоких энергий.
Например, на ускорителе LEPв Европейском центре ядерных исследований (CERN) энергии электронов и позитронов, движущихся навстречу друг другу (во встречныхпучках), составляли около 100 ГэВ. В настоящее время в туннелеэтого ускорителя сооружен новый ускоритель LHC. В этом ускорителесталкиваются пучки протонов с энергиями по 7 ТэВ.§1.2. Распады и реакции1.2.1. Законы сохранения в распадах и реакциях. Структураи свойства частиц и атомных ядер исследуются уже около ста летв распадах и реакциях.Распады представляют собой спонтанное превращение любого объекта физики микромира (ядра или частицы) в два или более продуктовраспада:X → A + B + (C + .
. .).(1.2.1)Реакция — это превращение двух взаимодействующих между собойчастиц или ядер в два или более продуктов реакции:X + Y → A + B + (C + . . .).(1.2.2)Как распады, так и реакции подчиняются ряду законов сохранения.Среди хорошо известных из классической физики законов сохраненияследующие:1. Закон сохранения энергииE = const.p = const.2. Закон сохранения импульса(1.2.3)3. Закон сохранения моментаколичества движенияJ = const.Q = const.4. Закон сохранения электрического зарядаВ дальнейшем будут обсуждаться и другие законы сохранения,действующие в распадах и реакциях.
Перечисленные выше законывыполняются во всех типах взаимодействий.Процессы взаимодействий объектов микромира, проявлением которых являются распады и реакции, имеют вероятностные характеристики.1.2.2. Вероятности и энергии распадов. Спонтанный распадлюбого объекта физики микромира (ядра или частицы) возможенв том случае, если масса покоя продуктов распада меньше массыпервичной частицы.Распады частиц и ядер характеризуются вероятностью распадав единицу времени λ либо обратной вероятности λ величиной среднего14Гл.
1. Теоретический обзорвремени жизни τ . В физике ядра используется связанная с этимихарактеристиками величина периода полураспада t1/2 .Примеры спонтанных распадов:22688 Ra04→ 22286 Rn + 2 He;π → γ + γ;π + → μ+ + νμ .(1.2.4)n → p + e− + ν e ;μ+ → e+ + ν μ + νe ;13755 Cs→13756 Ba(1.2.5)−+ e + ν e.В распадах (1.2.4) в конечном состоянии — две частицы. В распадах (1.2.5) — три частицы.Получим закон распада для частиц (или ядер). Уменьшение числачастиц (или ядер) за интервал времени dt пропорционально величинеэтого интервала, числу частиц (ядер) в данный момент времени N (t)и вероятности распада в единицу времени λ:dN (t) = −λN (t) dt.(1.2.6)Знак «минус» означает, что число частиц (ядер) в результате распада уменьшается.Интегрирование (1.2.6) с учетом начальных условий дает связь числа частиц N (t) в момент времени t с числом частиц N (0) в начальныймомент времени t = 0:N (t) = N (0) · e−λt = N (0) · e−t/τ .(1.2.7)Задача 1.2.1.
Получить соотношение между периодом полураспада, вероятностью распада в единицу времени и средним временемжизни.Периодом полураспада называется время, за которое число частиц(или ядер) уменьшится вдвое:N (0)= N (0) · exp(−λt1/2 );2ln 2ln 2 = λt1/2 ; t1/2 == τ · ln 2.λN (t1/2 ) =(1.2.8)Задача 1.2.2.
Получить формулу для кинетических энергий продуктов распада X → A + B в случае нерелятивистских скоростейчастиц A и B .Разность масс первичной частицы и продуктов распада распределяется между продуктами распада в виде их кинетических энергий.Законы сохранения энергии и импульса для распада следует записывать в системе координат, связанной с распадающейся частицей(или ядром). Покажем, как для упрощения формул использовать систе-15§1.2.
Распады и реакцииму единиц h̄ = c = 1, в которой энергия, масса и импульс имеют однуи ту же размерность (МэВ). В этой системе единиц законы сохраненияэнергии и импульса для данного распада:MX = MA + TA + MB + TB ;(1.2.9)0 = pA + pB .1/21/2При этом pA = 2MA TA= pB = 2MB TB.Сумма кинетических энергий продуктов распада определяется разностью масс начального объекта и конечных продуктов: TA + TB == ΔM = MX − MA − MB , а отношение кинетических энергийTAM= B.TBMA(1.2.10)Отсюда получаем для кинетических энергий продуктов распадаTA =ΔM · MB;MA + MBTB =ΔM · MA.MA + MB(1.2.11)Таким образом, в случае двух частиц в конечном состоянии кинетические энергии продуктов определены однозначно. Этот факт независит от того, релятивистские или нерелятивистские скорости имеютпродукты распада.
Для релятивистского случая формулы для кинетических энергий выглядят несколько сложнее, чем (1.2.11), но решениеуравнений для энергии и импульса двух частиц опять-таки являетсяединственным. Если в конечном состоянии возникает три (или более)продуктов, решение уравнений для законов сохранения энергии и импульса не приводит к однозначному результату из-за неоднозначностив направлениях (углах) вылета продуктов реакции.
Поэтому тольков случае распада на две частицы спектры продуктов распада —дискретные. В случае, если частиц в конечном состоянии большедвух, спектры продуктов имеют непрерывный характер. В дальнейшемна примере β -распадов эта ситуация будет рассмотрена детально.В расчетах кинетических энергий продуктов распада ядер удобновоспользоваться тем фактом, что число нуклонов A сохраняется.Применим полученные формулы (1.2.11) к α-распаду радия —226Ra→ 22286 Rn + α (первый распад в (1.2.4)). Из таблиц атомных88ядер имеем ΔM = M (226 Ra) − M (222 Rn) − M (4 He) = 4,87 МэВ.
Далее,используя пропорциональность ядерных масс M числам A нуклоновв них (M ∼ A), для кинетических энергий ядер радона и α-частицы,образовавшихся в результате α-распада, получаемT (Rn) =4,87· 4 МэВ ≈ 0,09 МэВ;226T (4 He) =4,87· 222 ≈ 4,78 МэВ.226Суммарная кинетическая энергия, выделившаяся в результатеα-распада, меньше 5 МэВ и составляет около 0,5 % от массыпокоя нуклона. Соотношение выделившейся в результате распадакинетической энергии и энергий покоя частиц или ядер — критерий16Гл. 1.
Теоретический обзордопустимости применения нерелятивистского приближения.В случае α-распадов ядер малость кинетических энергий по сравнениюс энергиями покоя позволяет ограничиться нерелятивистскимприближением в формулах (1.2.9)–(1.2.11).Более детальные сведения об α-распаде ядер содержатся в п. 1.10.1.Задача 1.2.3. Рассчитать энергии частиц, рождающихся в распаде π + -мезона.Распад π + -мезона с вероятностью 99,99 % происходит на две частицы: π + → μ+ + νμ .
Масса π + -мезона равна 139,6 МэВ, масса мюона μравна 105,7 МэВ. Точное значение массы мюонного нейтрино νμ неизвестно, но установлено, что она на несколько порядков меньше разности масс пиона и мюона. Так как разность масс π + -мезона и продуктовего распада равна 33,9 МэВ, для нейтрино необходимо использоватьрелятивистские формулы связи энергии и импульса. В дальнейшемрасчете малой массой покоя нейтрино можно пренебречь и считатьнейтрино ультрарелятивистской частицей. Законы сохранения энергиии импульса в распаде π + -мезона имеют следующий вид (система единиц h̄ = c = 1):m π = m μ + Tμ + E ν ,0 = pμ + pν .При этом для кинетической энергии мюона Tμ , энергии нейтриноEν и импульса мюона pμ имеем1/2Tμ = p2μ + m2μ− mμ ,Eν = pν = pμ = p,1/2p = Tμ2 + 2Tμ mμ,(mπ − mμ )2 − 2(mπ − mμ )Tμ + Tμ2 = Tμ2 + 2Tμ mμ .Откудаmπ − mμTμ =2mπ2= 4,1 МэВ.Энергия мюонного нейтрино π + -распада равна Eν = mπ − mμ − Tμ == 29,8 МэВ.Примером двухчастичного распада является также излучениеγ -кванта при переходе возбужденного ядра на более низкийэнергетический уровень.Во всех двухчастичных распадах, проанализированных выше, продукты распада имеют «точное» значение энергии, т.
е. дискретныйспектр. Однако более глубокое рассмотрение этой проблемы показывает, что спектр даже продуктов двухчастичных распадов не является δ -функцией энергии. Спектр продуктов распада имеет конечнуюширину Γ, которая тем больше, чем меньше время жизни распадающегося ядра или частицы:Γ · τ = h̄.(1.2.12)§1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
