А.В. Булинский - Курс лекций по теории вероятностей (1120059), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найдём такоевероятностное пространство, что распределение некоторого случайного элемента совпадает с Q. ПоложимΩ := Θ,F := B,ξ := id : Θ → Θ,P := Q.Очевидно, что Fξ ≡ FQ (вспомните определение функции распределения меры!).11(3)Определение. Индикатором 3 события A ⊂ Ω называется функция(1, ω ∈ A;IA (ω) :=0, ω ∈/ A.(4)Задача 2.2. Рассмотрим измеримое пространство (Ω, F ).
Доказать, что IA ∈ F |B(R) ⇔ A ∈ F .2.2.2. Пополнение вероятностного пространстваВ теории вероятностей всегда удобно считать вероятностное пространство (Ω, F , P) пополненным. Поясним,что это означает. Рассмотрим класс N нулевых множеств, т. е. все события A ∈ F такие, что P(A) = 0 и все ихподмножества B ⊂ A (множество B уже не обязательно событие!), т. е.N = {B : B ⊂ A, A ∈ F , P(A) = 0} .(5)Пусть F := σ {F , N }.Утверждение 2.6.
F состоит из множеств вида A ∪ C, где A ∈ F , а C ∈ N , и только из них.Доказательство этого утверждения предоставляется читателю в качестве упражнения (включения ⊃ и ⊂легко устанавливаются).Теперь, опираясь на это утверждение, определим на пространстве (Ω, F ) вероятностную меру P следующиместественным образом:P(A ∪ C) := P(A), где A ∈ F , C ∈ N .(6)Все аксиомы вероятности, очевидно, выполняются. Таким образом, получено вероятностное пространство(Ω, F , P). Оно и называется пополнением пространства (Ω, F , P).Теперь поясним, собственно, зачем мы его построили.
Сначала введём новый вид сходимости.Определение. Говорят, что последовательность случайных величин ξn сходится к ξ почти наверное (почтивсюду), если ξn → ξ поточечно за исключением множества меры нуль, т. е. ξn → ξ на множестве Ω0 : P(Ω0 ) = 1.п.н.Обозначение: ξn −→ ξ.Утверждение 2.7. Пусть действительные случайные величины ξn сходятся к ξ почти наверное. Тогда ξбудет случайной величиной на пополнении нашего пространства по мере P.Доказательство4 этого утверждения мы также предоставляем читателю.В дальнейшем, когда речь пойдёт о сходимости случайных величин и их математических ожиданий, всегдапод словом «сходимость», как правило, будем иметь в виду сходимость почти наверное и считать пространствопополненным.2.3. Независимость случайных величин2.3.1.
Независимые алгебры и случайные величиныТеперь дадим одно из самых важных в теории вероятностей определений.Определение. Алгебры (или σ-алгебры) A1 , . . . , An ⊂ F называются независимыми, еслиP(A1 · . . . · An ) = P(A1 ) · . . . · P(An )∀ Ai ∈ Ai .(7)Определение. Пусть (Ω, F ) и (Θ, B) — измеримые пространства, а ξ : Ω → Θ — случайная величина.Сигма-алгеброй, порождённой величиной ξ, называется множествоσ {ξ} := ξ −1 (B), B ∈ B .(8)Определение. Величины ξ1 , . . . , ξn называются независимыми, если σ {ξ1 } , . .
. , σ {ξn } независимы.Иными словами, независимость означает, чтоP (ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) =n\i=1{ω : ξi (ω) ∈ Bi } =nYi=1P(ξi ∈ Bi ).(9)Аналогично событиям определяется последовательность независимых случайных величин.3 Иногда4 Егоиспользуется термин «характеристическая функция», однако в теории вероятностей он имеет совсем другой смысл.можно прочесть в книге А. В. Булинского и А. Н. Ширяева «Теория случайных процессов».122.3.2. Теорема о булочках с изюмомТеперь докажем одну из теорем о сходимости последовательности случайных величин. Рассмотрим куб V с ребром M .
Пусть в нём выделено n непересекающихся борелевских подмножеств vi . Будем бросать точки в куб и считать, сколько их попадает вi|каждое подмножество. Вероятность попадания k-й точки в vi равна P(ξk ∈ vi ) = |v|V |(распределение равномерное, а модуль обозначает меру Лебега). Пусть Yi — число частиц, попавших в vi . Это случайная величина, так как она равна сумме N индикаторовборелевских множеств (N — общее число частиц):Yi :=NXk=1v1v2Ivi ξk (ω) .vn(10)Теорема 2.8.
Пусть длина ребра куба стремится к +∞, а плотность частиц стремится к некоторому(конечному) числу: |VN | → λ > 0. ТогдаnY(λ|v1 |)m1(λ|vn |)mnexp (−λ|v1 |) · . . . ·exp (−λ|vn |) =P(zi = mi ),P (Y1 = m1 , . . . , Yn = mn ) →m1 !mn !i=1(11)где величины zi имеет пуассоновское распределение с параметром λ|vi |.
Пусть m0 — число частиц, не попавших ни в одно из vi , а pi — вероятность попадания в vi .m0 := N −nXmi ,|vi |,|V |pi :=i=1p0 :=|V | −nPi=1|vi ||V |.(12)Тогда искомая вероятность равнаN!mn1· p m0 · p m1 · . . . · pn .m0 ! · m1 ! · . . .
· mn ! 0Заметим, чтоnPmiN!N! → N i=1 .=nPm0 !N−mi !(13)(14)i=1ТогдаiN mi p m= N mii|vi ||V |mi=N |vi ||V |mi→ (λ|vi |)mi .(15)В следующей формуле все операции суммирования — по i от 1 до n. Имеем0pm0=PPPN −P miN N |V |X|V | − |vi ||vi ||vi | |V |→ 1−= 1−→ exp −λ|vi | ,|V ||V ||V |(16)так как показатель степени стремится к λ|V |. Теорема доказана.
Следствие 2.3. Если npn → λ > 0 при n → ∞, тоmn−mCm→n pn (1 − pn )λm −λe .m!2.4. Теорема о монотонных классах и её следствия2.4.1. π-системы и λ-системы множествОпределение. Система M подмножеств S называется π-системой, если A, B ∈ M ⇒ A ∩ B ∈ M.Замечание. Если M — π-система, то можно считать, что S ∈ M.Определение. Система M называется λ-системой, если:1◦ S ∈ M;2◦ A ⊂ B и A, B ∈ M ⇒ B r A ∈ M;3◦ An ր A и An ∈ M ⇒ A ∈ M.13(17)Очевидно, что пересечение π-систем будет π-системой.
То же самое верно и для λ-систем.Будем рассматривать π {K} и λ {K} — наименьшие π-системы и λ-системы, порождённые системой K. Ихсуществование доказывается аналогично соответствующему утверждению для σ-алгебр.Лемма 2.9. Множество A является σ-алгеброй тогда и только тогда, когда оно является π-λ-системой. Честно проверяем аксиомы: замкнутость относительно пересечения уже есть, счётная аддитивностьлегко выводится из свойства 3◦ определения λ-системы.
Всё остальное совсем очевидно. Теорема 2.10 (О монотонных классах). Пусть π-система M содержится в λ-системе D. Тогда σ-алгебра, натянутая на M, совпадает с λ-системой, порождённой M, т. е. σ {M} = λ {M} ⊂ D. Без потери общности можно считать, что D = λ {M}. Покажем, что D замкнуто относительно пересечения, откуда по предыдущей лемме и будет следовать, что D есть σ-алгебра, так как это будет π-λ-система.Рассмотрим произвольные множества A, B ∈ D и докажем, что A ∩ B ∈ D. Пусть B ∈ M. Рассмотрим классFB таких множеств A, для которых утверждение верно, т. е. FB := {A ∈ D : A ∩ B ∈ D}.
Легко видеть, что этоткласс является λ-системой, а значит, он совпадает с D. Аналогично, фиксировав множество A, рассмотрим классGA := {B ∈ D : A ∩ B ∈ D}. Это также будет λ-система, поэтому GA = D для ∀ A ∈ D. Значит, A ∩ B ∈ D длялюбых A, B ∈ D. 2.4.2.
СледствияТеорема 2.11. Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, F , P). Пусть A = σ {K}, где K — π-системаподмножеств Ω, а Q — некоторая вероятностная мера. Пусть P = Q на K. Тогда P = Q на A . Рассмотрим совокупность M множеств A ∈ F таких, что P(A) = Q(A). Она является λ-системой,поэтому если An ր A, где An ∈ M, то и A ∈ M. В силу непрерывности P имеем P(An ) → P(A).
Но P(An ) =Q(An ) по определению класса M. Значит, P(A) = Q(A). Следствие 2.4. Пусть P, Q — меры на B(R), а F (x) и G(x) — их функции распределения. Пусть F = G.Тогда меры P и Q совпадают на B(R). Действительно, очевидно, что класс M := (−∞; x], x ∈ R есть π-система. Кроме того, σ {M} = B(R).Остается воспользоваться только что доказанной теоремой. Задача 2.3.
Пусть A = σ {K}, где K — алгебра. Тогда для ∀ ε > 0 и для ∀ A ∈ A найдётся множествоAε ∈ K такое, что P(A△Aε ) < ε.Решение. Нужно всего лишь вспомнить теорему о продолжении меры (Каратеодори). Покажем теперь, что свойство независимости σ-алгебр можно проверять только на порождающих элементах,если они образуют π-системы.Теорема 2.12. Пусть A1 , . . . , An ⊂ F , где Ai = σ {Mi }, а Mi — π-системы. Пусть также для событийAi ∈ Mi справедливо равенствоP(A1 · . . . · An ) = P(A1 ) · . .
. · P(An ).(18)Тогда оно верно и для любых событий Ai ∈ Ai . Зафиксируем Ai ∈ Mi для i = 2, n. Рассмотрим класс событий K1 таких, что (18) верно для любогоA1 ∈ K1 . Легко видеть, что K1 будет λ-системой. Применяя теорему о монотонных классах, получаем, чтоформула верна для любого A1 ∈ A1 . Далее, аналогично зафиксируем все множества, кроме A2 , и т. д. Темсамым утверждение будет доказано для любых событий из A1 , .
. . , An . Следствие 2.5. Независимость действительных случайных величин ξ1 , . . . , ξn равносильна тому, что для∀ x1 , . . . , xn ∈ R совместная вероятность равна произведению вероятностей:P(ξ1 6 x1 , . . . , ξn 6 xn ) =nYP(ξi 6 xi ).(19)i=1Лемма 2.13. Пусть ξ1 , . . . , ξn — независимые случайные величины, а f1 , . . . , fn : R → R — борелевскиефункции.
Тогда функции f1 (ξ1 ), . . . , fn (ξn ) также независимы. В самом деле, −1−1−1σ {fi (ξi )} = fi (ξi )(B) = ξi fi (B) ⊆ σ {ξi } .(20)| {z }∈B(R)Значит, определение независимости будет выполнено и для σ-алгебр σ {fi (ξi )}. Теперь обобщим утверждение леммы. Покажем, что борелевские функции от непересекающихся наборовнезависимых случайных величин независимы.14Теорема 2.14. Рассмотрим независимые действительны случайные величины ξ1 , .
. . , ξn и некоторые борелевские функции f1 (x1 , . . . , xk1 ), . . . , fs (xkm , . . . , xn ). Тогда композиции f (ξ1 , . . . , ξk1 ), . . . , f (ξkm , . . . , ξn ) такженезависимы. Легко видеть, что свойство независимости справедливо для «параллелепипедов»,т. е. множеств видаB = C1 × . .
. × Ck , где Ci ∈ B(R), для которых (x1 , . . . , xk ) ∈ B = x1 ∈ C1 , . . . , xk ∈ Ck . Параллелепипедыобразуют π-систему. Остаётся применить первое следствие из теоремы о монотонных классах (теорему 2.11). 2.5. Построение случайных величин с заданным распределением2.5.1.
Последовательности равномерно распределённых величинРассмотрим независимые случайные величины ξk , принимающие только значения 0 и 1 с одинаковой вероятностью p = 12 . Рассмотрим также величинуξ :=∞Xξk (ω)2kk=1(21).Лемма 2.15. Величина ξ имеет равномерное распределение на [0, 1]. Заметим сначала, что ξ будет случайной величиной, так как это предел суммы сходящегося ряда. Пустьx ∈ [0, 1] имеет двоичное разложение∞Xxkx=.(22)2kk=1Найдём функцию распределения ξ: !P(ξ < x) = P {ξ1 < x1 } ∪ {ξ1 = x1 , ξ2 < x2 } ∪ {ξ1 = x1 , ξ2 = x2 , ξ3 < x3 } ∪ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
