А.В. Булинский - Курс лекций по теории вероятностей (1120059), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Если же все свойства для функции ϕ выполнены, то этотвопрос остается открытым.Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие того, что функция ϕ является характеристической для некоторой случайной величины X. Чтобы сформулировать ее, дадим следующееОпределение. Функция ϕ(t) называется неотрицательно определенной, если ∀ n ∈ N, ∀ t1 , . . . , tn ∈ R и∀ z 1 , . . . , zn ∈ Cn XnXϕ(tk − tl )zk z¯l > 0.k=1 l=1Теорема 5.2 (Бохнер–Хинчин). Функция ϕ(t), t ∈ R является характеристической функцией для некоторой случайной величины X тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:1) ϕ(0) = 1;2) ϕ непрерывна в нуле;3) ϕ является неотрицательно определенной функцией.26Мы докажем только необходимость.

Пусть ϕ — характеристическая функция. Тогда 1) и 2), очевидно,n PnPвыполнены. Докажем 3), т.е. проверим, что ϕ — неотрицательно определенная функция. Имеем:ϕ(tk −k=1 l=1n Pnn PnnnPPPPtl )zk z¯l =Eei(tk −tl )X zk z¯l =E(zk eitk X )(z¯l eitl X ) = Ezk eitk Xz¯l eitl X = Eω ω̄ = E|ω|2 > 0k=1 l=1k=1 l=1k=1l=1(применили линейность мат. ожидания), что и требовалось. 5.2.2. Формула обращенияТеорема 5.3 (Формула обращения). 1) Для любых точек a, b ∈ C (F ) имеет место формула1F (b) − F (a) = limc−→∞ 2π2) Если ϕ ∈ L 1 (R), т.е.R∞−∞Zce−ita − e−itbϕ(t) dt.it−c|ϕ(t)| dt < ∞, то F абсолютно непрерывна и имеет плотность1p(x) =2πZ∞e−itx ϕ(t) dt,−∞x ∈ R;p ∈ L 1 (R),p > 0.По формуле для характеристической функции ϕ(t) имеем:12πZce−ita − e−itb1ϕ(t) dt =it2π−cZc e−ita − e−itbit−cZ∞−∞eitxdF (x) dt.Изменим в последнем интеграле порядок интегрирования.

Для этого применим теорему Фубини. Чтобы ееZc Z −itae− e−itb itx условия были выполнены, необходимо, чтобыe dF (x) dt < ∞. Так как |eiα | = 1 ∀ α ∈ R иit−cRZc Z −ita −itb Rb RbbRe −itx −e−itxdx 6 |e| dx = dx = b − a, то имеет место оценка= eita aa2c(b − a) < ∞. Итак, можно поменять порядок интегрирования; получим:12πZc−ce−ita − e−itb1ϕ(t) dt =it2πТак как eitα = cos α + i sin α иZc −cRc−c(∗) =Z∞−∞e−ita − e−itbitcos t(x−a)tZ∞−∞−c R −itae− e−itb itx e dF (x) dt <itZ∞Zc −it(x−a)1e− e−it(x−b)eitx dF (x) dt =dF (x)dt = (∗)2πit−∞−cdt = 0 (подынтегральная функция нечетна), то отсюда получаем:c(x−a)c(x−b)Z∞ ZZZ∞ 1 Zc sin t(x − a) − sin t(x − b) 1sin zsin z dF (x)dt =dz −dz dF (x) =ψc (x) dF (x). 2πtπzz−c−∞00−∞sin zzне интегрируема по Лебегу на (0, ∞), но интегрируема по Риману на этом множествеR∞ sin zπв несобственном смысле (интеграл Дирихле):z dz = 2 .

Поэтому здесь мы понимаем этот интеграл какФункция f (z) =0RuRu sin zнесобственный интеграл Римана, т.е. как предел limdz. Так как функция sinz z dz непрерывна по u, тоzu−→∞ 00uR sin z ∃A : z dz 6 A = const ∀ u > 0. Значит, |ψc (x)| 6 2A ∀ x и0ψc (x) −→ ψ(x) =0121если x < a или x > b,если x = a или x = b,если a < x < b.27c−→ ∞.R∞По теореме о мажорируемой сходимости получаем−∞R∞ψc (x) dF (x) −→ψ(x) dF (x) =−∞F (b)+F (b−)2Q({b})(a−)(b−)+ F (b−) − F (a) = F (a)−F+ F (b)−F+ F (b−) − F (a) =222F (a)+F (a−)F (b)+F (b−)= F (a),= F (b), откуда и следует утверждение22R∞ψ(x) dQ(x) =−∞F (a)+F (a−).2Q({a})2+−Если a, b ∈ C (F ), то1) теоремы.R∞ −itx1Докажем утверждение 2). А именно, докажем, что функция p(x) = 2πeϕ(t) dt, x ∈ R является плот−∞Rxностью нашего распределения, F (x) =p(u) du.

Функция p(x) является непрерывной на R по теореме оRмажорируемой сходимости, p(x + h) − p(x) = (e−i(x+h)t − e−ixt )ϕ(t) dt, |e−itx | = 1.−∞RПрименим теорему Фубини: ∀ a < b имеемZbZb p(x) dx =a12πaZe−itx1ϕ(t) dt dx =2πRZ Zbe−itx−∞aRZ∞1e−ita − e−itbϕ(t) dx dt =ϕ(t)dt = (∗)2πitПо теореме о мажорируемой сходимости и применяя уже доказанный пункт 1) теоремы, получаем:1lim(∗) =→∞2π c−Zcϕ(t)−ce−ita − e−itbdt = F (b) − F (a),itИтак, мы получили, что p(x) — непрерывная функция, такая чтовательно, p(x) > 0 ∀ x ∈ R.

Устремим a −→ −∞, тогда получим:RbaRba, b ∈ C (F ).p(x) dx = F (b) − F (a), ∀ a, b ∈ C (F ). Следо-−∞p(x) dx = F (b) ∀ b ∈ C (F ). Этот интегралRxможно понимать как интеграл Лебега (так как p(x) > 0). Итак, F (x) =−∞p(u) du ∀ x ∈ R, что и требовалось. 5.2.3. Теорема ЛевиТеорема 5.4 (Леви) (Теорема непрерывности).

1) Пусть последовательность функций распределенияωFn (x) сходится к F (x) ∀ x ∈ C (F ): Fn (x) −→ F (x). Тогда ϕn (t) −→ ϕ(t) ∀ t ∈ R, где Fn ↔ ϕn , F ↔ ϕ.2) Пусть характеристические функции ϕn (t) −→ ϕ(t), n −→ ∞, причем ϕ непрерывна в 0. Тогда ϕ являетсяω→ F , где Fn ↔ ϕn , F ↔ ϕ.характеристической функцией, и Fn −ZbXx2λk e−λ1e− 2 dx, λ −Пример 2.4. Докажем, что→ ∞.−→√k!√√2πλ+a λ6k6λ+b λaРассмотрим пуассоновскую случайную величину Zλ ∼ πλ .

ТогдаXX√√λk e−λZλ − λ=P(Zλ = k) = P Zλ ∈ [λ + a λ, λ + b λ] = P a 6 √6b .k!√√√√λλ+a λ6k6λ+b λλ+a λ6k6λ+b λВспоминая свойство 6) характеристическихфункцийи выражение для характеристической функции пуассоλ(eis −1)новской случайной величины ϕZλ (s) = e, получаем:ϕ Zλ√−λ (t) = ϕ √1λλ√Zλ − λ (t)так как ew = 1 + w +непрерывностиZ√λ −λλ=e√−it λϕZλt√λ=e„«t√ λ ei √λ −1−it λe=e„«i √tλ e λ −1− √itλt2−→ e− 2∀ t, λ −→ ∞,t2w22+ o(w2 ), w −→ 0. Итак, ϕ Z√→ ϕX (t) = e− 2 , λ −→ ∞, ∀ t ∈ R, поэтому по теоремеλ −λ (t) −λRb x2Dλ −λ−→ X ∼ N (0, 1), значит ∀ a < b будет P a 6 Z√6b −→ P (a 6 X 6 b) = √12π e− 2 dx,λaλ−→ ∞, так как функция распределения случайной величины X ∼ N (0, 1) непрерывна на R.Доказательство теоремы непрерывности.RR 1) Заметим сначала, что если Fn −→ F , то eitx dFn (x) −→ eitx dF (x), поскольку eitx — непрерывнаяограниченная функция.RR28Лемма 5.5.

Пусть имеется соответствие функции распределения, вероятностной меры и характеристической функции: F ↔ Q ↔ ϕ. Тогда ∀ a > 0 1 1=Q R\ − ,a aRa01a(1 − Re ϕ(t)) dt =Фубини (∗) =R∞−∞1−sin axaxRa0R∞−∞R\(ZCdF (x) 6a1 1−a,aZa0)(1 − Re ϕ(t)) dt, где C = const.R∞(1 − cos tx) dF (x) dt = (∗), так как Re ϕ(t) =cos tx dF (x).

По теоремеdF (x) >R|ax|>11−sin axaxdF (x) > inf 1 −u>1sin uu RПолагая 1/C = 1 − sin 1, получаем нужное неравенство. Лемма доказана. 1|x|> a−∞dF (x) = (1 − sin 1)RdF (x).1|x|> aЛемма 5.6. Пусть ϕn (t) −→ ϕ(t), где ϕ(t) непрерывна в нуле. Тогда семейство распределений Qn (Qn ↔ ϕn )плотно, т.е. ∀ ε > 0 ∃ Kε : sup Qn (R\Kε ) < ε.n По предыдущей лемме ∀ a > 0 имеем Qn R\ − a1 , a1 6 5.3.

Центральная предельная теорема в условиях Линдеберга5.3.1. Ещё два (а может, три) свойства характеристических функций5.4. Свёртки распределений5.5. Случайные векторы5.5.1. Основные определения5.5.2. Многомерная центральная предельная теорема29.

Характеристики

Список файлов лекций