А.В. Булинский - Курс лекций по теории вероятностей (1120059), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Алгебры событийБудем рассматривать некоторое (фиксированное) множество Ω и различные семейства его подмножеств. Егомы будем называть множеством элементарных исходов, а подмножества A ⊂ Ω — событиями.Определение. Алгеброй подмножеств на Ω называется семейство A ⊂ 2Ω со следующими свойствами:1◦ Ω ∈ A ;2◦ Если A ∈ A , то и A := Ω r A ∈ A .nS3◦ Если A1 , . . . , An ∈ A , то иAi ∈ A .i=1Из определения следует, что и пересечение конечного набора элементов алгебры принадлежит ей: по правилуnnTSAi ∈ A , так как Ai ∈ A .Де МорганаAi =i=1i=1Определение.
Система F подмножеств Ω называется σ-алгеброй, если она является алгеброй, но к тому∞Sже выдерживает счётные объединения и пересечения множеств, т. е. если {Ai }∞⊂F,тоиAi ∈ F .i=1i=1Элементы алгебр и σ-алгебр часто называют измеримыми множествами (по аналогии с классами множеств,измеримых по Жордану или по Лебегу).Заметим, что для любой системы M подмножеств Ω существует минимальная σ-алгебра σ {M}, порождённаяэтой системой. Хотя бы одна есть — 2Ω , очевидно, является σ-алгеброй. Рассмотрим пересечение всех σ-алгебр,содержащих M. Легко видеть, что оно тоже будет σ-алгеброй.
Это и будет σ {M}.Определение. Борелевской σ-алгеброй топологического или метрического пространства называется σ-алгебра, порождённая всеми открытыми множествами.Для обозначения объединения непересекающихся множеств часто будем использовать знак «⊔».
Пересечение множеств A и B будем иногда обозначать через AB. Сигма-алгебры будем обозначать шрифтом mathscr(A , B, C , . . .), а пространства элементарных исходов — заглавными греческими буквами.1.1.3. Вероятность. Аксиоматика КолмогороваОпределение. Пусть F — σ-алгебра на множестве Ω. Пара (Ω, F ) называется измеримым пространством.Определение. Вероятностью называется функция P : F → R со свойствами:1◦ Неотрицательность: P(A) > 0 для любого события A ∈ F ;2◦ Нормировка: P(Ω) = 1;∞∞SP3◦ Счётная аддитивность: если {Ai }∞⊂F,иAнепересекаются,тоPA=P(Ai ).iii=1i=1i=1Аксиомы в определении вероятности называют аксиомами Колмогорова.Если на измеримом пространстве задана функция P, то тройка (Ω, F , P) называется вероятностным пространством. Заметим, что вероятность есть частный случай σ-аддитивной меры на Ω.Если пространство Ω не более чем счётно, то говорят, что вероятностное пространство дискретно.
Пусть∞P∞Ω = {ωi }i=1 . Пусть каждой точке ωi ∈ Ω приписан вес pi > 0, такой, чтоpi = 1. Вероятность определимi=1следующим образом. Пусть A = {wi1 wi2 , . . .}. ПоложимP(A) :=Xpi .(1)i : ωi ∈AПроверка того, что это действительно вероятность, предоставляется читателю.Классическое определение вероятности таково: |Ω| = N , все «веса» исходов одинаковы и равны p =Вероятность события A ⊂ 2Ω определяется как P(A) := |A|N .51N.Задача 1.1. На экзамене1 по теории вероятностей студенту предлагают три билета. Один он знаетхорошо, а два других — не знает. Он выбирает один билет, после чего ему открывают один из оставшихсябилетов (которого он не знает).
Что выгоднее сделать студенту: поменять свой выбор, или сохранить его?TODO: Лемма о баллотировке1.2. Свойства вероятностных мер. Непрерывность1.2.1. Простейшие свойства вероятности◦1 Если A ⊂ B, то P(A) 6 P(B). Действительно, P(B) = P A ⊔ (B r A) = P(A) + P(B r A) > P(A). | {z }>0◦2 Для любых A, B ∈ F имеет место равенство P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Имеем A∪B = AB⊔AB⊔AB. Значит, P(A∪B) = P(AB)+P(AB)+P(AB). Заметим, что P(AB)+P(AB) == P (A), и P(AB) + P(AB) = P(B).
Подставим вероятности событий AB и AB и получим требуемое. Теорема 1.1 (Формула включений-исключений). Для любых A1 , . . . , An ∈ F верна формулаP (A1 ∪ . . . An ) =nXi=1P(Ai ) −XP(Ai Aj ) +i6jXP(Ai Aj Ak ) + . . . + (−1)n−1 P(A1 . . . An ).(2)i6j6k Предыдущее доказательство очевидным образом по индукции обобщается на случай произвольногочисла событий. 1.2.2. Непрерывность мер и её связь со счётной аддитивностьюОпределение. Мера P называется непрерывной (в нуле), если для любой последовательности вложенныхсобытий Bn ց ∅ их вероятность стремится к нулю: P(Bn ) → 0 при n → ∞.Теорема 1.2. Счётная аддитивность функции P эквивалентна её конечной аддитивности и непрерывности в нуле.∞ Выведем непрерывность из счётной аддитивности. Пусть {Ai }i=1 ⊂ F , и An+1 ⊂ An .
Рассмотримсобытия Bn := An r An+1 . Они не пересекаются, следовательноP(A1 ) = P(B1 ) + . . . + P(Bn ) + P(An+1 ),|{z} | {z }↓P(A1 )(3)↓0так как вероятность события A1 конечна, а все члены ряда неотрицательны.∞Пусть теперь P аддитивна и непрерывна. Докажем её σ-аддитивность. Пусть {Bi }i=1 — последовательность∞Sпопарно непересекающихся событий. Пусть An :=Bi — «остаточные события». Они лежат в F , так как этоi=n Tдополнение к конечному объединению. Очевидно, что An = ∅ и An+1 ⊂ An .
По непрерывности P(An ) → 0.n∞∞SPЗначит, PBi =P(Bi ). i=1i=1Теорема 1.3 (Каратеодори2 ). Вероятностная мера P на алгебре A однозначно продолжается на σ {A }.1.3. Дискретные вероятностные пространства (примеры)1.3.1. Схема БернуллиВ схеме испытаний Бернулли Ω = {ω = (k1 , . . . , kn )}, где ki ∈ {0, 1}, т. е. проводится n испытаний, каждое изкоторых может быть либо успехом, либо неудачей.
Вероятность успеха равна p ∈ (0, 1), а неудачи — q := 1 − p.Вероятность задаётся корректно, так как строк с m единицами будет Cmn , а всего по формуле бинома НьютонаnXm=0nmn−mCm= p + (1 − p) = 1.n p (1 − p)1 Нематематическая2 Этапостановка задачи слегка изменена по сравнению c версией А.
В. Булинского.теорема доказывается в курсе действительного анализа.6(4)1.3.2. Геометрическая вероятностьМодель геометрического распределения: монету бросают до первого выпадения герба. Вероятность этогособытия при каждом бросании равна p. Положим P ({ωn }) := (1−p)n−1 p. Корректность проверяется аналогично.1.3.3. Гипергеометрическая вероятностьГипергеометрическое распределение моделируется так: в урне находится M белых и N чёрных шаров. Изнеё наугад вынимают n шаров.
Найдём вероятность того, что вынуто k белых шаров. ИмеемP ({ωk }) =Ckm Cn−kN.CnM+N(5)Замечание. Будем считать, что Ckn = 0 при k < 0 или k > n.1.3.4. Распределение ПуассонаВ схеме Пуассона Ω = {0} ∪ N, а F = 2Ω . Положимpn := P({ωn }) =λn −λe .n!(6)Задача 1.2. Доказать, что если npn → λ > 0, тоCkn pkn (1 − pn )n−k →λk −λe , n → ∞.k!(7)1.4. Условная вероятность и формула Байеса1.4.1. Понятие условной вероятностиОпределение. Система непересекающихся непустых событий {Ai } называется разбиением Ω, еслиSAi = Ω.Определение. Пусть P(B) > 0. Условной вероятностью события A при условии B называется числоP(A|B) :=P(AB).P(B)Теорема 1.4 (Формула полной вероятности). Пусть {Bi } — разбиение Ω.
Тогда для ∀ A ∈ FXP(A) =P(A|Bn )P(Bn ).(8)(9)SPdef PДействительно, P(A) = P(AΩ) = P( ABn ) = P(ABn ) =P(A|Bn )P(Bn ). Задача 1.3. На экзамене по теории вероятностей N билетов, из них n хороших. Студенты подходят поочереди и вытягивают билеты. Доказать, что вероятность того, что попадётся хороший билет, не зависитот позиции в очереди.Решение. Пусть событие Bk — «первые m человек вынули k хороших билетов».
Событие A — «досталсяхороший билет». ТогдаCkn Cm−kn−kN −nP(A|Bk ) =, P(Bk ) =.(10)N −mCmNОтсюдаP(A) =n∧mXk=0m−kn∧m km−kn − k Ckn CN −n nn X Cn−1 C(N −1)−(n−1)n== ,m−1N − m CmNNNCNN(11)k=0так как сумма в последней формуле есть в точности сумма вероятностей всех исходов в геометрическом распределении. Таким образом, искомая вероятность, вопреки бытующему мнению, зависит только степени подготовленности студентов, т. е. от концентрации хороших билетов.
71.4.2. Формула БайесаМожно все вероятности рассматривать как условные: P(A) = P(AΩ). Если {Bi } — разбиение Ω, тоP(Bj |A) =P(ABj )P(A|Bj )P(Bj )= P.nP(A)P(A|Bk )P(Bk )(12)k=1К знаменателю дроби здесь была применена формула полной вероятности. Это и есть формула Байеса.TODO: пример1.5. Функции распределения и плотности1.5.1. Распределения мерОпределение. Пусть P — вероятность на B(R). Функцией распределения меры P называется функцияFP (x) := P (−∞; x] .(13)Теорема 1.5. Функция распределения F вероятностной меры P обладает следующими свойствами:1◦ F (x) неубывает;2◦ lim F (x) = 0, lim F (x) = 1;x→−∞x→∞3◦ F (x) непрерывна справа на R.
1◦ Очевидно, что если x 6 y, то P (−∞; x] 6 P (−∞; y] .2◦ Рассмотрим последовательность xn → −∞. Тогда события An := (−∞; xn ] ց ∅. По непрерывности мерыF (xn ) → 0. Переходя к дополнению к An , получим значение предела F (x) на +∞.3◦ Фиксируем точку x0 и рассмотрим последовательность xn → +x0 . Тогда An+1 ⊂ An , и An ց A = (−∞; x0 ].Снова по непрерывности меры P(An ) → P(A). Замечание.
Теорема даёт исчерпывающее описание всех распределений мер на R, т. е. если функция F (x)обладает свойствами 1◦ – 3◦ , то существует единственная вероятностная мера P на B(R), такая, что её функцияраспределения есть F .TODO: пояснение1.5.2. Примеры распределений вероятностных мерПример 5.1. Равномерное распределение на отрезке [a, b] имеет плотность(1, x ∈ [a, b];p(x) = b−a0,x∈/ [a, b].(14)Функция распределения F (x) имеет график10abПример 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
