И.С. Енюков, С.Б. Королёва - Факторный дискриминантный и кластерный анализ (1119914), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Линейная комбинация — это сумма одной нли более переменных с постоянными весами. Таким образом, нельзя пользоваться суммой переменных или их средним арифметическим совместно с самими переменными. Соответственно недопустимы переменные, коэффициент корреляции которых равен 1. Переменная, являющаяся линейной комбинацией других, не несет какой- либо новой информации помимо той, которая содержится в компонентах суммы, поэтому она является лишней. Другое предположение, принимаемое во многих случаях, заключается в том, что ковариационные матрицы для генеральных совокупностей (генеральные ковариационные матрицы) равны между собой для различных классов'.
Часто используемой форме дискриминантного анализа присущи линейные дискриминантные функции, соответствующие просто линейной комбинации дискриминаитных переменных. Этот метод наиболее элементарен, поскольку предположение об одинаковых ковариационных матрицах в классах упрощает формулы вычисления дискриминантных функций, а также облегчает проверку гипотез о статистической значимости. Следующее допущение касается того, что закон распределения для каждого класса является многомерным нормальным, т. е. каждая переменная имеет нормальное распределенно при фиксированных остальных переменных (В!а!осК 1979; 452). Данное предположение позволяет получить точные значения вероятности принадлежности к данному классу и критерия значимости. При нарушении допущения о нормальности распределения значения вероятности вычислить точно уже нельзя, но соответствующие оценки могут быть полезны, если, конечно, соблюдать известную осторожность ().асЬепЬгпсЬ, 1975; 41 — 46).
Упомянутые выше допущения для дискриминантного анализа фундаментальны. Если экспериментальные данные для некоторой конкретной задачи не вполне удовлетворяют этим предполо- жениям, то статистические выводы не будут точным отражением реальности. Нарушение основных предположений будет обсуждаться в равд. Ъ'1. Из всего сказанного, должно быть ясно, что дискрнминантный анализ используется для изучения различий между несколькими группами по определенному набору дискрнминантных переменных (рис. 1). Рассматривая классы как значения некоторой классифицирующей переменной, измеренной по шкале наименований (когда каждому классу присваивается свое обозначение), мы представляем дискриминантный анализ в качестве метода сопоставления нескольких интервальных переменных одной номинальной переменной.
Заметим, что мы не сказали о причинности дискриминантной модели, и соответственно на рис. 1 связи приведены без указания их направления. Кроме того, не делается предположений о зависимости или независимости классифицирующей переменной и дискриминантных переменных. Если в конкретной ситуации классифнцнрующие переменные можно считать зависимыми от дискрнминантных переменных, то задача аналогична задаче множественной регрессии. Основное отличие состоит в том, что в дискриминантном анализе зависимая переменная измеряется по шкале наименований (классов). Пример с террористами именно такого рода. Но когда предполагается, что значения дискриминантных переменных зависят от классов, дискримииантный анализ является обобщением многомерного дисперсионного анализа. Это типично для задач, в которых принадлежность переменных к некоторому классу вызывает изменения одновременно в нескольких переменных.
Теперь просуммируем математические допущения, которые принимаются в дискримннантном анализе. Сначала введем следующие обозначения: дненрнмнненуньы переемнные х, Группы Рис. 1. Зависимость между труппами и дис- криминантными переменными к — число классов; р — число дискриминантных переменных; п; — число объектов (наблюдений) класса 1; п.
— общее число объектов всех классов. В модели дискримннантного анализа должно быть: 1) два или более классов: д)2; 2) по крайней мере два объекта в каждом классе: и;)2; 3) любое число дискриминантных переменных при условии, что оно не превосходит общее число объектов за вычетом двух: 0(р((п. — 2); 4) измерение днскрнмннантных переменных по интервальной шкале; 5) линейная независимость дискриминантных переменных; 6) приблизительное равенство между коварнационными матрицами для каждого класса (если не используются специальные формулы); 7) многомерная нормальность закона распределения днскриминантных переменных для каждого класса. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ НЗ ОБЛАСТИ СОЦИАЛЬНЫХ НАУК Применения днскрнмннантного анализа многочисленны. Впервые им воспользовался Фишер (Г(зЬег, 1936), занимающийся проблемами антропологии н биологии.
В социальных науках одно из первых приложений относится к психологическим н общеобразовательным тестам (Та(зиока апд Т(ебегпап, 1954). Ученые, проводящие исследования в области политики, применяли дискриминантный анализ при изучении поведения жителей городов во время выборов (К!еска, 1973), законодательных фракций (КогпЬегд апд Ггазпге, 1971; Неуск апд К!еска, 1973) и предрасположений судов к тем илн иным истцам и ответчикам (Е(зепз1е1п апд ЗасоЬ, 1977).
Психологи широко используют дискримннантный анализ в области персональных тестов и тестов по специальным дисциплинам. Особенно полезна данная техника при анализе экспериментальных данных, когда предположение и принадлежность к определенной «нспытуемой» группе влекут за собой изменение нескольких исследуемых переменных. Примером такого рода является изучение половых стереотипов в поведении детей (К!еска, 1974). К сожалению, мы не можем остановиться на всех упомянутых приложениях. В данной работе постоянно будем обращаться к примеру, взятому из диссертации н статьи Бардес (Ватаев, 1975; 1976). Речь идет об анализе голосований сенатских фракций по вопросу помощи иностранным государствам за период с 1953 по 1972 г.
Бардес занималась исследованием фракций сената Соединенных Штатов, ее интересовала, насколько устойчивы были цели, которые отстаивались каждый год при голосовании, н как сказывались на зто другие предметы обсуждения. Бардес было известно, что сенаторы не просто делились на группы «за» нли «ппотпв» помощи иностранным государствам, и что несогласия порой гере- ходили за пределы чисто партийной принадлежности. Часто дебаты возникали по поводу объема помощи, ее формы (наличные деньги, товары либо займы) и кто — президент или сенат — должен непосредственно заниматься данной проблемой. Изучая все ежеквартальные отчеты Сопдгезз)опа! Япаг1ег!у, а также другую информацию о дебатах, Бардес выявила несколько фракций и познакомилась со многими сенаторами, которые придерживались той или иной фракции. Задачу осложняло то, что неизвестно было число фракций, существующих в данный момент, а также тот факт, что большинство сенаторов не проявляли явно свои склонности.
Бардес провела трехшаговое статистическое исследование по каждой из 1О рассмотренных сессий. Во-первых, она выбрала результаты голосования, относящиеся к внешнеполитическому законодательству, и используя кластерный анализ, свела нх к ограниченному числу шкал. Это помогло выявить те вопросы, по которым наблюдались наибольшие разногласия. На втором шаге была проведена классификация всех сенаторов, проявивших свое отношение к данной проблеме. Число таких групп определялось с помощью имеющейся информации о раскладе мнений в сенате по рассматриваемой проблеме. На этой стадии сенаторы, не имеющие явно выдержанной позиции, объявлялись «нерасклассифицированными». И наконец, на третьем шаге Бардес применяла дискриминантный анализ, чтобы определить, возможно ли объединение групп при незначительных различиях в типе их повеления при голосовании.
Дискриминантные функции также использовались для отнесения еще «нерасклассифицированных» сенаторов к одной из наиболее близких групп. Кроме того, удалось выявить моменты, являющиеся самыми существенными при классификации на группы. Рассматривая зависимость результатов анализа от времени, Бардес обнаружила рост численности одних фракций и уменьшение других, а также значительные изменения во взглядах сенаторов, связанные с приведением к присяге нового президента и прекращением вьетнамской войны. На основании данных 1955 — 1956 гг.з Бардес выявила четыре фракции, существовавшие в этот период, и 19 сенаторов, явно примыкавших к этим фракциям, Они представляют собой «известные» илн «расклассифицированные» объекты.
Вот эти фрак- ции (группы): Число объепеоп Описанье Группа В целом за помощь иностранным государствам В целом против помощи иностранным государствам Против помощи государствам, нспытывааощим финансовые затруднения Антикоммунисты Для получения дискриминантных переменных, Бардес произвела разделение результатов голосования по следующим шкалам: Шввав (пврвнвппвп1 Оппсвппв С17ТАНУ НЕБТР1СТ СНТА31АМ 741ХЕР Сокращение фондов помо. щи Добавление ограничений в программу помощи Сокращение фондов помо- щ(и азиатским государст- вам Смешанные взгляды: по. мощь некоторым государ- ствам и никакой помощи коммунистам Неоказание помощи Юго- славия Неоказание помощи ней- тральным странам АМТ!И!СО АМТ1МЕ11Т Таблица 1 Зиачеяии переменных для внзвестныхэ сенаторов Группе Срвпнвв пп груп- пвп Переивпивп Я С17ТА!ТУ мнзтй1СТ С!!ТАЯ!АМ М1ХЕ11 АМТ1УБСО АМТ1МЕ17Т 1,422 1,944 1,000 2,667 1,556 1,259 3.000 1,000 3,000 2,000 2,500 1,667 2,200 2,000 2,000 1,800 2,133 2,100 2,333 1,333 1,667 3.000 2,444 1,900 1,921 2,21! 2, 158 1,?19 Эти шкалы были определены как средние значения результатов голосования по данным вопросам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
